Atelier ICHARATE

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• Atelier ICHARATE
• Formalisation des Grammaires multimodales en
  Coq
• Houda ANOUN
• Pierre CASTERAN

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PLAN

• ? Introduction générale
• - Grammaires Multimodales
• - Généralités sur Coq
• ? Atelier ICHARATE
• - Composantes de latelier
• - Utilisation de latelier
• ? Conclusion

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Introduction

• ? Grammaires catégorielles
• Formalisme universel et générique .
• Bonne interface syntaxe/sémantique.
• Règles dinférence indépendantes de la langue
  choisie.
• Lexique différent dune langue à une autre.
• Exemples AB, Grammaires de Lambek(simples et
  multimodales)

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Grammaires multimodales

• But combiner les différents systèmes (NL, NLP,
  LP, L etc) dans un seul système multimodal .
• Avantages restriction des limitations du calcul
  pur de Lambek .
• - Atténuer la rigidité (problème de
  sous-génération under generation)
• 1 - NL Bob likes ?s/sn
• 2 - L that Bob wrote yesterday
  ? r
• - Atténuer la flexibilité en imposant des
  contraintes.
• 1- NLP mathématicien Le ? sn
• 2- L Le logicien que Marie aime
  Jean et Bruno déteste dort ? s

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Grammaires Multimodales

• Connecteurs binaires / , \, .
• Connecteurs unaires ?, ? (opérateurs de
  contrôle)
• Opérateurs structurels , , lt gt
• Modes de compositions ensembles I et J
• 1) Paramétrer les connecteurs (/, \, ,
  ,) par des indices de I (a, n, c etc).
• 2) Indexer les connecteurs unaires et
  lopérateur structurel lt gt par des indices de J.

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Grammaires multimodales

• Formules F At F /i F F \i F F i F
  ?j F ?j F
• Termes T F (T ,i T) ltTgti
• Exemples
• At sn, n, r IJa,n,c
• r/a(s/a?c sn) est une formule.
• /a
• r /a
• s ?c
• sn
• (sn ,n ((sn\ns)/a sn),a lt(sn ,a sn\a sn)gta)) est
  un terme.
• ,n
• sn ,a
• ((sn\ns)/a sn) lt gta
• 
  ,a
• sn
  sn\asn

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Grammaires multimodales

• Lexique fonction qui associe à chaque mot de la
  langue choisie un ensemble fini de types
  syntaxiques (formules).
• Règles dinférence règles fixées partagées par
  tous les modes de composition.
• ? -A/iB ? -B /iE lt?gtj
  - A ?jI
• ( ? , ?)i - A
  ? -?jA
• Règles structurelles locales
• 1) Règles spécifiques à un seul mode gestion des
  ressources localement en fonction du mode
  utilisé.
• Ex - commutativité en présence du mode c
• Perm c (Ac B ? B c A) .
• -commutativité en présence de
  lopérateur ?
• Perm ? (i, j) ?i A j B ? B j ?i A
• - associativité en présence du mode a
• Assoc a A a (B a C) ? (A a B ) a
  C

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Grammaires multimodales

• 2) Règles faisant intervenir plus dun mode
• Règles structurelles permettent la
  communication entre différents modes.
• a) Postulats dinclusion
• - incl ? (i, j) ? i A ? ? j A
• - traits morphosyntaxiques (genre, nombre
  )
• Ex likes (? sg ? gd sn \a s)/a sn she s
  /a(? sg ? fe sn \a s) the sn /a ? nb n
• cat ? sg n they s /a(? pl ? gd sn
  \a s).
• ? pl A ? ? nb A ? sg A ? ? nbA ? fe A
  ? ? gd A
• (They likes the cat) She likes the cat
  (The cat likes she).
• b) Postulats dinteraction
• -MP (i , j) A i (B j C) ? B j (A
  i C) (commutativité mixte)
• -MA (i , j) A i (B j C) ? (A i
  B) j C (associativité mixte)

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Exemple

• Analyse de lextraction médiale
• moufidun katiran huda tuhibu alladi alkitabu.
• intéressant énormement Houda aime que le livre
• (Le livre que Houda aime énormement est
  intéressant).
• Lexique
• alkitab np, alladi (?c? cnp\as)\a(np/anp),
  tuhibu np\a(np\as ), huda np, katiran s/a s ,
  moufidun s/a np .
• Modes de composition
• IJ a , c.
• Règles structurelles
• -Assoc a A a (B a C) ? (A a B ) a C
• -Perm ? (c, i) ?c A i B ? B i ?c A

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(No Transcript)
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Analyse Sémantique

• Sémantique de Montague
• -Types sémantiques basiques e , t
• Types composés si t1 , t2 ? SemType alors t1?
  t2 ? SemType
• 
  t1 ? t2 ? SemType
• - Fonction mapAt Atoms ? SemType .
• Fonction map SynType ? SemType
• map (A/iB)map(B\i A) map(B) ? map (A)
• map (A i B) map(A) ? map(B) map(?
  jA)map(?jA)map (A).
• Lexique W ? SynType ? SemType
• condition (si Lex (w)(f, sem) alors sem
  est de type map(f)).
• ?calcul simplement typé
• -x variable typée, x est un terme bien typé.
• -l1 l2 deux termes bien typés, l1 de type t1 ? t2
  et l2 de type t2 donc
• (l1 l2) est un terme bien typé de type t2
• - l1 l2 deux termes bien typés, l1 de type t1 et
  l2 de type t2 donc
• ltl1 l2gtest un terme bien typé de typé t1 ? t2 .
• -x variable de type t1 et l1 un terme de type t2
  alors ?x. l1 est un terme de type t1 ? t2 .
• l1 un terme de type t1 ? t2 , ?1(l1) (resp
  ?2(l1)) est un terme de type t1(resp t2)
• l1 un terme de type t1 alors ?l1 (resp ?l1, ?l1,
  ?l1) est de type t1.

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Analyse sémantique
Principe de Frege Le sens dune phrase est une
fonction des sens partiels des mots qui la
composent.
13
Analyse sémantique

• Exemple
• That Houda likes
• mapAt s t mapAt n e ?t mapAt sn e.
• Lexique That ( (n \ n)/(s / sn) ?x?y?z (y
  z)? (x z) (e?t) ?(e ?t) ?e ?t). Houda (sn
  He) . likes ((sn \ s)/sn likes e ?e ?t)
• Analyse syntaxique
• That (?y likes (y Houda))
• (?x?y?z (y z)? (x z)) (?y likes (y H))
  ?y?z (y z) ? (likes (z H))

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Coq

• Rappels sur Coq
• Assistant de preuves basé sur le calcul des
  constructions inductives (logique dordre
  supérieur)
• Logique intuitionniste Isomorphisme de
  Curry-Howard (Types? Formules, Preuves ?
  ?-termes).
• Mode de preuves interactif utilisation des
  tactiques pr
• édéfinies possibilité de définir dautres
  tactiques (LTAC).
• Extraction de programmes certifiés (conformes à
  leurs spécifications) à partir des preuves
  constructives.

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Isomorphisme de Curry-Howard

• Curry Howard 1958 les types sont isomorphes
  aux énoncés de la logique intuitionniste.
• Exemples (? , ?) (? , ?)
• Correspondance entre preuves en logique
  intuitionniste et programmes.
• Exemple(modus ponens)
• A ?B A H A? B
  aA
• B
  (H a) B

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Exemple

• Lemma evidence forall (A B CProp) , (A-gtB)-gt (B
  -gtC)
• -gtA -gt C.
• (? A, B, C (A?B) ?(B ? C) ? A ?C /?
  implication logique).
• Preuve 1
• Isomorphisme de Curry-Howard ? vs ?.
• Chercher un ?-terme f de type (A ? B) ? (B ? C)
  ?A ?C.
• f A,B, CProp H1A ?BH2 B ? C aA (H2
  (H1 a)) .
• Une formule est prouvable ssi son type associé
  est habité.
• Preuve 2
• Tactiques construction interactive du ?-terme
  en question.

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Exemple(2)

• coqtop
• CoqgtLemma evidence forall (A BProp) , (A-gtB)-gt
  A -gt B.
• forall (A B CProp) , (A-gtB)-gt(B -gtC)-gt A -gt C.
• Coqgt intros A B C H1 H2 a.
• A Prop
• B Prop
• CProp
• H1 A -gt B
• H2 B -gt C
• a A
• C
• Coqgt apply H2apply H1 assumption.
• Qed.

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Types en Coq

• Richesse du Calcul des Constructions Inductives.
• Hiérarchie de types Set (structures de
  données), Prop (propositions logiques).
• Types inductifs
• - Énumérés Inductive bool Set
  truebool false bool.
• - Récursifs Inductive nat Set Onat
  S nat -gt nat.
• - Polymorphes Inductive
  list(ASet)Set nil list A
• 
  cons A -gt list A-gt list A.
• - Paramétrés Inductive le (nnat) nat
  -gtProp
• le_n n lt n
• le_S n lt m -gt n lt (S m).

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Récurrence en Coq

• Théorèmes de récurrence engendrés automatiquement
  par Coq lors de la définition dun type inductif.
• Exemples
• list_ind ? (ASet)(Plist A -gt Prop), (P nil) -gt
• ? (llist A)
  (aA), P l -gt P (cons a l) -gt
• ? (llist A) ,
  P l.
• le_ind ? (nnat)(Pnat -gtProp), P n -gt
• (?(mnat), n lt m -gt P
  m -gt P (S m)) -gt
• ? (mnat), n lt m -gt P
  m.
• nat_ind ?(Pnat -gt Prop), P O -gt (? (nnat) P n
  -gt P (S n)) -gt
• ? (nnat), P
  n.
• Lemma leAsymforall (n mnat), (le n m ) -gt (le m
  n )-gt n m.
• Récurrence sur n !! Et non sur (le n m).

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Inversion

• Inversion dune hypothèse dont le type est
  inductif.
• Toute hypothèse dont le type est inductif est
  construite à partir des constructeurs de ce type.
• Exemple
• Lemma hasPredforall (nnat),
• nlt gt0 -gt mnat n S m.
• Inversion de n.
• - premier cas n0 (impossible)
• - second cas n(S l) ( ml).

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Architecture de latelier

• ATELIERICHARATE
• Kernel Lib
  Tactics Examples
• Présentation Axiomatique Théorèmes
  
• Calcul des Séquents Règles
  dérivées Exemples de
  
• Déduction Naturelle
  dérivations
• Définition des prédicats
• de base
  tactiques de semi automatisation

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Atelier ICHARATE

• Preuves de théorèmes génériques
• - Linteropérabilité entre les trois
  formalismes (présentation axiomatique , calcul
  des séquents et déduction naturelle)
  définitions certifiées qui transforment les
  dérivations dun formalisme source à un
  formalisme cible (preuve constructive
  récursive).
• Propriétés dérivées dans chacun des formalismes
  prouvées une seule fois et peuvent etre utilisées
  autant de fois quon le souhaite comme des règles
  de base.

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Atelier ICHARATE

• Méta -théorèmes
• - cohérence et complétude des systèmes
  multimodaux.
• - quelques propriétés vérifiées par les
  séquents dérivables
• - polarité si ??A alors (?p At)
  pol(p , ?)pol(p, A).
• Ex sn , (sn \i s) /i sn ? s car
  pol(sn (sn , (sn \i s) /i sn) )-1 et pol(sn
  s)0
• - opérateurs unaires si ??A
  alors occ? (?)-occ?(?)
• 
  occ ? (A)-occ?(A).
• ?sn , ?sn \ s ? s car occ?
  (?)-occ?(?) 1 - (-1)2 mais
• 
  occ ? (A)-occ?(A)0 (preuve par reflexion).

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Atelier ICHARATE

• Utilisation de latelier
• Effectuer lanalyse syntaxique dune phrase pour
  une grammaire donnée (spécifier le lexique, les
  indices, les atomes et les règles structurelles)
  en ayant recours à la représentation des séquents
  avec ou sans ressources.
• Possibilité de recourir aux théorèmes génériques.
• Possibilité dutiliser des méta-variables lors
  dune preuve (construction interactive de la
  structure de la phrase).
• Utilisation de tactiques de semi-automatisation.
• Calcul de la sémantique dune phrase .

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Tactiques

• Tactiques de semi-automatisation faciliter les
  preuves aux utilisateurs .
• -Langage LTac
• - Définition de tactiques sans passer par
  Ocaml.
• - Filtrage sur le but courant contexte
• -Possibilité de définir des tactiques
  récursives
• - tactiques qui facilitent laccès aux
  hypothèses transformations dans le contexte.
• Exemples
• 1- application dune règle structurelle à un
  endroit donné (chemin daccès dans le contexte).
• 2 - Faciliter lapplication des règles telles
  ? -?jA ?ltAgtj - C?jE
• 
  
  ?? - C
• dans le cas particulier ou ? ?jA ,
  remplacer la première feuille ?jA par ltAgtj

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Conclusion

• Travail réalisé
• Formalisation des grammaires multimodales de
  Lambek en Coq.
• Intéropérabilité entre différents formalismes.
• Preuve de plusieurs théorèmes.
• Implémentation de quelques tactiques basiques.
• Introduction dune couche sémantique.
• Travail à effectuer
• Théorèmes avancés (Interpolation des grammaires
  de Lambek etc)
• Implémentation dautres tactiques
  dautomatisation et stratégies avancées
  (Interface graphique) .
• Notations amélioration de la lisibilité
  (version 8 de Coq)
• Interopérabilité avec les grammaires minimalistes
  ??

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Bibliographie

• Pierre Casteran, Yves Bertot  coqArt
• (http//www-sop.inria.fr/lemme/Yves.Bertot/coqa
  rt.html) 
• Jean-Yves-Girard, Yves Lafont, and Paul Taylor.
  Proofs and Types. Number 7 in Cambridge Tracts in
  Theoreticl Computer Science. Cambridge University
  Press 1988.
• Joachim Lambek The mathematics of sentence
  structure American mathematical monthly
  65154-169, 1958
• (http//www.folli.uva.nl/CD/1997/esslli97/la
  3/wwwots/hl/lambek/ lambek58.htm) 
• Michael Moortgat Categorial Type Logics 
  Chapter 2 Handbook of logic and language.
• Christian Retoré  Un Panorama des grammaires
  catégorielles