Complementos de procesado de la seal y Comunicaciones

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Complementos de procesado de la señal y
Comunicaciones

• Modulación Digital

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El Proceso de Comunicación
La Comunicación implica la transmisión de
información desde un punto hasta otro punto.
Receptor
Información Usuario
Fuente de información
Transmisor
Canal
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Fuentes de Información
- Voz - Fax -Televisión
- Ordenadores personales
Canales de Comunicación - Canales telefónicos
- Fibra óptica -
Canales móviles de comunicación - Satélite
Señales en banda base y señales paso
banda -Banda Base banda de frecuencias de la
señal mensaje. Las señales en banda base pueden
ser analógicas o digitales. -Paso Banda Mediante
el proceso de modulación la señal se traslada a
otra zona de frecuencias más adecuada para que
pueda ser transmitida por un canal de
comunicación.
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El Proceso de Modulación El proceso de
modulación consiste en modificar la señal mensaje
para que pueda ser transmitida por un canal. Este
proceso se realiza en el dispositivo
transmisor Una onda portadora varía alguno se
sus parámetros de acuerdo con la señal mensaje.
El proceso de demodulación consiste en
recuperar la señal mensaja partir de la señal
portadora degradada despues de su transmisión por
el canal. El proceso se realiza en el dispositivo
receptor.
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Esquemas de Modulación Modulación de onda
contínua Una señal sinusoidal se usa como
portadora. Modulación en amplitud (AM) La
amplitud de la portadora varía con la señal
mensaje. Modulación angular El ángulo de la
portadora varía con la señal mensaje. Modulación
en frecuencia. Modulación en fase.
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Modulación por pulsos analógicos La portadora
consiste en una secuencia periódica de
pulsos rectangulares. Modulación
por amplitud de pulsos (PAM) Modulación por
duración de pulsos (PDM) Modulación por posición
de pulsos (PPM) Modulación por codificación de
pulsos Es esencialmente como PAM pero la
amplitud de los pulsos es cuantizada y
representada por un patron binario.
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Multiplexación Multiplexación es el concepto de
combinar diferentes señales mensaje para su
transmisión simultánea sobre un
canal. Multiplexación por división en frecuencias
(FDM) La modulación de onda contínua se usa para
trasladar cada una de las señales mensaje a un
rango diferente de frecuencias. Multeplexación
por división en el tiempo (TDM) La modulación por
pulsos se usa para muestras de diferentes
mensajes en intervalos de tiempo no solapados.
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Sistema de Comuniación digital
Mensaje estimado
Mensaje
Codificación de la fuente
Decodificación de la fuente
Codificación del Canal
Decodificación del canal
Demodulador
Modulador
transmisor
Receptor
canal
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Transmisión de Pulsos en Banda base
Se estudia la transmisión de datos digitales
independientemente de que su origen sea digital o
analógico. El contenido en frecuencias de los
datos digitales se concentra en la zona de bajas
frecuencias. La transmisión en banda base de
datos digitales requiere el uso de canales paso
baja. Los errores en la transmisión se deben
principalmente Ruido debido al
canal. Interferencia entre símbolos (ISI) (Un
pulso se ve afectado por los pulsos adyacentes.
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Transmisión Esquema de transmisión de pulsos en
banda base
1
PAM
Filtro transmisor
Canal
Filtro receptor
Decisión
?
0
Ruido blanco
Transmisor
Canal
Receptor
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Ruido debido al canal El pulso transmitido por
el canal se ve contaminado por ruido aditivo
Señal p(t)
El pulso de señal p(t) se contamina por ruido
blanco aditivo de media cero y densidad de
potencia espectral El receptor debe de detectar
el pulso p(t) de una forma óptima dada la señal
x(t).
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Como el filtro es lineal, la salida del filtro
y(t) se puede expresar como
La condición que se exige al filtro es que en el
instante tT ,po(T) sea mucho mayor que el
ruido. Esto es equivalente a maximizar el
cociente
Si P(f) es la transformada de Fourier de la señal
y H(f) es la transformada de Fourier del filtro
,aplicando la transformación inversa obtenemos
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Para el ruido tenemos
Luego la condición que debe cumplir el filtro es
hacer máximo
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La respuesta al impulso del filtro Matched es una
versión reflejada respecto del tiempo y deplazada
del pulso de entrada p(t).
p(t)
kAAT
A
0
T
0
T
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Probabilidad de error en la detección debido al
ruido Ahora que sabemos que el filtro matched es
el detector óptimo de un pulso de forma conocida
contaminado por ruido aditivo podemos obtener una
expresión para la probabilidad de error en este
sistema. La detección se basa en muestrear los
pulsos en su máximo y compararlos con un nivel
para determinar su valor.
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Estudiamos la probabilidad de error para las
distintas codificaciones de línea de uns istema
binario PCM Codificación Polar
Un 1 se transmite como p(t) y un 0 como -p(t)
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Las condiciones de error son
Ap
-Ap
18
(No Transcript)
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Codificación on-off
Un 1 se representa con el pulso p(t) y un cero
con ausencia de pulso.
20
La condición de error se puede ver del siguiente
modo
Ap/2
Ap
-Ap/2
0
Por lo tanto la probabilidad de error que se
obtiene es
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Codificaciones pseudoternarias
Un 1 se transmite como un pulso opuesto al pulso
anterior y un cero como ausencia de pulso.
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La condición de error se puede ver del siguiente
modo
Ap
Ap
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Inferencia inter simbolos (ISI) Un pulso p(t)
básico podemos considerarlo como un pulso
rectangular, sin embargo la densidad de potencia
espectral de un pulso cuadrado es infinita ya que
P(W) tiene un ancho de banda infinito. Sin
embargo hay una zona del espectro donde se
concentra la energía f lt fo fuera de esta
zona la energía es pequeña pero no cero. Si se
transmite esta señal por un canal con un ancho de
banda finito se suprime una pequña porción del
espectro gt una distorsión de la señal recibida.
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No podemos considerar pulsos limitados en el
tiempo porque su contenido en frecuencias sería
infinito y se transmitirían con
distorsión. Varios pulsos no limitados en el
tiempo solapados causarían ISI. Nyquists propuso
tres criterios diferentes para evitar la
interferencia inter símbolos. Estudiamos el
primer criterio de Nyquists
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Primer criterio de Nyquist Se elige el pulso
para que tenga amplitud distinta de cero en t0 y
amplitudes cero en . Siendo
la separación entre sucesivos pulsos
transmitidos. De esta forma no hay ISI en el
centro de los demas pulsos. Para un ancho de
banda sólo hay un pulso que cumple esta
condición
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Este esquema tiene problemas prácticos de
implementación ya que la amplitud de los
lóbulos laterales decae lentamente (como 1/t).
Esto puede generar una ISI acumulada cuando haya
una falta de sincronismo entre dos pulsos. Este
problema se puede solucionar con pulsos que
verifican las condiciones anteriores pero con
anchos de banda entre f0/2 y f0 . Pulsos de tipo
coseno remontado La condición que deben cumplir
los pulsos es la siguiente
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Es decir que la suma de los espectros debe ser
constante
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El espectro tiene la forma de la figura
Su ancho de banda es w0/2 wx .. Definimos el
exceso de ancho de banda r 2wx /w0 el ancho
de banda se puede expresar como B(1 r) f0 /2
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La forma temporal del pulso es
Para ancho de banda completo
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Segundo criterio de Nyquists Este esquema tiene
su origen en la transmisión telegráfica. Se
usaban pulsos conformados para una velocidad de
f0 pulsos por segundo pero transmitidos a una
velocidad de 2 f0 pulsos por segundo Un 1 se
transmite como un pulso y necesita T0 segundos
para alcanzar su valor máximo, sin embargo si en
T0 se transmite otro 1 se superpondrán las
amplitudes alcanzando un valor máximo K, si el
segundo pulso es un 0 se superpondrán las
amplitudes anulandose su valor. La anchura del
pulso resultante es de 3T0 y el segundo criterio
de Nyquists es
y
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Para una ancho de banda de f0 /2 la forma del
pulso es
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Transmisión Digital Paso banda
En la transmisión digital pasobanda la señal
digital modula a una señal portadora (
normalmente una función sinusoidal). En el caso
de transmisión paso banda o de señales de tiempo
discreto moduladas, el canal puede ser un enlace
de radio de microondas, una canal satélite ... La
amplitud, la frecuencia o la fase de la portadora
pueden variar de acuerdo con la secuencia de
datos dando lugar a los diferentes
señalamientos -ASK señalamiento por
desplazamiento de amplitud -FSK señalamiento por
desplazamiento en frecuencia - PSK señalamiento
por desplazamiento en fase.
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Un modelo para la transmisión pasa
banda Suponemos que existe una fuente de
mensajes que emite símbolos pertenecientes a un
alfabeto discreto de M símbolos cada T segundos.
Las probabilidades a priori de estos símbolos
especifican el mensaje de salida. En ausencia de
información todos los símbolos tienen igual
probabilidad. Este mensaje es la entrada a un
bloque que realiza la codificación de la señal
para su transmisión. Produciendo un vector de N
componentes reales ( con NltM) por cada uno de
los M símbolos del alfabeto fuente. Este vector
de salida es la entrada al bloque modulador, la
señal, de T segundos de duración, generada en el
modulador es necesariamente de energía finita. El
canal de comunicación pasobanda conecta el
transmisor con el receptor. Las características
del canal son
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1. El canal es lineal y el ancho de banda es tal
que puede transmitir a la señal modulada sin
distorsión. 2. La señal transmitida se ve
contaminada por ruido gausiano aditivo blaco
(AWGN). La tarea del receptor es observar la
señal recibida durante T segundos . El primer
bloque detector opera sobre la señal recibida
para producir un vector de observaciones, el
bloque decodificador realiza las estimaciones de
los símbolos generados por la fuente en el
transmisor. Una condición que debe cumplir el
receptor es que minimice la probabilidad promedio
de símbolo erróneo.
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Transmisor
Modulador
Codificador
mi
si(t)
Fuente de Mensaje
si
Receptor
Canal de comunicación
Decodificador
Detector
x i(t)
x
m
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Las tres formas básicas de señalización
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Método de Ortogonalización de Gram-Schmidt Este
método de ortogonalización permite representar
cualquier conjunto de M señales de energía (ya
moduladas) como combinación lineal de N funciones
base ortonormales (NltM).
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Descripción del procedimiento de Gram Schmidt Se
define la función base ?1 como
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Cada señal si(t) queda especificada por un vector
si cuyos N elementos son los coeficientes sij.
El espacio euclídeo de N-dimensiones se denomina
espacio de señales. Se puede definir la norma y
el producto interno entre vectores de este
espacio
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Proyección de la señal contaminada por ruido
blanco gausiano sobre las funciones bases
ortogonales
X es una variable aleatoria que queda
caracterizada por un vector de N componentes.
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Cada componente del vector es a su vez una
variable aleatoria gausiana de valor medio y
varianza
Las componentes del vector X son variables
aleatorias no correlacionadas
El vector X se denomina vector de observaciones,
y cada uno de los elementos del vector se
denomina elemento observable .
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La función densidad de probabilidad condicional
del vector X, cuando se transmite la señal si(t),
correspondiente al símbolo mi , se puede expresar
como el producto de las funciones densidad de
probabilidad condicionales de sus elementos
individuales como
Estas funciones son la caracterización del canal
y tambien se denominan funciones de transición
del canal.
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Detección Coherente se señales en ruido Se
supone que en cada intervalo de tiempo de
duración T sg. Se transmite una de las M posibles
señales s1(t)..... sM(t) con igual probabilidad
1/M.
La señal si(t). Queda representada por un punto
en el espacio ecuclídeo de dimensión N. A este
punto se le denomina punto mensaje. EL conjunto
de puntos mensajes correspondientes a las señales
transmitidas se les llama Constelación. La señal
recibida x(t) también queda representada por un
punto del espacio euclídeo. A este punto se le
denomina punto señal recibida.
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Dado un vector de observaciones X, la detección
consiste en a partir de X obtener una estimación
m del símbolo transmitido mi , de modo que se
minimice la probabilidad de error en el proceso
de transmisión. Decodificación de máxima
probabilidad Suponiendo que todos los
decodificadores son igualmente probables la
decodificación de máxima probabilidad es una
solución a este problema
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Regla de decisión óptima Máxima probabilidad a
posteriori (MAP)
Esta regla se puede expersar, haciendo uso del
teorema de Bayer, en términos de las
probabilidades a priori de las señales
transmitidas y de las funciones densidad de
probabilidad
pk es la probabilidad a priori del símbolo mk ,
fx (xmk) es la función densidad de probabilidad
condicional y fx(x) es independiente de la señal
transmitida. Luego la regla MAP expresada en
logaritmica natural
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El espacio de observaciones Z se divide en M
regiones de decisión que se denominarán Z1....Zm
. La regla MAP se puede expresar como sigue Un
vector de observaciones X pertenece a la región
Zi si
El correspondiente vector de la métrica es
Lo que lleva a redefinir la regla MAP El vector
de observaciones pertenece a la región Zi si la
distancia euclídea x-sk es mínima para ki
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De donde se puede deducir la regla equivalente
Un vector X pertenece a la región Zi si
La probabilidad de error
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Recuperación Coherente en el receptor El
receptor óptimo consiste en dos subsistemas 1.
Subsistema detector
xN
?N(t)
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Decodificador de la señal transmitida
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Detección de señales con fase desconocida,
detección no coherente Hasta ahora se ha
supuesto que el receptor tiene total conocimiento
de la señal transmitida. Se puede encontrar
incertidumbre y aleatoriedad en algunos
parámetros de la señal. La principal causa de
esta incertidumbre es la distorsión producida
por el médio de transmisión. Una causa muy
frecuente es la transmisión sobre múltiples
caminos de longitud variable. Esto causa una
aleatoriedad en la fase de la señal portadora.
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Por ejemplo, consideramos un sistema de
comunicación digital en el cual se transmiten
señales iguales de la forma
Donde E es la energía de la señal, T es la
duración del intervalo de señalización y la
frecuencia fi es un múltiplo entero de 1/2T . No
hay sincronización de fase entre el emisor y el
receptor. Si el canal es AWGN la señal recibida
es de la forma
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La fase ? se considera tambien como una variable
aleatoria unifórmemente distribuida entre 0 y 2?
radianes. El sistema de detección estudiado
previamente no es útil para el caso de detección
no coherente. De forma intuitiva veamos las
modificaciones necesarias en el receptor
Si suponemos que las funciones ortonormales o
correladores son de la forma
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En ausencia de ruido encontramos que la salida
del primer correlador es y
la salida del segundo correlador es
de manera que si elevamos al cuadrado y
sumamos el resultado es independiente de la fase.
A este sistema se le denomina receptor en
cuadratura de fase.
x(t)
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Métodos de Modulación sin memoria Señalamiento
por desplazamiento de amplitud (ASK) También se
le denomina PAM digital. La forma de onda de la
señal es
Am con 1ltmltM denota el conjunto de M posibles
amplitudes . La energía de la señal es
En este caso N1, la función ?(t) es de la forma
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Y sm de la forma
Las correspondientes constelaciones de señales
para M2, M4 y M8 son
0
1
00 01 11 10
000 001 011
010 110 111 101
100
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Se pueden hacer dos observaciones El vector de
señal tiene una única dimensión, que representa
la amplitud de la señal. Los puntos de la señal
se seleccionan de manera simétrica respecto del
origen.
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La señal PAM modulada es una señal de banda
lateral doble de modo que se requiere dos veces
el ancho de banda requerido para la transmisión
en banda base . La asignación de bits se puede
realizar de diferentes formas, una posible forma
es aquella en la cual las amplitudes de las
señales adyacentes difieren sólo en un bits. A
este asignación se le denomina codificación
Gray. La distancia euclídea entre un par de
puntos de señales es
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Señales moduladas en fase En modulación digital
de fase la onda de señal tiene la forma
Donde g(t) es la forma del pulso y ?m 2?(m-1)/M
son las M posibles fases de la portadora que
contienen la información transmitida. La energía
de la señal es de la forma
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La señal modulada se puede representar como
combinación de dos funciones ortonormales ?1 y
?2
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La constelación de señales para M2,4 y 8 es
01
0
1
00
11
10
011
010
001
110
000
100
111
101
61
Como en el caso ASK, la asignación de bits se
puede hacer de diferentes formas, pero tambien se
ha utilizado una codificación Gray. La distancia
euclídea entre los puntos de la señal es
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Modulación de amplitud en cuadratura La señal
PAM tambien se puede modular con dos portadoras
en cuadratura cos2?fct y sen2?fct , la técnica
de modulación resultante se llama PAM en
cuadratura o QAM. La correspondiente señal se
puede expresar como
Donde Amc y Ams son las amplitudes de las señales
en cuadratura. En realidad la señal PAM en
cuadratura reduce el ancho de banda en un factor
2. (ASK-SSB). (se correspondería con ASK de banda
lateral única)
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Una expresión alternativa de QAM es
Donde
Por lo tanto se puede ver QAM como una
combinación de modulación en amplitud y fase. Se
puede obtener la combinación de la constelación
de señales ASK-PSK, en este caso MM1M2 . En este
caso el número de dígitos que se transmite es
nmlogM
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Las funciones ortonormales son
Y las componentes del vector
La distancia euclídea entre cualquier par de
puntos del espacio es
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Ejemplos de constelaciones para QAM (M16)
?2
1011 1001 1101 1111
1010 1000 1100 1101
?1
0001 0000 0100 0110
0011 0010 0101 0111
-3d/2 -d/2 d/2 3d/2
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El producto cartesiano de un par de
constelaciones unidimensionales se puede ver como
una matriz en la que aparecen todos los posibles
pares ordenados, en el ejemplo de constelación
QAM cuadrada la matriz es de forma cuadrada
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Constelación cruzada QAM Para una señal QAM con
M símbolos con número impar de bits por símbolo
se sigue el siguiente procedimiento para generar
la constelación de señales

• Se comienza con una constelación QAM con n-1 bits
  por símbolo.
• Se extiende cada lado de la constelación cuadrada
  añadiendo
• Se ignora la extensión en las esquinas.

En este caso no es posible expresar la
constelación cruzada QAM como el producto de una
constelación ASK consigo misma.
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