MTODOS NUMRICOS 1'5 Serie de Taylor

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MÉTODOS NUMÉRICOS1.5 Serie de Taylor

• Gustavo Rocha
• 2005-2

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1.5 Serie de Taylor
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1.5 Serie de Taylor

• La serie de Taylor es, sin duda, el fundamento
  matemático más importante para comprender,
  manejar y formular métodos numéricos que se basan
  en la aproximación de funciones por medio de
  polinomios.
• Aunque a veces no sea muy evidente, la mayoría de
  los métodos numéricos se basan en la aproximación
  de funciones por medio de polinomios.

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1.5 Serie de Taylor

• La expansión de Taylor de una función, es una
  serie infinita de potencias que representa, de
  manera exacta, el comportamiento de la función en
  la vecindad de un punto dado.
• Si se ignoran todos los términos de la serie de
  Taylor, excepto unos cuantos, se obtiene un
  polinomio que aproxima a la función verdadera.
• El error del método numérico depende de la
  precisión con la que el polinomio aproxima a a la
  función verdadera.
• Los errores por truncamiento se evalúan a través
  de la comparación del desarrollo polinomial de la
  solución numérica, con la serie de Taylor, de la
  solución exacta.

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1.5.1 Expansión en serie de Taylor

• Sea una función f(X) que tiene derivadas
  continuas hasta de orden n en el punto Xi, para
  el cual se conoce el valor de la función a0 y el
  de sus derivadas a1, a2, a3, a4, an,

f(x)
f(Xi1)
a0
x
xi
Xi1
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1.5.1 Expansión en serie de Taylor

• Se trata de encontrar un polinomio de la forma
• _____ (1.13)
• que permita predecir el valor de la función en un
  punto cualquiera X, en términos de la propia
  función y de sus derivadas en el punto Xi.
• El polinomio P(X) se hace coincidir con la
  función f(X), y las primeras n derivadas del
  polinomio se hacen coincidir con las n primeras
  derivadas de la función en el punto Xi.
• _____ (1.14)

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1.5.1 Expansión en serie de Taylor

• El valor de la función en un punto cualquiera X
  se puede evaluar a través de un polinomio
  equivalente al de la expresión (1.13)
• ____ (1.15)
• Desarrollando la expresión (1.15) y comparándola
  con la expresión (1.13), se obtiene
• _____(1.16)

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1.5.1 Expansión en serie de Taylor

• Las n primeras derivadas del polinomio son
• _____ (1.17)
• Evaluando el polinomio y sus derivadas en el
  punto Xi
• _____ (1.18)

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1.5.1 Expansión en serie de Taylor

• Considerando simultáneamente las expresiones
  (1.14) y (1.18)
• _______ (1.19)
• Sustituyendo los valores de los coeficientes
  dados en (1.19) en la expresión (1.15)
• _____ (1.20)
• que en forma sintética se expresa
• _____ (1.20')

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1.5.1 Expansión en serie de Taylor

• Las expresiones (1.20) y (1.20') son equivalentes
  y representan la expansión en serie de Taylor que
  permite evaluar el valor de la función en
  cualquier punto X, en términos de la propia
  función y de sus derivadas en el punto Xi. Se
  pueden presentar dos casos
• A) Cuando el valor de X se encuentra a la
  derecha de Xi, se usa la nomenclatura Xi1, con
  lo que se indica que es mayor que Xi.
• _____ (1.21)
• donde h se denomina tamaño del paso, tratándose
  en este caso de un paso hacia adelante.

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1.5.1 Expansión en serie de Taylor

• B) Cuando el valor de X se encuentra a la
  izquierda de Xi, se usa la nomenclatura Xi-1, con
  lo que se indica que es menor que Xi.
• _____ (1.22)
• _____ (1.22')
• donde h es el tamaño del paso, tratándose en
  este caso de un paso hacia atrás.
• Para cada combinación de puntos Xi, Xi1 en una
  función f(x), la serie de Taylor es única, es
  decir, no hay otra serie de potencias en h Xi1
  Xi , para representar a f(X)

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1.5.1 Expansión en serie de Taylor

• Ejemplo. En el punto Xi 1, la función f(X) y
  sus derivadas toman los siguientes valores
• f(1) 1 f'(1) 6 f''(1) 2 f'''(1) 6.
• A partir de estos datos y utilizando la expansión
  en serie de Taylor dada en (1.21), encontrar el
  polinomio que permita predecir valor de la
  función para cualquier valor de X, y, en
  particular, el valor de la función para Xi1 3.
• f(X) 1 6(X - 1) 2(X - 1)2/2! 6(X -
  1)3/3!
• 1 6X - 6 X2 - 2X 1 X3 - 3X2 3X -
  1
• - 5 7X - 2X2 X3
• h Xi1 - Xi 3 - 1 2
• f(Xi1) f(3) 1 6(2) 2(2)2/2! 6(2)3/3!
• 1 12 4 8 25

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1.5.1 Expansión en serie de Taylor

• Vamos a repetir el ejercicio, pero ahora
  considerando la expansión en serie de Taylor dada
  en (1.22) y obteniendo el valor de la función
  para Xi-1 0.
• f(X) 1 - 6(1 - X) 2(1 - X)2/2! - 6(1 -
  X)3/3!
• 1 - 6 6X X2 - 2X 1 - 1 3X - 3X2
  X3
• - 5 7X - 2X2 X3
• h Xi - Xi-1 1 - 0 1
• f(Xi-1) f(0) 1 - 6(1) 2(1)2/2! - 6(1)3/3!
• 1 - 6 1 - 1 - 5

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1.5.1 Expansión en serie de Taylor

• En el ejercicio anterior, el polinomio obtenido
  se ajusta perfectamente a la función, porque ésta
  es algebraica, polinomial de tercer grado en
  este caso, las derivadas de orden superior al
  tercero se anulan, por lo que los primeros cuatro
  términos de la expansión en serie de Taylor son
  suficientes para determinar, sin error alguno, el
  comportamiento de la función, para cualquier
  valor de X.
• Pero no siempre es así cuando se trata de
  funciones trascendentes o mixtas, la expansión en
  serie de Taylor sólo puede proporcionar una
  aproximación a la función de interés, porque, en
  ese caso, cada uno de los términos de la serie
  infinita tiene un valor absoluto diferente de
  cero, con el que participa, así sea de manera
  mínima, en el valor de la función. En virtud de
  que no es posible considerar un número infinito
  de términos, no hay más remedio que truncar la
  serie y considerar únicamente los n primeros.

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1.5.1 Expansión en serie de Taylor

• Una función f(x) es analítica en xi, si se puede
  representar por medio de una serie de potencias
  en términos de h xii xi, dentro de un radio
  de convergencia 0 lt ?xii - xi?, y si todas sus
  derivadas son continuas en la vecindad de xi.
  Los polinomios son funciones analíticas en todas
  partes.
• Si la función f(x) es diferenciable en todas
  partes de la vecindad de un punto x0, excepto en
  el mismo, el punto se denomina singular y
  entonces la función no es analítica en x0.
  Algunas funciones trascendentes tienen puntos
  singulares por ejemplo, tan(x) es analítica
  excepto en ?(n ½)?.

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1.5.1 Expansión en serie de Taylor

• Ejemplo. Aproximar la función f(X) cos X en
  30?, conociendo los valores de la función y el de
  sus derivadas para 0 y considerando los primeros
  siete términos de la expansión en serie de
  Taylor. No olvidemos trabajar en radianes
• Xi 0? 0 Xi1 30? ?/6 h Xi1 - Xi
  ? /6 - 0 ? /6
• f(X) f(Xi) f'(Xi)h f''(Xi)h2/2!
  f'''(Xi)h3/3! fiv(Xi)h4/4! fv(Xi)h5/5!
  fvi(Xi)h6/6!
• f(X) cos X f(0) cos 0 1
• f'(X) - sen X f'(0) - sen 0 0
• f''(X) - cos X f''(0) - cos 0 - 1
• f'''(X) sen X f'''(0) sen 0 0
• fiv(X) cos X fiv(0) cos 0 1
• fv(X) - sen X fv(0) - sen 0 0
• fvi(X) - cos X fvi(0) - cos 0 - 1

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1.5.1 Expansión en serie de Taylor

• Ejemplos Los desarrollos en serie de Taylor de
  e-x y de sen x, en la vecindad de x 1, son
  respectivamente

• El desarrollo en serie de Taylor de una función
  alrededor de x 0 recibe el nombre de serie de
  Maclaurin por ejemplo ex, cos x, y ln(x1)

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1.5.1 Expansión en serie de Taylor

• f(?/6) 1 - 1(?/6)2/2! 1(?/6)4/4! - 1(?/6)6/6!
• 1 - 0.1370778 0.0031317 - 0.0000286
  0.8660252
• Considerando como "verdadero" el valor que
  ofrece una calculadora científica de 8 dígitos,
  que es cos 30? 0.8660254, se aprecia que el
  truncamiento a siete términos de la serie,
  conduce a un pequeño error de 0.0000002

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1.5.2 El residuo de la serie de Taylor

• En la sección 1.4 se esbozó lo que era un error
  por truncamiento, pero no quedó lo
  suficientemente claro, porque para comprender
  este concepto, faltaba conocer a detalle el
  comportamiento de la expansión en serie de
  Taylor.
• Ahora podemos entender con claridad qué es un
  truncamiento y cómo repercute éste en un error,
  al aproximar el valor de una función para un
  determinado valor de la variable, considerando
  solamente los primeros n términos de la serie
  infinita.
• Los términos de la serie que se desprecian
  constituyen un residuo cuyo valor puede tener
  signo positivo, en detrimento del valor de la
  función, o negativo, en profusión del valor de la
  función en términos absolutos, este residuo
  puede ser significativo o insignificante (como
  sucedió en el ejemplo anterior), lo cual depende
  de dos factores

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1.5.2 El residuo de la serie de Taylor

• 1) El valor de n, es decir, el número de
  términos de la serie, considerados al aproximar
  el valor de la función mientras mayor sea el
  valor de n, menor será el residuo y mejor será la
  aproximación al valor de la función.
• 2) El valor de h, es decir, el tamaño del paso o
  distancia entre el valor de la variable para el
  cual se evalúa la función y el valor de la
  variable para el que se conoce el valor de la
  función y el de sus derivadas mientras menor sea
  el valor de h, mayor será la cercanía entre Xi y
  Xi1 y, por ende, mejor será la aproximación al
  valor de la función.

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1.5.2 El residuo de la serie de Taylor

• En adelante, y en tanto no se indique lo
  contrario, usaremos únicamente la expansión en
  serie de Taylor que considera el paso hacia
  adelante para aproximar f(Xi1) a partir de f(Xi)
  y sus derivadas, conforme a la expresión (1.21),
  la que en forma explícita se escribe
• f(Xi1) f(Xi) f'(Xi)h f''(Xi)h2/2!
  f'''(Xi)h3/3! ... f(n)(Xi)hn/n! ...__
  (1.21')
• y en forma alternativa
• f(Xi1) f(Xi) f'(Xi)h f''(Xi)h2/2!
  f'''(Xi)h3/3! ... f(n)(Xi)hn/n! Rn
  (1.23)
• Esta última expresión se conoce como expansión en
  serie de Taylor con residuo, y es idéntica a la
  expresión (1.21'), excepto porque los puntos
  suspensivos se han sustituido por el término Rn,
  que sintetiza los términos de la serie que se han
  despreciado y se conoce con el nombre de residuo
  de la aproximación al n-ésimo orden.
• La serie se puede truncar en cualquier punto, de
  manera que el subíndice n indica que sólo se han
  incluido en la aproximación los primeros (n1)
  términos de la serie.

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1.5.2 El residuo de la serie de Taylor

• Por ejemplo, podemos truncar la serie a un solo
  término (n 0)
• f(Xi1) ? f(Xi)
• lo que implica suponer que la función que se va
  a aproximar es una constante P(X) a0 si tal
  suposición es cierta, la aproximación resulta
  perfecta y no hay error alguno, pero si no es
  así, existe un residuo R0 tal que se cumple
• f(Xi1) f(Xi) R0
• R0 f'(Xi)h f''(Xi)h2/2! f'''(Xi)h3/3!
  ... f(n)(Xi)hn/n! ... _____ (1.24)
• R0 es el residuo de orden cero y representa una
  serie infinita idéntica a la de la expresión
  (1.21'), excepto por la exclusión del primer
  término.
• Para simplificar, podríamos truncar el residuo a
  solo un término R0 f'(Xi)h, despreciando todos
  los demás, pero esto obviamente no es exacto.
  Conviene entonces encontrar una manera más
  adecuada de valorar R0.

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1.5.2 El residuo de la serie de Taylor

• Auxiliándonos en la siguiente figura, podemos ver
  fácilmente que la recta que une los puntos Xi,
  f(Xi), Xi1,f(Xi1), tiene pendiente R0/h.

f(x)
f(?)
f(Xi1)
R0 f(Xi1) - f(xi)
P(X) ao
f(xi)
x
xi
Xi1
?
h
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1.5.2 El residuo de la serie de Taylor

• Invocando el teorema del valor medio, podemos
  asegurar que existe un punto , entre Xi y Xi1,
  para el cual el valor de la primera derivada
  f'(?), es decir, la pendiente de la tangente de
  la función en ese punto, es paralela a la recta
  mencionada previamente R0/h f'(?) y entonces
• R0 f'(?)h _____ (1.25)
• De manera similar, si truncamos la serie a dos
  términos (n2)
• f(Xi1) f(Xi) f'(Xi)h
• estaremos suponiendo que la función que se va a
  aproximar es una recta P(X) a0 a1X si la
  suposición es correcta, la aproximación es
  perfecta y sin error, pero si no es así, existe
  un residuo R1 tal que
• f(Xi1) f(Xi) f'(Xi)h R1
• R1 f''(Xi)h2/2! f'''(Xi)h3/3! ...
  f(n)(Xi)hn/n! ...
• R1 es un residuo de primer orden que, al igual
  que se hizo con R0, pero ahora considerando el
  teorema extendido del valor medio, también se
  puede evaluar de manera exacta mediante
• R1 f''(?)h2/2!
• Y así, sucesivamente

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1.5.2 El residuo de la serie de Taylor
f(x)
P(X) ao a1x a2x2
f(x)
f(Xi1)
P(X) ao a1x
P(X) ao
ao
x
Xi1
xi
h
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1.5.2 El residuo de la serie de Taylor

• Un truncamiento a tres términos (n 2), supone
  que la función a aproximar es una parábola P(X)
  a0 a1X a2X2 y un posible error dado por el
  residuo de segundo orden R2.
• Un truncamiento a cuatro términos (n 3), supone
  que la función a aproximar es una parábola cúbica
  P(X) a0 a1X a2X2 a3X3 y un posible error
  dado por el residuo de segundo orden R3.
• En general, un truncamiento a (n1) términos de
  la serie, supone un polinomio P(X) a0 a1X
  a2X2 a3X3 ... anXn y un posible error dado
  por el residuo de n-ésimo orden, que se expresa
• Rn f(n1)(?)hn1/(n1)! _____ (1.26)
• Rn es el error por truncamiento al aproximar el
  valor de una función f(Xi1), considerando
  solamente los (n1) primeros términos de la
  expansión en serie de Taylor correspondiente a la
  función.

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1.5.2 El residuo de la serie de Taylor

• Ejemplo. Obtener una aproximación al valor del
  número e, con mantisa de ocho dígitos y
  considerando los primeros ocho términos de la
  expansión en serie de Taylor para la función
  f(X) ex.
• Sabemos que e0 1,
• entonces Xi 0 Xi1 1 h 1 - 0 1
• f(0) e0 1 f(1) e
• f(1) f(0) f'(0)(1) f''(0)(1)2/2!
  f'''(0)(1)3/3! fiv(0)(1)4/4! ...
• f'(X) ex f'(0) 1
• f''(X) ex f''(0) 1
• f'''(X) ex f'''(0) 1
• ...
• f'(n)(X) ex f'(n)(0) 1
• f(1) ? 1 1 1/2! 1/3! 1/4! 1/5! 1/6!
  1/7!
• e ? 1 1 0.5 0.16666667 0.04166667
  0.00833333
• 0.00138889 0.00019841 2.71825397
• El valor que arroja una calculadora de 9 dígitos
  es e 2.71828183

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1.5.2 El residuo de la serie de Taylor

• El error por truncamiento es
• R7 fviii(?)(1)8/8! fviii(?)/40320
  0.00002786
• fviii(?) e? 1.1233152 ? 0.11628431
• Observamos que ? efectivamente se localiza entre
  Xi y Xi1 0 lt ? lt 1, aunque bastante más cerca
  de Xi que de Xi1
• Si hubiésemos truncado a solo tres términos e
  ? 2.5,
• R2 f'''(?)(1)3/3! f'''(?)/6 0.21828183
• f'''(?) e? 1.30969098 ? 0.26979122
• Vemos también que el valor de ? es distinto para
  residuos de diferente orden, pero siempre cumple
  con localizarse entre Xi y Xi1.

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1.5.2 El residuo de la serie de Taylor

• Los valores dados en la siguiente tabla,
  referidos a este ejemplo, pueden verificarse
  fácilmente
• n e Rn f(n1)(?) ?
• 0 1 1.71828183 1.71828183
  0.54132486
• 1 2 0.71828183 1.43656366
  0.36225391
• 2 2.5 0.21828183 1.30969098
  0.26979172
• 3 2.66666667 0.05161516 1.23876384
  0.21411398
• 4 2.70833334 0.00994849 1.19381880
  0.17715724
• 5 2.71666667 0.00161516 1.16291520
  0.15092996
• 6 2.71805556 0.00022627 1.14040080
  0.13137978
• 7 2.71825397 0.00002786 1.12331520
  0.11628431

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1.5.2 El residuo de la serie de Taylor

• En este ejemplo, tuvimos manera de consultar el
  valor "exacto" de e, echando mano de una
  calculadora, igual que lo pudimos haber
  consultado en un libro el número e es conocido
  por toda la comunidad científica, por eso su
  valor es accesible a cualquiera.
• Pero no ocurre lo mismo cuando estamos estimando
  el valor de una función complicada, ligada a un
  experimento en el que apenas tenemos idea de su
  comportamiento y del orden de magnitud que puede
  tomar la función, para cada determinado valor de
  la variable. En tal caso, no hay manera de
  calcular con exactitud los residuos y solo habrá
  que conformarse con una estimación burda de
  ellos.
• Para el efecto, y siempre que sea factible
  derivar analíticamente la función de interés, se
  sugiere considerar como valor estimado de el
  punto medio entre Xi y Xi1, es decir
• ? (Xi Xi1)/2 _____ (1.27)
• con la seguridad de que los residuos estimados a
  partir de este valor y, por ende, los errores
  asociados a ellos, siempre serán superiores a los
  verdaderos.
• Rn f(n1)(?)hn1/(n1)! _____ (1.26')