Traitement numrique du Signal

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Traitement numérique du Signal

• Traitement Numérique du Signal
• Partie 2 Systèmes Numériques
• Pierre Courtellemont
• L3i Université de La Rochelle
• pcourtel_at_univ-lr.fr

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Traitement numérique du Signal

• Les traitements numériques sinscrivent
  généralement dans une chaîne complète de
  traitements. La partie numérique est dépendante
  des autres parties échantillonnage (et donc
  connaissance des propriétés spectrales du signal
  à traiter) et quantification (engendrant bruit
  darrondi et de calcul).
• Généralement, le traitement consistera soit
• - à analyser le signal (connaître ses
  caractéristiques fréquentielles)
• - à filtrer le signal (modifier ses
  caractéristiques fréquentielles)

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Traitement numérique du Signal

• Système numérique
• Un système numérique reçoit à son entrée une
  suite de valeurs numériques xn et délivre à sa
  sortie une suite de valeurs numériques yn.
• Par système numérique, on peut entendre
  algorithme de calcul, et système physique capable
  de réaliser ces opérations. Il s'agit par exemple
  d'un micro-ordinateur muni de cartes dES, dun
  microcontrôleur ou d'un circuit intégré
  spécialisé (DSP).
• Dans ce cours, on ne s'intéresse qu'à
  l'algorithme de calcul mais il faut tenir compte
  de tous les problèmes pouvant découler du fait
  que les nombres sont représentés avec un nombre
  fini de bits, et donc des erreurs d'arrondi
  introduites dans les calculs.
• L'algorithme de calcul est défini par une
  relation de récurrence qui précise comment
  calculer chaque échantillon de sortie yn à partir
  des échantillons d'entrée et éventuellement des
  échantillons de sortie précédents yn-1, yn-2....
• On se limitera dans cette étude aux systèmes
  linéaires invariants (SLI ou LIT)

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Traitement numérique du Signal

• Systèmes linéaires invariants
• - linéaires un système est linéaire lorsque la
  propriété suivante est vérifiée
• si x1(n) en entrée donne y1(n) en sortie et
  si x2(n) donne y2(n) alors a.x1(n)b.x2(n)
  donne a.y1(n)b.y2(n).
• - invariants temporels la relation de
  récurrence ne change pas avec le temps.
• De plus, on se limitera à létude des systèmes
  causals.
• - causals tout échantillon de sortie y(n0) ne
  doit dépendre que des échantillons d'entrée déjà
  arrivés (n   n0) et de sortie déjà calculés
  (n lt n0). Tout système travaillant en temps réel
  est nécessairement causal.

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Traitement numérique du Signal

• Équation générale de récurrence

Cette équation générale régit les systèmes
récursifs. Le deuxième terme entraîne une
rétro-action (ou bouclage) du système, pouvant
être générateur dinstabilité. Léquation sans le
second terme, régit les systèmes non récursifs,
encore appelés systèmes à réponse impulsionnelle
finie, pour une raison qui sera expliquée ensuite.
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Traitement numérique du Signal

• Réponse impulsionnelle dun système il sagit
  de la réponse ( sortie) dun système, soumis en
  entrée à limpulsion de Dirac unité dn.
• Considérons un système linéaire invariant et non
  récursif. La réponse dun tel système à une
  entrée xn sécrit

On vérifie aisément que la réponse impulsionnelle
dun tel système est justement la suite des
coefficients an
Le système est causal si ai0 pour tout ilt0 et sa
réponse impulsionnelle sera finie si ai0 pour
tout i gt N-1. Ainsi, léquation suivante définit
un système à réponse impulsionnelle finie (FIR ou
RIF)
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Traitement numérique du Signal

• Appelons filtre RIF, le système décrit par

La transformée en z (TZ) de cette équation
sécrit
Soit H(z) la fonction de transfert en z du
système, définie par Y(z)H(z)X(z). On a alors
Notons que la fonction de transfert H(z) est la
transformée en z de la réponse impulsionnelle
lorsque xndn, alors X(z)1 et donc H(z)Y(z).
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Traitement numérique du Signal

• Notons que dune manière générale (équation de
  récurrence complète), la fonction de transfert
  présente un numérateur et un dénominateur
  H(z)N(z)/D(z).
• Les racines de N(z) sont les zéros de H(z), les
  racines de D(z) sont les pôles de H(z).
• Remarques
• - Les systèmes non-récursifs n'ont pas de pôles
  autres que 0.
• - les polynômes N(z) et D(z) étant à coefficients
  réels, leurs racines sont soit réelles, soit
  complexes conjuguées par paires.
• - le degré du polynôme N(z) doit être inférieur
  ou égal à celui de D(z) pour que le système soit
  causal. Ceci peut se vérifier sur un
  contre-exemple en partant d'une fonction de
  transfert ne vérifiant pas cette condition, on
  détermine la relation de récurrence du système et
  on constate qu'il y a des termes en x(n1),
  x(n2),...et donc que le système n'est pas causal.

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Traitement numérique du Signal

• La TZ permet de passer à la transformée de
  Fourier (et donc de connaître le comportement
  fréquentiel dun système ou le contenu
  fréquentiel dun signal), lorsquon la calcule
  pour la valeur de z suivante

Dans cette relation, j est le nombre complexe
défini par j2-1, f représente la fréquence (en
Hertz) et Te est la période déchantillonnage.
Remarquons que f.Te f/fe n, fréquence
réduite, sans dimension. Ainsi, en remplaçant z
par sa valeur dans H(z), on obtient la réponse
fréquentielle du système. Dans le cas du filtre
RIF
Cette équation donne les modifications
fréquentielles (en amplitude et phase) apportées
par le système au signal dentrée xn. Elle est
aussi appelée transmittance ou fonction de
transfert isochrone.
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Traitement numérique du Signal

• On peut remarquer, que sur le cercle unité, la
  fréquence nulle correspond au point z  1, la
  fréquence réduite f   1/4 au point z  j, la
  fréquence réduite f   1/2 au point z  -1

Cela veut dire que pour calculer la transmittance
du système en continu, il suffit de faire z  1
dans sa fonction de transfert H(z). De même H(-1)
correspond à la transmittance pour f '  1/2
(fréquence maximum dutilisation du système,
conséquence du théorème de Shannon). On peut
aussi vérifier que le module de T(f ') est une
fonction paire et que son argument est impair.
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Traitement numérique du Signal
Filtre à phase linéaire La réponse
fréquentielle dun filtre à phase linéaire
sécrit
avec
t correspond au temps de propagation du filtre,
cest à dire le retard quengendre le système.
Dune manière générale, il est exprimé par
Dans un filtre à phase linéaire, cette dérivée
est constante, donc le retard est le même pour
toutes les composantes fréquentielles du signal
dentrée le système ne provoque pas de
distorsion fréquentielle.
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Traitement numérique du Signal
Filtre à phase linéaire On montre quun filtre
à phase linéaire possède une symétrie dans les
coefficients. Ainsi, un filtre à 7 coefficients
va sécrire
réduisant ainsi le nombre dopérations
élémentaires à effectuer à chaque période
déchantillonnage.
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Traitement numérique du Signal
Synthèse dun filtre RIF à phase linéaire Il
sagit de trouver les coefficients ci précédents
permettant dobtenir une réponse fréquentielle
définie à partir dun cahier des charges exprimé
sous la forme dun gabarit fréquentiel.
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Traitement numérique du Signal
Synthèse dun filtre RIF à phase linéaire
Plusieurs approches sont possibles. La plus
classique utilise la périodicité de la réponse
fréquentielle. La réponse H(f) souhaitée, idéale,
est ainsi décomposée en série de Fourier. Exemple
du filtre passe-bas idéal
0 fe/2 fe
3fe/2 2fe f
H(f) est périodique de période fe, donc
décomposable en série exponentielle de Fourier
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Traitement numérique du Signal
avec ci, coefficients du filtre
Exemple. On intégrant entre fe/2 et fe/2 dans
le cas dun passe bas idéal de fréquence de
coupure réduite 0.25 (ce qui revient à poser
fe1), cette relation donne
On obtient c00.5, c11/p0.318, c20,
c3-1/3p, c40, jusquà cr avec r(N-1)/2
lorsque N est le nombre impair désiré de
coefficients.
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Traitement numérique du Signal
Les coefficients du filtre correspondent à
léchantillonnage dune fonction en sinus
cardinal, ce qui est logique puisquil sagit de
la transformée dun motif rectangulaire. Les
coefficients ci du filtre étant obtenus, il est
possible de suivre la démarche inverse, appelée
analyse du filtre, pour connaître les
caractéristiques fréquentielles du système
obtenu. On part de
Les coefficients étant symétriques, les termes
complexes de cette relation se simplifient en
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Traitement numérique du Signal
Le premier terme du produit correspond à la
partie réelle de la réponse fréquentielle. Le
second terme permet de connaître le déphasage
introduit par le système
Il sagit bien dun filtre à phase linéaire, qui
introduit un retard général t rTe,
correspondant à la moitié de la longueur du
filtre. Si on trace en fonction de la fréquence
f, le premier terme du produit, on obtient
Ce qui est éloigné du filtre de passe-bas idéal
de départ !
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Traitement numérique du Signal
Les ondulations observées proviennent du
phénomène de Gibbs pour retrouver le filtre
idéal de départ, il aurait fallu utiliser tous
les termes du développement en série de Fourier,
et non se limiter aux r premiers. Essayons de
comprendre lorigine des ondulations. Nous
partons du passe bas idéal
Le développement en série entière de Fourier
fournit les coefficients ci qui se répartissent
sur une courbe en sinus cardinal
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Traitement numérique du Signal
Tronquer à N coefficients revient à multiplier
de manière implicite par une fenêtre
rectangulaire, dans le domaine temporel.
Or, la multiplication directe dans un domaine se
traduit par un produit de convolution dans le
domaine transformé
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Traitement numérique du Signal
Revenons au domaine fréquentiel. Le passe bas
idéal
va être convolué
avec la transformée de la fenêtre rectangulaire
donnant la réponse observée
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Traitement numérique du Signal
On pourrait penser que, puisque le phénomène est
du au nombre limité de coefficients, il suffit
daugmenter celui-ci pour faire disparaître le
phénomène. Il nen est rien car augmenter le
nombre de coefficients conduit à resserrer les
ondulations sans en diminuer lamplitude
N 17
N 71
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Traitement numérique du Signal
Technique du  Windowing  La solution consiste
à remplacer la fenêtre rectangulaire quon
utilise implicitement lorsquon limite le nombre
de coefficients, par une fenêtre dune autre
forme, dont la transformée présente moins
dondulations. Il existe ainsi de très nombreuses
fenêtres Bartlett, Hamming, Hann, Blackman Le
choix de la fenêtre résulte presque toujours dun
compromis entre diminution des ondulations et
augmentation de la largeur de bande de
transition. Une solution classique est
dutiliser la fenêtre de Hamming définie par gi
0.54 0.46 cos (2 p i / N) (ces coefficients
gi doivent multiplier point par point les
coefficients ci du filtre)
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Traitement numérique du Signal
Technique du  Windowing  Réponses
fréquentielles de filtres passe-bas obtenus sans
fenêtre (bleu), avec fenêtre de Hamming (rouge)
et Blackman (vert)
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Traitement numérique du Signal
Méthode de léchantillonnage en fréquence
(Utilisation de la Transformée de Fourier
Discrète TFD) Rappel sur la TFD cest loutil
usuel pour létude des signaux échantillonnés.
Elle repose sur une double discrétisation
(temporelle et fréquentielle) et se prête à des
algorithmes de calculs rapides notés FFT Fast
Fourier Transform. Principe de la TFD
Signal continu s(t)
1 - Échantillonnage s(t)
Périodicité du spectre S(f)
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Traitement numérique du Signal
Spectre calculé sur N points successifs
Principe (suite)
période Te
 période fréquentielle  fe1/Te
2 Échantillonnage du spectre
Le spectre étant périodique, il nest nécessaire
de le calculer que sur une période on
échantillonne S(f) dans 1 période fe.
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Traitement numérique du Signal
La simplification à la base de la TFD consiste à
prendre N points dans une période fe sur le
spectre, donc espacés de fe/N. Ainsi, la TFD fait
correspondre N points sn ( sns(tnTe) ) du
signal temporel à une suite de N points Sk (
SkS(fkfe/N) ) dans le domaine fréquentiel
sn
Sk
3 périodisation implicite de la fenêtre
temporelle Léchantillonnage fréquentiel avec
Dffe/N suppose donc une périodicité temporelle
de période DT 1/DfNte le spectre obtenu
correspond à celui de lensemble du signal si
cette périodicité existe.
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Traitement numérique du Signal
Retour au filtrage utilisation de la TFD pour
le calcul des coefficients du filtre. On part de
la réponse fréquentielle idéale. On
léchantillonne en N points compris entre fe/2
et fe/2 si N est le nombre de coefficients
recherchés. Ces coefficients seront obtenus par
Contrairement à la méthode précédente, il suffit
de connaître les valeurs de Hk aux points
déchantillonnage et non une forme analytique de
H(f). Dautre part, du fait de la symétrie,
lexponentielle se transforme en une expression
trigonométrique. Par exemple, avec le même passe
bas et N9, on obtient ci1/9 2/9 (cos
(2pi/9) cos (4pi/9) )
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Traitement numérique du Signal
Les valeurs obtenues par les 2 méthodes sont
légèrement différentes. Elles deviennent égales
pour N tendant vers linfini. Remarque par
cette méthode, on impose à la réponse
fréquentielle du filtre de passer par les Hk
choisis. La réponse nest pas pour autant idéale
il ny a aucune contrainte entre ces points, et
on retrouve des ondulations. Ces ondulations
peuvent être supprimées par des techniques de
fenêtrage ou par des techniques doptimisation
(moindres carrés, méthode de Remez,). La méthode
de Remez est une méthode itérative donnant une
amplitude constante en fréquence des
ondulations. Généralement, quelques essais
(nombre N de coefficients, fenêtre choisie)
permettent dobtenir un filtre  passant  dans
le gabarit imposé. Mais attention, la
quantification des coefficients modifiera les
propriétés du filtre en arrondissant les
coefficients et pourra provoquer un dépassement
du gabarit.
illustration
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Traitement numérique du Signal
Filtres à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII ou
IIR) ou filtres récursifs Considérons
maintenant léquation de récurrence générale
Comme yn dépend de yn-1 qui dépend de yn-2 ,
cette relation est équivalente à celle dun
filtre RIF qui aurait une infinité de
coefficients ! Comme la suite des coefficients
représente la réponse impulsionnelle, on appelle
ces filtres, filtres à réponse impulsionnelle
infinie. Ils sont donc par nature plus
performants que les RIF, cest à dire, quà
nombre identique de coefficients, ils sont à même
de répondre à des gabarits difficiles. En
revanche, ils ne peuvent plus présenter la
propriété de phase linéaire (qui pourra être
compensé par un correcteur de phase) et la
stabilité ne sera plus garantie.
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Traitement numérique du Signal
Fonction de transfert en z dun filtre RII
Partons de léquation de récurrence et
calculons la transformée en z. On obtient
Soit encore
H(z) comporte un dénominateur et donc la
stabilité nest plus assurée.
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Traitement numérique du Signal
Stabilité On montre que le système est stable
si les pôles de la fonction de transfert (cest à
dire les racines du dénominateur) sont à
lintérieur du cercle unité dans le plan
complexe. Synthèse des filtres RII On part
généralement dune solution analogique, connue
par sa fonction de transfert H(p) et on cherche
une solution numérique H(z) équivalente. La
transformée en z (en posant zepTe) nest pas
utilisée car elle nassure pas le respect du
théorème déchantillonnage. On lui préfère la
transformation bilinéaire obtenue en posant
On choisit généralement k2/Te qui assure le
respect du théorème de Shannon.
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Traitement numérique du Signal
En remplaçant z et p dans cette relation par leur
équivalence en fréquence, on montre que la
transformation produit une déformation de laxe
des fréquences. Le passage entre fréquences
analogiques fa et numériques fn est contrôlable
par la relation
avec k2/Te , tout laxe des fréquences
analogiques se trouve  comprimée  entre fe/2
et fe/2 assurant labsence daliasing.
-fe/2 fe/2 fn
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Traitement numérique du Signal

• On procède donc ainsi
• - Partant du gabarit imposé, on lui faire subir
  une  pré-déformation  qui compensera la
  modification de la fréquence de coupure que va
  provoquer la transformation bilinéaire.
• - On cherche un filtre analogique qui respecte ce
  gabarit par lutilisation de fonctions modèles
  (Butterworth, Tchebycheff)
• - On applique la transformation bilinéaire.
• - Si le filtre analogique était donné par un
  produit de fonctions de transfert élémentaires,
  la transformation respecte la forme produit. On
  apparie alors les numérateurs et dénominateurs et
  on ordonne les termes du produit de manière à
  minimiser les risques dinstabilité ou les effets
  darrondis. Notamment, les facteurs à risque
  seront mis en premier dans une structure cascade,
  puisque leurs effets pourront être filtrés par
  les modules suivants.