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Éléments de Calcul Tensoriel

• I Les Tenseurs
• II Les Opérateurs Différentiels

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I Les Tenseurs

• I-1 Définition des Tenseurs
• I-2 Opérations sur les Tenseurs
• I-3 Symétrie et Antisymétrie
• I-4 Tenseurs Identité et dAntisymétrie
• I-5 Produits Scalaire et Vectoriel

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I-1 Définition des Tenseurs
Tenseur Opérateur liant dans un même repère
deux grandeurs physiques en un même point dun
espace de dimension d
Le Rang dun tenseur caractérise son nombre
dindices
T(0) Tenseur de Rang 0 Scalaire à d0 1
composante T(M)
T(1) Tenseur de Rang 1 Vecteur à d1
composantes Ti(M)
T(2) Tenseur de Rang 2 Matrice à d2
composantes Tij(M)
T(n) Tenseur de Rang n Matrice à dn
composantes Tijn(M)
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I-2 Opérations sur les Tenseurs
La contraction peut seffectuer sur plusieurs
indices, chaque contraction diminuant de 2 le
rang du tenseur contracté résultant
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I-3 Symétrie et Antisymétrie
Symétrie par rapport au couple dindices l,r
Symétrie complète ? le couple dindices a,b ?
1..t
Les propriétés de Symétrie et dAntisymétrie sont
intrinsèques Elles se conservent par changement
de repère
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I-4 Tenseurs Identité et dAntisymétrie
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I-5 Produits Scalaire et Vectoriel
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II Les Opérateurs Différentiels

• II-1 Le Gradient
• II-2 La Divergence
• II-3 Le Rotationnel dun Vecteur
• II-4 Les Rotationnels dun Tenseur de Rang 2
• II-5 Le Laplacien

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II-1 Le Gradient
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II-2 La Divergence
T(2) tT(2) symétrie ? DivDT(2) DivGT(2)
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II-3 Le Rotationnel dun Vecteur
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II-4 Rotationnels dun Tenseur T(2)
T tT symétrie ? RotDT tRotGT
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II-4 Le Laplacien