Aproximacin fractal de objetos

1
Aproximación fractal de objetos

• Rep. de objetos tridimensionales en animación y
  realidad virtual
• ESCET URJC
• Curso 2004-05

2
Índice

• Sistemas de Funciones Iteradas (SFI)
• Obtención de un fractal a partir de un SFI
• Aproximación (práctica) de objetos
• El continente fractal rutas turísticas
• Bibliografía

3
La semana pasado vimos un método sencillo para
crear fractales autosemejantes empleando
semejanzas.
Si tenemos unas semejanzas contractivas f1, f2
,.., fm, es decir aplicaciones fi Rn Rn
tales que d( fi(x), fi(y) )r d(x,y), con 0 lt r
lt 1, y para un conjunto B compacto tomamos
4
Por ejemplo, si tomamos las semejanzas del plano
w1, w2 y w3
y tomamos B como un cuadrado
5
Usando semejanzas contractivas se pueden obtener
(casi) todos los fractales clásicos que hemos
visto...
se pueden generar otros objetos más complejos?
Para ello debemos afinar nuestras herramientas
definiendo algo más general que las semejanzas
contractivas. (Barnsley, 1985)
en la práctica, serán aplicaciones de la forma
6
Aplicaciones contractivas
Una aplicación fRn Rn es una semejanza
contractiva si d( f(x) , f(y) )r d( x , y
), con d(,) la distancia y 0 lt r lt 1 (razón de
la semejanza).
Una aplicación fRn Rn es una aplicación
contractiva si d( f(x) , f(y)) r d( x, y
), con d(,) la distancia y 0 lt r lt 1 (razón de
la contracción).
Aplicación contractiva transformación que
acerca puntos
7
Una aplicación fRn Rn es una aplicación
contractiva si d( f(x) , f(y)) r d( x, y
), con d(,) la distancia y 0 lt r lt 1 (razón de
la contracción).

• Todas las semejanzas contractivas son apl.
  contractivas
• Hay muchas más aplicaciones contractivas, como
  por ejemplo,
• Las aplicaciones afines

son contractivas si
8
Sistema de funciones iteradas
Si tomamos unas funciones contractivas S g1
,g2 ,, gm, (un sistema de funciones iteradas o
SFI), siempre existe un único conjunto F tal
que F se llama atractor del sistema S.
F es autosemejante según las transformaciones S
9
Idea de la demostración
Partimos de unas funciones contractivas S g1
,g2 , , gm .
Si
Consideramos S H(R2) H(R2 ) definida
como
Un conjunto que contiene su frontera y está
contenido en un cubo
S H(R2) H(R2 ) es una aplicación
contractiva, es decir
para cualesquiera A,B en H(R2). Por el teorema
del punto fijo, existe F (único) tal que FS(F).
10
Obtención del atractor de un SFI
Si tenemos un sistema de funciones iteradas S
g1 ,g2 , , gm .
cómo calcular el conjunto F tal que
?
Método Determinista Tomamos un compacto B y
construimos
Tomando límites cuando n tiende a infinito,
Es decir partiendo de cualquier B, llegamos al
atractor F
11
Obtención del atractor de un SFI
Método Aleatorio Si Sg1, g2, , gm, tomamos
xo (cualquiera).
Elegimos al azar
A continuación, elegimos al azar
construyendo una sucesión de puntos (xn) que
cumple que
Repitiendo con otros (muchos) xo, obtenemos una
aproximación de F
12
Aproximación de Objetos mediante SFI
Si C es un objeto, existe un fractal F que se
parezca a C?
Matemáticamente, si C es un compacto,
existe fractal F tal que dH(C,F) es pequeña?
Sabemos crear fractales (con SFI), podemos
adivinar si se parecerán a C?
13
Teorema del Collage
Si tenemos un compacto C y aplicaciones
contractivas S g1 ,g2 ,, gm, de razones de
contraccion r1,r2,..rm, de forma que
entonces, donde F es el fractal asociado a
S (el atractor) y
Si C se parece a S(C), entonces C se parece a F
14
Idea de la demostración
Si tenemos Sg1, g2, , gm y C es un compacto
construimos
Entonces,
Si n tiende a infinito,
15
cómo emplear este resultado?
Si queremos aproximar un compacto C empleando que
En la práctica buscamos Sg1, g2, , gm tales
que
g1, g2, , gm sean contracciones afines.
C se parezca a S(C).
g1, g2, , gm sean de razón pequeña.
veamos algún ejemplo
16
Ejemplo Aproximación de una hoja
podemos aproximar la siguiente imagen?
17
Ejemplo Aproximación de una hoja
18
Ejemplo Aproximación de una hoja
..construyendo contracciones afines
con la siguiente tabla de datos
ya podemos generar resultados con Maple, por
ejemplo
19
Esta misma situación se puede repetir con muchos
objetos
20
Excursiones Fractales
Lo que hemos visto no es mas que una pequeña toma
de contacto con la geometría fractal, que tiene
múltiples posibles continuaciones, como por
ejemplo

• La compresión fractal de imágenes basado en SFI.
• Los fractales basados en algoritmos de escape
  (conjuntos de Mandelbrot, Julia, sistemas
  dinámicos).
• Los L-sistemas y los lenguajes fractales.
• El modelado de terrenos y nubes con fractales
  plasma.

21
Resumiendo

• Los sistemas de funciones iteradas dan un método
  fácil para generar una gran variedad de
  fractales.
• Mediante SFIs se pueden aproximar muchos objetos
  (no necesariamente fractales) de forma simple.
• La geometría fractal es un campo abierto repleto
  de potenciales aplicaciones.

22
Un poco de bibliografía
Fundamentos Matemáticos de los fractales

• M.Barnsley. Fractals Everywhere Academic Press
  (Muy exaustivo)
• M. de Guzmán, M.A.Martín, M.Morán y M.Reyes.
  Estructuras fractales y sus aplicaciones.
  Editorial Labor(Muy claro, completo y con
  lenguaje divulgativo).
• Falconer Fractal Geometry (Profundo, pero muy
  matemático).

Otros libros y enlaces sobre fractales

• J.Barrallo Calonge Geometría fractal
  algoritmica y representación. Anaya Multimedia
  (Con pocos requisitos matemáticos, presenta
  algoritmos y programas en C, bastante completo).
• http//coco.ccu.uniovi.es/geofractal/ Curso sobre
  geometría fractal
• http//astronomy.swin.edu.au/pbourke/fractals/
  Colección de recursos fractales