CONTAMINACIN DE AGUA SUBSUPERFICIAL

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CONTAMINACIÓN DE AGUA SUBSUPERFICIAL

• 8.4. Retardación
• 8.5. Reacciones químicas
• 8.6. Solución numérica de las ecuaciones de
  transporte en agua subterránea

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Retardación

• En esta sección estableceremos como este fenómeno
  se da en la ecuación de transporte de especies y
  como esto influye el comportamiento del
  contaminante.
• Consideramos la ecuación para la fase sólida
• Si consideramos la fase sólida, los términos B, C
  y F pueden ser descartados, por lo que queda
• Donde el subíndice y el superíndice S se refieren
  a la fase sólida.

(8.20)
(8.21)
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3

• El primer término de la ecuación anterior
  describe el cambio de concentración en las
  especies i en la fase sólida.
• El segundo término describe el movimiento de las
  especies i del fluido a la fase sólida por el
  cambio en el volumen de la fase sólida.
• El tercer término describe el movimiento de las
  especies del fluido a la fase sólida en virtud de
  la difusión.
• Experimentos han mostrado que es posible
  relacionar la concentración de las especies i en
  la fase sólida con la concentración de las
  especies i en solución. Una expresión común para
  esto es la isoterma de adsorción linear, la cual
  establece que en equilibrio se tiene

(8.22)
4

• Donde kd es el coeficiente de partición, y como
  se expresó anteriormente.
• En nuestro caso a toma valores de W (agua) y S
  (granos de suelo). El termino ltrgtw es la densidad
  del fluido promediada sobre el volumen elemental
  representativo (REV).
• La masa promedio de las fracciones masa para los
  granos, describe la masa de las especies i por
  unidad de masa de granos sólidos.
• El producto de ltrgtwwiw es una medida de la
  concentración de i por unidad de volumen de
  solución.

(8.23)
5

• Sustituyendo la ecuación 8.22 en la ecuación 8.21
  tenemos
• Si existen 2 fases presentes los términos D y E
  en la ecuación 8.20 deben ser iguales y opuestos
  a los términos b y c en la ecuación 8.24. Por lo
  tanto si sumamos las ecuaciones 8.20 y 8.24
  tenemos
• La combinación de los términos A y a nos dan
• El coeficiente de retardo R está definido como

(8.24)
(8.25)
(8.26)
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• Tal que la ecuación 8.26 se convierte en.
• Llegamos a la forma final de la ecuación
  introduciendo la relación constitutiva que se
  encuentra en la ecuación 8.15 y removiendo la
  notación de promedio
• Escrito en términos de concentración tenemos
• Donde Qi es ahora expresada en términos de masa
  por unidad de volumen por unidad de tiempo.
• Una manera de ver el impacto del retardo es
  examinar el impacto en el perfil de concentración
  calculado en un tiempo específico.

(8.27)
(8.28)
(8.29)
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7
Nótese que el incremento en el retardo nos da un
decremento aparente en la velocidad de soluto,
esto se logra ver en el valor de 0.5 de
concentración. También es aparente el decremento
en la dispersión efectiva con el incremento del
retardo.
8

• Si consideramos dividir la ecuación 8.29 entre el
  retardo R, se puede observar que, la R dada debe
  ser más grande que la unidad. La velocidad
  aparente y la dispersión aparente se reducen.
• Para observar el impacto del retardo consideramos
  el problema de la figura 8.3 pero agregando el
  retardo.
• Inicialmente el sólido no adsorbe masa, después
  cuando el pulso comienza a propagarse la
  adsorción se inicia.
• Los resultados se muestran en la figura 8.5. La
  curva R1 (sin retardo) tiene su pico en
  aproximadamente 8 unidades. Con el incremento en
  el valor de R la curva se retraza.
• La distancia que ha viajado el pico en el caso de
  R2 es la mitad de la distancia del pico asociado
  a R1.

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• El incremento en el retardo ha causado que el
  pico sea más pequeño. Sin embargo en este caso el
  área bajo la curva nos es la misma. La razón de
  esto es que parte de la masa disuelta esta siendo
  adsorbida en la fase sólida.

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• Para mostrar esto se presenta la figura 8.6. En
  este caso el problema es modificado tal que un
  tercer tipo de condición de frontera (Robbins) es
  usada en el lado interior de un dominio
  semi-infinito.
• Para un periodo tf los flujos convectivos y
  dispersivos combinados son iguales a vCf, donde
  Cf es una constante prescrita.
• La interpretación de este tipo de condición de
  frontera es que existe un cuerpo de agua fijo
  adyacente al acuífero que tiene una concentración
  Cf y que se infiltra al acuífero por un periodo
  de tiempo tf después del cual éste se detiene.
  Las condiciones auxiliares para este problema son

(8.30)
11

• Los perfiles de concentración en términos de la
  concentración de granos de suelo (b) y la
  concentración de solvente (a) son iguales,
  excepto por la escala en el eje de concentración.
• Como la constante de equilibrio entre el fluido y
  el sólido es 0.1, no es de sorprenderse que la
  concentración de sólidos es 10 veces menos que la
  de la fase líquida. La razón de esto es que la
  relación entre wis y wiw (8.22) asume un
  equilibrio instantáneo de las concentraciones de
  las especies líquidas y sólidas.

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Reacciones químicas

• Las reacciones químicas ocurren tanto en las
  especies adsorbidas como en las disueltas. Es
  necesario modificar la ecuación 8.21 para incluir
  la fuente de reacción química y el término de
  decaimiento, la cual es
• Donde r es la densidad del fluido y rs es la
  densidad del sólido. Los términos de la fuente se
  identifican con la fase líquida Qiw, y la fase
  sólida con Qis.
• Ahora definimos el término especies. Una especie
  es sinónimo de especie química, la cual por
  definición es un conjunto de entidades
  moleculares químicamente idénticas.

(8.31)
13

• Una especie puede ser tanto el solvente como el
  soluto, el solvente es la especie predominante.
  En general, estamos interesados en especies
  moleculares y iónicas.
• La cinética de las reacciones químicas es el
  estudio de la velocidad con la que una reacción
  química ocurre y los factores que afectan esta
  velocidad.
• La medida de la concentración usada en las
  relaciones de las reacciones cinéticas son masa
  por unidad de volumen, que es, ri en nuestra
  notación.
• En cualquier caso, el protocolo usado para
  determinar la expresiones de cambio o las
  constantes de cambio, es desarrollado a través de
  una gráfica del cambio en la concentración vs
  tiempo.

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• Cuando el logaritmo de la concentración se
  gráfica en relación al tiempo lineal, una
  relación de línea recta denota una razón de
  expresión de primer orden, r-lri.
• En general una relación de la forma r-lnrin
  indica una ecuación de cambio de orden n.
• En problemas de aguas subterráneas en donde el
  mecanismo primario para los cambios químicos es
  la bioremediación, la expresión de cambio de
  primer orden es regularmente usada con una
  expresión de cambio de orden cero usada con
  concentraciones altas de sustratos.

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• Consideremos ahora la ecuación 8.31. Los términos
  de reacción pueden ser considerados
  colectivamente o individualmente.
• Los experimentos usados para determinar las
  expresiones de cambio y sus constantes de cambio
  asociadas, cuando las reacciones ocurren en los
  granos de suelo y en solución, no es posible de
  extraer de la expresión para el suelo y para el
  agua en forma separada.
• Con esto en mente, combinamos los dos términos de
  fuente que aparecen en la ecuación 8.31
• Si asumimos que solo una constante de cambio
  puede ser observada para el experimento, y este
  es conducido en un suelo saturado, entonces

(8.32)
16

• Y tenemos que
• En la figura 8.7 se dan los perfiles de
  concentración calculados para un tiempo
  determinado y un conjunto de constantes de
  reacciones de cambio de primer orden.
• El caso en donde las reacciones no están en
  curso, el perfil es el de transporte sin retardo
  y sin reacciones químicas, se refleja en la curva
  de la figura 8.7 (línea punteada).
• Mientras l se incrementa, la concentración se
  reduce notablemente debido al término de reacción
  (R).
• El área total bajo las curvas con la degradación
  química incrementada, se reduce debido a la
  pérdida de especies a través de las reacciones
  químicas y bioquímicas.

(8.33)
17

• La curva se mantiene en la unidad en la fuente
  debido al primer tipo de condición de frontera
  empleada.

18

• Podemos ahora examinar los efectos combinados de
  la retardación y la reacción química. Usando las
  mismas condiciones auxiliares de la ecuación
  8.30, para obtener los perfiles que se muestran
  en la figura 8.8.
• La curva de R1, l0 es la referencia, en esta
  curva ni la retardación ni la reacción química se
  representa.
• La suma de la retardación (R1.5, l0 ) causa que
  el frente disminuya y que la dispersión decrezca.
• El efecto de decaimiento (l0.05) es el
  decremento del valor de la concentración y la
  distorsión del frente, en términos tanto de
  ubicación como de agudeza (pico).

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• El mayor impacto es observado cuando la
  retardación y el decaimiento están presentes
  (R1.5, l0.05).

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Solución numérica de las ecuaciones de transporte
en agua subterránea

• En el capitulo 7 se considero una solución
  numérica para la ecuación de flujo subterráneo.
  En esta sección extendemos estos conceptos para
  considerar una solución numérica para la ecuación
  de transporte de especies.
• Para entender estas limitaciones, consideramos la
  ecuación 8.29, la cual rescribimos por
  conveniencia como la ecuación 8.34 con un termino
  adicional Qi.
• La comparación de esta expresión con la ecuación
  de flujo subterráneo, los términos 1, 3 y 4 en la
  ecuación 8.34 tiene su correspondiente en la
  ecuación 7.61.

(8.34)
21

• Si conocemos la variable ri que se sustituye por
  la carga hidráulica h, las ecuaciones puede tener
  una correspondiente en la derivada con respecto
  al tiempo en el primer termino, segunda derivada
  en el espacio para el tercer termino y el
  termino fuente en el cuarto término.
• El segundo termino es único para la ecuación
  8.34, y es el termino que causa dificultades a la
  hora de resolver la ecuación.
• Esta derivada espacial de primer orden cambia el
  carácter de la ecuación de una ecuación de
  difusión a una ecuación conveción-difusión.

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• Como el termino convectivo (2) es muy grande en
  comparación con el termino término dispersivo
  (3), la ecuación comienza a comportarse como una
  función hiperbólica, la cual representa el
  movimiento del frente.
• El reto es representar el frente, usando los
  métodos clásicos de diferencias finitas y
  elemento finito.
• Como el término de dispersión (3) es
  relativamente pequeño que el término convectivo
  (2), las oscilaciones comienzan a aproximar la
  localización del frente.
• La solución se considera estable, puesto que las
  oscilaciones no crecen indefinidamente, aunque
  físicamente no representen la realidad.

23
(No Transcript)
24

• Las oscilaciones pueden ser suprimidas por la
  incorporación de una dispersión artificial a
  través de una aproximación exacta de orden
  inferior para la derivada del tiempo de primer
  orden o para la derivada en el espacio, la cual
  aparece en la ecuación 8.34.
• El efecto de uniformidad generado por este
  termino de error es llamado dispersión numérica.
• De este modo podemos tener el frente con
  oscilaciones o un frente de difusión artificial
  que oscila libremente.
• Consideramos la forma general utilizada en el
  capitulo 7 para representar la primera derivada
  en diferencias finitas.

(8.35)
25

• Si a0.5 el error de truncamiento es difusivo.
  Sin embargo, cuando agt0.5 el término tiene signo
  positivo, por lo que puede ser inestable.
• Por lo tanto la primera derivada tiener una
  aproximación que esta sobrestimada en lugar de
  subestimada.
• En MEF, si una aproximación asimétrica para la
  primera derivada se logra, cuando un error de
  truncamiento de la forma dispersiva se generada.
• Como punto de partida, se considera la ecuación
  8.36 para la variable ri

(8.36)
26

• Donde
• El termino que nos interesa, no se aproxima en la
  ecuación de aguas subterránea es
• Donde generalizamos la aproximación para usar una
  función de peso g(x)im que es diferente a la
  función base ljn(x).
• Ahora consideramos una función base lineal (a) y
  una función cuadrática (b)

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• En la figura en la sección B la función base
  lineal es la curva b y la función de peso
  cuadrático es la curva a.
• En la figura en la sección A se muestran se
  muestran las funciones de peso para ambos nodos
  definidos para un elemento.
• La flecha en la sección A muestra el sentido del
  término de la velocidad.
• La forma de la función de peso asimétrico es
• Donde

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• Nótese que para a0, se tienen las funciones
  estándar lineales, que es la curva b en la
  sección B. Como a se incrementa, gj(a,x) se
  incrementa.
• Por lo que, en una perspectiva practica, para
  reducir el comportamiento oscilatorio es
  incrementa la velocidad.

29

• Una estrategia alternativa para resolver la
  ecuación de transporte, utilizando el concepto de
  derivada substancial, se puede definir como
• Donde D()/Dt es la derivada substancial y v es
  la velocidad del fluido.
• La derivada substancial describe la taza de
  cambio en un sistema coordenado.
• Así, podemos rescribir la ecuación 8.34 olvidando
  para esto los efectos de retardación

(8.37)
(8.38)
30

• Cuando extendemos esta ecuación tenemos
• Reagrupando los términos en la expresión
• Tal que, asumiendo la ecuación balance de masa.
• Dando
• Usando la ecuación 8.37 obtenemos

(8.39)
31

• De esta forma, es claro que si nos movemos con el
  fluido a una velocidad v, la ecuación se parece a
  la ecuación de difusión, que, como la ecuación de
  flujo subterráneo es muy fácil de resolver
  numéricamente.
• Sin embargo, resolver la ecuación 8.39 la especie
  se debe de mover junto con el fluido.
• Dos aproximaciones distintas se usan para
  representar el movimiento del fluido.
• Uno método es llamado el método de
  características, en esta las partículas se mueven
  junto con el fluido y cada partícula tiene una
  característica de concentración.

32

• Las partículas son integradas para cada lapso de
  tiempo y la información es transferida a una
  malla en diferencias finitas.
• La ecuación de dispersión es ahora resuelta
  dentro de la malla y el movimiento de las
  partículas es ajustada por efectos de dispersión.
  El procedimiento es repetido para cada lapso de
  tiempo.
• Una aproximación considerablemente diferente es
  usado en la técnica de elemento finito.
• La ecuación de difusión es ahora para un nuevo
  lapso de tiempo usando la formulación estándar de
  elemento finito.

33
(No Transcript)