Traitement du Sigal - 3TC

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2 - Introduction au traitement des signaux
aléatoires

• Introduction
• Processus aléatoire
• Corrélation, autocorrélation...
• Stationnarité, ergodicité
• Densité spectrale

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2-1 Introduction

• Signaux aléatoires bruit électronique, le
  signal de parole...
• Signal déterministe information
• Quand on connaît le passé, la probabilité
  dapparition dun niveau donné à linstant t est
  soit nulle, soit certaine (1).
• Linformation est liée à un certain degré
  dincertitude, daléatoire.
• Signal déterministe formule définissant
  parfaitement le signal.
• Signal aléatoire paramètres statistiques
  définissant les POSSIBILITES dévolution du
  signal.
• Valeur future exacte du signal

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Introduction

• Paramètres statistiques dun signal aléatoire
• Moyenne, variance, autocorrélation, moments, ...
• Ces paramètres peuvent être eux mêmes aléatoires
  (non stationnaire)
• exemple le signal de parole

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Introduction

• L astuce du temps différé
• on enregistre et on rejoue le signal.
• le signal nest plus aléatoire. Il est
  parfaitement connu.
• Oui, mais....
• traitement en temps réel, futur inconnu
• généraliser un traitement à des signaux futurs
  presques identiques à ceux que lon posséde
  déjà
• Le passé ne permet pas de déterminer complètement
  lavenir.

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Introduction

• Signal aléatoire Bruit
• Exemple
• Transmettre la parole sur des cables
  dalimentation secteur 50 Hz
• Le signal important est la parole, cest un
  signal aléatoire
• Le bruit génant est déterministe, cest une
  sinusoïde à 50 Hz
• Exemple
• Réception dun signal numérique au bout dune
  ligne de transmission
• Le signal numérique est aléatoire
• Le bruit sur la ligne de transmission est aussi
  aléatoire

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2-2 Processus aléatoire ou stochastique

• Processus stochastique famille de fonction
  aléatoire X(t,u)
• t est une variable réelle (par exemple le temps)
• u est un ensemble dévénements
• t et u peuvent être des variables continues ou
  discrètes
• X(t,u) peut prendre des valeurs continues ou
  discrètes, scalaires ou vectorielles.

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Exemple 1

• Bruit thermique dans un ensemble de résistances
  RRi , i1,N de même valeur ohmique

R
1
t
k
t
R
2
t
R
3
t

• t est une variable continue, R est une
  variable discrète
• X(t,Ri) est une représentation particulière du
  processus X(t,R) pour lévénement Ri a été
  choisie

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Exemple 1 (suite)

• Pour un instant tk donné, X(tk,R) est une
  variable aléatoire
• Le processus aléatoire prend des valeurs
  continues, scalaires et réelles.
• Si les signaux étaient numérisés, la variable t
  deviendrait discrète, ainsi que les valeurs
  prises par le processus (à cause de la
  quantification du CAN)
• Une réalisation particulière X(t,Ri) nest pas un
  signal déterministe.
• Tous les signaux sont à priori différents, mais
  le phénomène physique à lorigine du signal est
  le même pour toutes les résistances
• Trouver des lois statistiques communes

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Exemple 2

• Signal sinusoïdal à phase aléatoire

phase u variable aléatoire uniformément répartie
entre 0 et 2p
X(t,u)
t
u est à valeur réelle continue X(t,u) est à
valeur continue, scalaire et réelle Un signal
particulier X(t,ui) est déterministe.
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Exemple 2 (suite)

• Densité de probabilité de la phase u

• Pour un instant donné tk, calcul des moments
  statistiques de la variable aléatoire X(tk,u)
• Espérance mathématique

• Variance

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Exemple 2 (suite)

• Pour une valeur particulière ui (événement) de la
  phase, on peut calculer des paramètres temporels
  du signal X(t,ui)
• Moyenne temporelle

• Variance temporelle, carré de la valeur
  efficace

Remarque On obtient ici des valeurs identiques à
léspérance et à la variance statistiques
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Caractérisation dun processus aléatoire. Lois de
probabilité.

• Statistiques du premier ordre
• Fonction de répartition et densité de probabilité
  pour un tk donné

• Léspérance mathématique (n1) et les moments
  dordre supérieur sont définis par

Remarque Les moments peuvent dépendre de tk
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Exemple Processus gaussien

• Un processus, ou signal, ou bruit, gaussien
  posséde une densité de probabilité définie par
  une loi normale

m étant la moyenne et s lécart-type
s1 m0
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Exemple processus gaussien La densité de
probabilité représente la statistique des
amplitudes du signal à un instant donné, pour
lensemble des réalisations possibles du
processus. Lallure temporelle des réalisations
dun processus gaussien ne ressemble pas
forcément à un bruit comme ci dessous.
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Exemple signal sinusoïdal à phase aléatoire
La phase ayant une densité de probabilité
uniforme, les statistiques ne dépendent pas de
linstant tk. Par commodité on se place à
tkT/20.5 T
a
T
x1
On cherche la fonction de répartition FX(x1)
FX(0.5 T,u) Prob ( X(0.5 T,u) lt x1) Cest à
dire FX(x1) Prob (u gt -arcos(-x1 /a) et u lt
arcos(-x1 /a) )
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Exemple signal sinusoïdal à phase aléatoire
(suite)
Cest à dire
La densité de probabilité sobtient par
dérivation de la fonction de répartition
x
a
-a
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Caractérisation des processus aléatoires

• Statistique du deuxième ordre
• Relation entre les statistiques prises à deux
  instants t1 et t2 différents
• On considère deux variables aléatoires
• X(t1,u) et X(t2,u)
• Fonction de répartition conjointe

• Densité de probabilité

• Si les deux variables aléatoires sont
  indépendantes (Ce qui se passe à t1 ne dépend pas
  de ce qui se passe à t2)

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2-3 Corrélation, Autocorrélation...

• Signaux déterministes
• Signaux à énergie finie
• Signaux à puissance finie
• Mesure de ressemblance
• Autocorrélation temporelle
• Processus aléatoires
• Statistique du second
  ordre
• Caractérisation fréquentielle
• des signaux aléatoires (Densité spectrale)
• Autocorrélation statistique

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Corrélation, autocorrélation...Signaux à énergie
finie

• Energie dun signal continu ou discret
• Signaux transitoires
• Signaux de durée finie
• Existence de la transformée de Fourier
• Dans la réalité, en pratique, tous les signaux
  sont à énergie finie.
• Exemples
• x(t) Rect(t) énergie finie
• x(t) a constant nest pas à énergie finie
• x(t) V sin(2pft) nest pas à énergie finie

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Corrélation, autocorrélation... Signaux à
énergie finie

• Autocorrélation temporelle
• Si x(t) est réel, lautocorrélation est réelle
• Dimension V²/Hz ou A²/Hz
• Analogie avec la convolution
• Cest un produit scalaire, projection de x(t)
  sur x(t) décalé de t
• Pour t 0, on retrouve lénergie du signal
• Rxx(0) Ex
• Rxx(t) est maximale en t 0. Rien ne ressemble
  plus au signal que lui-même.

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Corrélation, autocorrélation... Signaux à
énergie finie

• Lautocorrélation posséde la propriétés de
  symétrie hermitique
• Si le signal est réel, lautocorrélation est donc
  réelle est paire.
• Exemple
• x(t) Rect (t/T) Rxx(t)T Tri(t/T)

Rect(t/T)
Rxx(t)
1
T
t
t
T
-T
T/2
-T/2
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Corrélation, autocorrélation... Signaux à
énergie finie

• Intercorrélation
• Symétrie hermitique
• (Attention à linversion de x et y dans le
  deuxième membre des équations)
• Mesure du degrè de ressemblance entre deux
  signaux en fonction dun décalage
• Projection de x(t) sur y(tt), produit scalaire

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Corrélation, autocorrélation... Signaux à
énergie finie

• Exemple dintercorrélation

x(t)
y(t)
1
1
-T
t
T
t
-T/2
T/2
-1
Rxy(t)
T
-3T/2
-T/2
t
T/2
3T/2
-T
Le signal x(t) ressemble le plus à y(t) aux
instants -T/2 et T/2. En t0, x(t) ne ressemble
pas du tout à y(t) (ils sont orthogonaux, produit
scalaire nul).
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Corrélation, autocorrélation... Signaux à
puissance finie

• Approximation de signaux réels
• Exemples
• Signal continu x(t)a
• Signal sinusoïdal x(t)V Sin(2pft)
• Signaux aléatoires, signaux périodiques,
  impulsion de Dirac, échelon unité...
• Puissance finie
• Signal à énergie finie puissance nulle
• Signal à puissance finie énergie infinie

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Corrélation, autocorrélation... Signaux à
puissance finie

• Autocorrélation temporelle, intercorrélation
• Problème de convergence des intégrales et des
  sommes
• Notation
• Dimensions V² ou A²
• Autocorrélation y(t)x(t) dans les formules
  précédentes

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Corrélation, autocorrélation... Signaux à
puissance finie

• Autocorrélation des signaux périodiques
• Le calcul sur une seule période suffit
• Lautocorrélation dun signal périodique est elle
  même périodique.
• Par définition, le signal périodique ressemble
  parfaitement à lui même, décalé dune ou
  plusieurs périodes.

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Corrélation, autocorrélation... Processus
aléatoires

• On peut calculer lautocorrélation temporelle sur
  une réalisation X(t,ui) dun processus aléatoire.
  On se retrouve alors dans le cas précédent.
• CE NEST PAS CE QUI NOUS INTERESSE ICI !!!
• On cherche une définition au sens statistique.
• Observation dun processus aléatoire X(t,u) à
  deux instant t1 et t2. Statistique du second
  ordre, moment conjoint
• Autocorrélation statistique

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Corrélation, autocorrélation... Processus
aléatoires

• Dans le cas dun processus réel continu

• Fonction dautocovariance
• Moment conjoint des variables aléatoires centrées
  X(t1)-mx(t1) et X(t2)-mx(t2),
• mx(t) moyenne du processus aléatoire à l'instant t

• Quand t1t2, on obtient la variance du processus
  aléatoire en t1.

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Corrélation, autocorrélation... Processus
aléatoires

• Remarques
• 1) On obtient des fonctions bidimensionnelles
  des variables t1 et t2. Dans le cas dun
  processus échantillonné discret, on obtiendra des
  matrices dautocorrélation et dautocovariance.
• 2) Si ces fonctions ne dépendent que de lécart
  temporel t1-t2, les fonctions d'autocorrélation
  et d'autocovariance sont monodimensionnelles et
  dépendent du temps t t1-t2.

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Corrélation, autocorrélation... Processus
aléatoires

• Exemple
• Signal sinusoïdal à phase aléatoire

u étant une variable aléatoire uniformément
répartie, la moyenne du premier terme est nulle.
(Voir la densité de probabilité du signal
sinusoidal à phase aléatoire) On obtient
Cest une fonction périodique, ne dépendant que
de lécart t1-t2. Pour t1t2, on retrouve la
variance du processus aléatoire.
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2-4 Stationnarité, ergodicité

• Processus stationnaire aus sens strict
• Les propriétés statistiques sont invariantes
  dans le temps
• Les statistiques du second ordre ne dépendent
  plus que de lécart tt1-t2
• Densité conjointe du second ordre
• Autocorélation
• Pour un processus réel

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Stationnarité, ergodicité

• Processus stationnaire (au sens large)
• Espérance mathématique constante
• Autocorrélation dépendante de tt1-t2
• Symétrie hermitique
• Stationnaire au sens strict
• Stationnaire au sens large
• Linverse nest pas vrai
• Fonction dautocorrélation bornée par la
  puissance moyenne du processus

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Stationnarité, ergodicité

• Processus ergodique au sens strict
• Moments statistisques
• Moments temporels
• Processus ergodique (au sens large)
• Egalité des Moyennes statistiques et temporelles
  ainsi que des fonctions dautocorrélation
• Moyenne

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Stationnarité, ergodicité
Fonctions dautocorrélation statistique et
temporelle

• Ergodique (au sens large)

Stationnaire (au sens large)
Linverse nest pas vrai.

• Signaux stationnaires ergodiques
• Estimation des paramètres statistiques à partir
  des paramètres temporels

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2-5 Densité spectrale

• Signaux déterministes
• Transformée de Fourier
• Module et phase
• Interprétation fréquentielle
• Signaux aléatoires
• Transformée de Fourier ????
• (oui, mais pour une réalisation X(t,ui) )
• Exemple Signal sinusoïdal à phase aléatoire
• X(t,u)a sin(2pftu)
• Intuitivement
• Une fréquence f damplitude a.
• Quelle phase ? elle est aléatoire.

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Densité spectrale

• Contenu fréquentiel des processus aléatoires
  défini par lénergie ou la puissance (carré de
  lamplitude)
• Densité spectrale dénergie ou de puissance
• Représentation de la répartition de lénergie ou
  de la puissance dun signal en fonction de la
  fréquence
• Intuitivement relation entre densité spectrale
  et spectre (transformée de Fourier) pour les
  signaux déterministes ???

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Densité spectrale

• Signaux à énergie finie
• Densité spectrale dénergie (DSE)

Fonction réelle. Fonction paire si le signal est
réel DSE Transformée de Fourier de la fonction
dautocorrélation temporelle
Dimension V²s/Hz ou A²s/Hz
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Densité spectrale

• Energie du signal

Transformée de Fourier inverse de la DSE Sxx(f)
est bien une densité spectrale
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Densité spectrale

• Signaux à puissance finie
• Densité spectrale de puissance (DSP)
• Transformée de Fourier de la fonction
  dautocorrélation temporelle

Dimension V²/Hz ou A²/Hz
Relation avec la transformée de Fourier
!
T.F. de x(t) limité à une durée T
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Densité spectrale

• Puissance du signal

Sxx(f) est bien une densité de puissance
41
Densité spectrale

• Processus aléatoire stationnaire
• Densité spectrale de puissance
• (Théorème de Wiener-Khintchine)
• Transformée de Fourier de la fonction
  dautocorrélation statistique

• Processus aléatoire ergodique
• Estimation de la fonction dautocorrélation
  statistique donc de la DSP à partir de la
  fonction dautocorrélation temporelle des
  réalisations disponibles du processus aléatoire.

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Densité spectrale

• Exemple Signal sinusoïdal à phase aléatoire
• Autocorrélation statistique (transp.30)

Densité spectrale de puissance
Autocorrélation temporelle (pour une réalisation
donnée ui de la phase) (T1/f0 )
Le signal est donc ergodique (au sens large)