Programacin Lineal III

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Programación Lineal III

• IO E/ADE 99-00
• Prof. José Niño Mora

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Contenido

• PL Teoría de Dualidad
• Estructura de soluciones óptimas
• Condiciones de optimalidad
• Análisis de sensibilidad

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PL Asignación de Recursos

• Modelo económico Maximizar beneficio
• input -----gt Empresa -----gt output
• Datos

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Formulación PL (ABC)

• A Variables de decisión
• B Objetivo a optimizar (max beneficio)
• C Restricciones (no exceder recursos)

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PL primal

• Formulación PL primal

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Problema Dual

• El problema dual del anterior PL es
• Variables duales óptimas precios sombra

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Dualidad débil

• Teorema de Dualidad Débil
• Sean
• soluciones factibles para los PLs primal y dual
  anteriores. Entonces,
• Corolario x e y óptimas si y sólo si

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Dualidad débil demostración
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Holgura Complementaria (Def.)

• Sean and
• soluciones factibles (cumplen las restricciones)
  de los PL primal y dual.
• Decimos que
• satisfacen Holgura Complementaria si

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Holgura complementaria

• Sean and
• soluciones factibles primal y dual
• Teorema de holgura complementaria
• las soluciones son óptimas
• si y sólo si satisfacen Holgura Complementaria
• Interpretación económica

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Teor. Holgura Complementaria Demostración
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Dualidad Fuerte

• Teorema de Dualidad Fuerte
• a) si los PLs primal y dual tienen soluciones
  óptimas, sus valores coinciden
• b) si el primal es no-acotado, el dual es
  no-factible
• c) si el dual es no-acotado, el primal es
  no-factible

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Motivación estructura de soluciones óptimas

• Consideremos problema de asignación de recursos
  para max beneficio (m ltlt n)
• Preguntas
• 1. Cuántas actividades son necesarias ?
• 2. Sea x una solución factible. Es óptima?
• 3. Sea x óptima. Qué ocurre si cambia la
  cantidad de recursos, o los beneficios?

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Ej Estructura de soluciones

• Ejemplo inversión de un capital b en n
  actividades
• Solución óptima invertir todo el capital a la
  actividad más rentable (una es suficiente)

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PL en Formato Estándar

• Def un PL en formato estándar es

• con las m restricciones linealmente indep.

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De PL a PL en formato estándar

• Todo PL se puede transformar en un PL equivalente
  en formato estándar
• Ej Si aparece restricción de la forma
• introducir variable de holgura

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Dual de PL en formato estándar

• Problema dual del PL en formato estándar

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Cómo construir el PL Dual?

• 1.
• 2. Restricción primal es
• variable dual correspondiente es
• 3. Variable primal
• restricción dual correspondiente es

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Ej Primal, Dual

• Primal
• Dual

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Solución Básica Factible (para PL en formato
estándar)

• Def. La Solución Básica correspondiente a las m
  variables con
  columnas correspondientes
• linealmente independientes es la sol. de
• Si la sol. tiene
• entonces
  es solución básica factible

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Solución Básica Óptima (PL en formato estándar)

• Cuántas variables han de ser positivas en una
  solución óptima?
• Teorema Si un PL en formato estándar tiene
  solución óptima, entonces existe una solución
  básica que es óptima
• Luego basta con m variables
• Nota Para un PL general acotado con m
  restricciones y n variables, hay una solución
  óptima con no más de min(m, n) var. gt 0

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Condiciones de Optimalidad (formato estándar)

• 1. Sea
  solución básica factible. Es óptima?
• 2. Supongamos que
• es sol. dual factible con
• 3. Holgura Complementaria
• Entonces x, y son soluciones óptimas

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Qué solución dual usar?

• Elección natural solución del sistema mx m

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Análisis de Sensibilidad Cambios en el Objetivo

• Sean x, y soluciones óptimas (primal/dual) para
  PL en formato estándar
• Sustituyamos el beneficio para una
  variable no-básica (act. no-rentable) por
• Siguen siendo x, y óptimas?
• 1. x primal factible? Sí
• 2. y dual factible?

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An. Sens Cambios Objetivo II

• (2,3). y dual factible? Holgura
  Complementaria? Si ocurre
• Qué ocurre si
• Entonces la actividad j se hace rentable

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Coste Reducido de una Actividad

• Def. El Coste/(Beneficio) Reducido de una
  actividad j es el incremento necesario para
  hacerla rentable (coste de oportunidad)
• Cómo interpretar su signo? Por el contexto del
  modelo

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Análisis de Sensibilidad Cambios en los Recursos

• Sean x, y soluciones óptimas (primal/dual) para
  PL en formato estándar
• Sustituyamos el recurso por
• Siguen siendo x, y óptimas?
• 1. x primal factible? No necesariamente
• Sólo dentro de ciertos márgenes para
• 2. y dual factible/Holgura Compl.? Sí

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Ejemplo Mixtura de Producción

• Qué y cuántos marcos de fotos hacer?
• Producción de 4 tipos de marcos de fotosMarco j,
  j1,,4
• Datos del problema (la producción se mide en
  metros)
• Marco 1 Marco 2 Marco 3 Marco 4
• Benefic./m. E 6 E 2 E
  4 E 3
• Recursos Cantidad requerida /m.
• M 1 M 2 M 3 M 4
  Disponi ble/semana
• Trabajo (h) 2 1 3 2 4000
• Metal (gr) 4 2 1 2 6000
• Cristal (gr) 6 2 1 2 10000

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Ej Modelización PL

• A. Variables de decisión
• B. Objetivo a optimizar (max beneficio)
• C. Restricciones

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Excel Solver
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Solver Informe de Soluciones
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Solver Informe de Sensibilidad
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An. Sensibilidad Objetivo

• Marcos rentables M1, M3
• En cuánto puede aumentar el beneficio/m. en
  marcos M2, M4 sin que sean rentables?
• Respuesta Gradientes reducidos
• M2 1
• M4 1

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An. Sensibilidad Recursos

• Cuál es el valor marginal/precio sombra de cada
  tipo de recurso?
• Trabajo 1 E /hora
• Metal 1 E/hora
• Cristal 0 E/hora