Diapositive 1

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Graphes k-partis et conception de circuits VLSI
Pierre Fouilhoux Maitre de Conférences Université
Pierre et Marie Curie - LIP6
Directeur A. Ridha Mahjoub Université Blaise
Pascal - LIMOS
Ecole Doctorale Sciences pour lIngénieur
2
Optimisation Combinatoire
Trouver un meilleur élément dans un ensemble fini
valué
3
Optimisation Combinatoire
Placement démetteurs hertziens
4
Optimisation Combinatoire
Placement démetteurs hertziens
5
Optimisation Combinatoire
Problème du Voyageur de commerce
6
Optimisation Combinatoire
Problème du Voyageur de commerce
7
Optimisation Combinatoire
Conception de circuits intégrés (VLSI)
8
Optimisation Combinatoire
Conception de circuits intégrés (VLSI)
9
Optimisation Combinatoire
Reconstruction du génome
10
Optimisation Combinatoire
Recherche Opérationnelle
11
Optimisation Combinatoire
Stable dans un graphe Sommets isolés
Recherche Opérationnelle
Théorie des Graphes
12
Optimisation Combinatoire
Stable dans un graphe
Recherche Opérationnelle
Théorie des Graphes
13
Optimisation Combinatoire
k-partition dans un graphe
Recherche Opérationnelle
Théorie des Graphes
14
Optimisation Combinatoire
Recherche Opérationnelle
Théorie des Graphes
15
Optimisation Combinatoire
bipartition dans un graphe (k2)
Recherche Opérationnelle
Théorie des Graphes
16
Optimisation Combinatoire
bipartition dans un graphe (k2)
Recherche Opérationnelle
Théorie des Graphes
17
Optimisation Combinatoire
Recherche Opérationnelle
Théorie des Graphes
18
Optimisation Combinatoire
Programmation mathématique Approches
polyédrales
Recherche Opérationnelle
Théorie des Graphes
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Assemblage SNP dhaplotypes
Molécule dADN
Organismes diploïdes
20
Assemblage SNP dhaplotypes
Détection des SNP
f1
f2
f3
Objectif Reconstituer les deux haplotypes
21
Assemblage SNP dhaplotypes
Enlèvement minimal de fragments
est équivalent au
f1 ATCGATGCATGA f2 TCGATGGATGAAT f3
ATGCATGTATGCAA f4
ATGAATGCATGCA f5
CATGCA
Problème de bipartisation de graphe
Lippert, Schwartz, Lancia, Istrail (2001)
22
Résolution informatique du problème de
bipartisation
23
Résolution informatique du problème de
bipartisation
24
Résolution informatique du problème de
bipartisation
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8
v9 v10
25
Résolution informatique du problème de
bipartisation
v2
v1
v3
v10
v9
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8
v9 v10
v4
v6
v5
v8
v7
26
Résolution informatique du problème de
bipartisation
v2
v1
v3
v10
v9
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8
v9 v10
v4
v6
v5
v8
v7
27
Résolution informatique du problème de
bipartisation
Une première idée Enumération de toutes les
solutions
28
Formulation mathématique Approche polyèdrale et
algorithme de coupes
Formulation en un programme linéaire en nombres
entiers
Soit G(V,E) un graphe c un vecteur-poids sur
les sommets de V. Pour B V, on pose
29
Formulation mathématique Approche polyèdrale et
algorithme de coupes
(0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1,1,0) (1,0,1)
(0,1,1) (1,1,1)
30
Formulation mathématique Approche polyèdrale et
algorithme de coupes
On associe à chaque solution un point
saillant dun (hyper)-cube
(1,0,1)
(0,0,1)
(1,1,1)
(0,1,1)
(0,0,0)
(1,0,0)
(0,1,0)
(1,1,0)
31
Formulation mathématique Approche polyèdrale et
algorithme de coupes
On associe à chaque solution un point
saillant dun (hyper)-cube
(1,0,1)
(0,0,1)
(1,1,1)
(0,1,1)
(0,0,0)
(1,0,0)
(0,1,0)
(1,1,0)
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Formulation mathématique Approche polyèdrale et
algorithme de coupes
On associe à chaque solution un point
saillant dun (hyper)-cube
(1,0,1)
(0,0,1)
(0,1,1)
(0,0,0)
(1,0,0)
(0,1,0)
(1,1,0)
33
Formulation mathématique Approche polyèdrale et
algorithme de coupes
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Complexité des problèmes
Est-ce que ce problème de bipartisation est
difficile ou non?
On dit que ces problèmes sont faciles ou
polynomiaux dans P
et les autres problèmes sont donc
dans Non-P
On ne sait pas dire si de nombreux problèmes
célèbres sont dans P ou dans Non-P
PNP ?
35
Problème de Via Minimization
Circuit électronique Ensemble de
composants avec un ou
plusieurs points
terminaux reliés par
des pistes rassemblées en
réseaux.
Croisement Deux pistes de réseaux différents
qui se croisent doivent
être affectées à des couches différentes
dans le but déviter les
connexions interdites.
36
Problème de Via Minimization
Une affectation valide est une affectation des
pistes sur les couches de manière à ce que
deux pistes de réseaux différents qui se
croisent, soient sur des couches différentes.
Via Trou à percer pour connecter deux pistes
dun même réseau.
Fil sur couche A
B
37
Problème de Via Minimization
Le problème de Via Minimization
contraint Déterminer une affectation valide des
segments de pistes sur les couches avec un nombre
minimum de viassans déplacer les pistes.
38
Problème de Via Minimization

• Pour tout cycle impair C de G.
• Un via doit être percé à lemplacement
• correspondant à un des sommets
• du cycle impair C.

C
39
Problème de Via Minimization

• Pour tout cycle impair C de G.
• Un via doit être percé à lemplacement
• correspondant à un des sommets
• du cycle impair C.

C
40
Problème de Via Minimization

• Pour tout cycle impair C de G.
• Un via doit être percé à lemplacement
• correspondant à un des sommets
• du cycle impair C.

C
41
Problème de Via Minimization
Le problème de Via Minimization sur 2 couches
Le problème du sous-graphe biparti induit
est équivalent au
42
Problème de Via Minimization
88 réseaux 1695 croisements
nb sommets 6579
43
Problème de Via Minimization
729 réseaux 73166 croisements nb sommets
291993
nb coupes 10481 Temps de calcul 4h05
2089 vias
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Conclusion
Modélisation dun problème de séquençage des
génomes diploïdes Modélisation du problème de Via
Minimization Etude polyédrale du problème de
bipartisation de graphe Elaboration de logiciels
de résolution pour le problème de génomique et
délectronique.