Transparents audition IRD Nov. 2000

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Analyse temps-fréquence et ondelettes Module
Traitement du Signal, EOST 2A et Master 1 18
dec. 2006 (Intervenant Pascal Sailhac)
Dans un monde virtuel linéaire Fourier ad
hoc Mais dans un monde plus réaliste non
linéaire
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Introduction Svt les signaux réels transitoire
et à fréquence variable
Figure http//perso.ens-lyon.fr/patrick.flandrin
/transpEDSFA.pdf
3
Comment déterminer un spectre temps-fréquence(ou
temps-échelle) ?

• Covariance instantanée Transformée de
  Wigner-Ville
• (puis on en prend sa transformée de Fourier pour
  avoir un spectre instantané)
• Fourier à fenêtre glissante Transformée de
  Gabor
• (puis on en prend son module carré pour avoir un
  spectre instantané)
• Transformée en ondelettes Transformée de
  Morlet
• (pareil quà fenêtre glissante, mais avec une
  taille de fenêtre liée à la période)

?
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Points abordés
Ondelettes continues
A. Théorie A.1 Rappel corrélations,
convolutions, transformée et spectre de
Fourier A.2 Limitation superposition de
fonctions oscillantes, non oscillantes et
transitions A.3 Représentations Temps-Fréquence
et spectres dénergie instantané A.4
Ondelettes A.4.1 Exemple de représentations
Temps-Echelles A.4.2 Scalogramme et spectre
local A.4.3 Formules de reconstructions et choix
des ondelettes (inversion) A.4.4 A N-Dimensions
Ondelettes tensorielles B. Exemples
dapplications géophysiques B.1 Sismique B.2
Illustrations numériques simples avec Matlab B.3

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A.1 Rappel sur la TF
A.1 Rappel corrélations, convolutions,
transformée et spectre de Fourier
compléments avec textes et équations !
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A.2 Limitations de la TF
A.2 Limitation superposition de fonctions
oscillantes, non oscillantes, et transitions
Oscillantes fi(x)cos(2puix) ?
Ei(u)d(u-ui)/4 f(x)f1(x)f2(x) ?
E(u)E1(u)E2(u)
Transition f(x)f1(x)H(-x)f2(x)H(x) ?
E(u)?E1(u)E2(u)
compléments avec textes et équations !
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A.3 Temps-fréquence et spectre dénergie
instantané
Domaine de Fourier ou des Fréquences
même frequence partout
T2p/f
Domaine Temps-Fréquence ou Position-Echelle
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A.3 Temps-fréquence et spectre dénergie
instantané
Inégalité de Gabor (Heisenberg)
Largeur en temps x Largeur en pulsation
où
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A.4 Ondelettes
A.4.1 Exemple de représentations Temps-Echelles
échelles
temps
temps
échelles
temps
Figure http//www.isteem.univ-montp2.fr/LGHF/equ
ip/gaillot/PDF_these/TM.html
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A.4 Ondelettes
A.4.1 Exemple de représentations
Temps-Echelles A.4.2 Scalogramme et spectre
local A.4.3 Formules de reconstructions et choix
des ondelettes (inversion)
?
A.4.4 A N-dimensions (cartes, blocs 3D, 4D)
Ondelettes tensorielles
Décompositions position-échelle-angles
dEuler (Pour une carte décomposition
position-échelle-azimut)
?
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A.4.4. Ondelette classique à 2D Chapeau
Mexicain ou  DOG 
(isotrope)
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C. Illustrations numériques simples sur Matlab
Lancer Matlab, puis dans le répertoire
OndelettesMontréal, taper TestSignaux
Il sagit dun script éducatif initialement
réalisé pour un cours donné à lEcole
Polytechnique de Montréal en février 2000. Il
permet de calculer les spectres de Fourier de
différents signaux, et de les comparer à la
transformée en ondelette calculé avec londelette
de Cauchy.
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B.1 Application en sismique
Représentation des sources sismiques (sweep/chirp)
Source propre
Source harmoniques
Figure Li et al., Geophysics 60, 1995, 501-516
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Caractérisation des traces sismiques
Figure J. Pi Alperin, DEA 2000, EOST
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1D wavelet of first order in x
2D wavelet of first order in x
Ondelettes de Poisson (potentiel multipolaire)
1D wavelet of first order in x
2D wavelet of first order in x
General expression of 2D wavelets of order g
Sgi are obtained by Convolution of oblic
derivatives in directions qi and upward
continuation
Oblic derivations
Upward continuation
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1D wavelet of first order in x
2D wavelet of first order in x
Transformées dans le domaine temps-fréquence
Transformée en ondelettes complexes Ondelettes
Hilbert Transformée en ridglettes Ondelettes
Radon Transformée de Wigner-Hough Wigner-Ville
Hough etc
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Bibliographie (1)
Ouvrages de références
Ingrid Daubechies, 1992, Ten lectures on
wavelets, Regional conference series in applied
mathematics No 61, Society for Industrial
Applied Mathematics Marie Farge, Julian Hunt
J. Cristos Vassilicos, 1993, Wavelets, fractals
and Fourier transforms New developments and
new Applications, Clarendon Press, Oxford. Efi
Foufoula-Georgiou Praveen Kumar, 1994, Wavelets
in Geophysics, Academic Press, San
Diego. Bruno Torrésani, 1995, Analyse continue
par ondelettes, InterEditions, CNRS Editions,
Paris. Matthias Holschneider, 1995, Wavelets, an
analysis tool, Clarendon Press, Oxford. Wolfgang
Dahmen, Andrew J. Kurdila Peter Oswald, 1997,
Multiscale Wavelet Methods for Partial
Differential Equations, Academic Press. Stéphane
Mallat, 1997/99, A Wavelet tour of signal
processing, Academic Press, San Diego. Patrick
Flandrin, 1998 (1993 1ière édition),
Temps-fréquence, Edition Hermes, Paris.
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Bibliographie (2)
Quelques Thèses
Douzi Hassan, 1992, Construction de bases
multi-échelles et application à lestimation
des paramètres en sismique, Univ. Paris
9. Fatimetou Mohamed-Salek, 1994, Inversion
sismique par une méthode multi-échelles, Univ.
Paris 9. Frédérique Moreau, 1995, Transformée en
ondelettes de mesures géophysiques,
Géosciences Rennes. Guy Ouillon, 1995,
Application de lanalyse multifractale et de la
transformée en ondelettes anisotropes à la
caractérisation géométrique multi-échelle des
réseaux de failles et de fractures, Univ.
Nice-Sophia Antipolis/BRGM. Felix J. Herrmann,
1997, A scaling medium representation, a
discussion on well logs, fractals and waves,
Delft Univ. Technology. Pascal Sailhac, 1999,
Analyse multiéchelles et inversion de données
géophysiques en Guyane Française, Institut de
Physique du Globe de Paris. Philippe Gaillot,
2000, Ondelettes continues en Sciences de la
Terre - Méthodes et applications, Univ.
Toulouse 3.
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B.2 Application aux champs de potentiel
Wavelet Domain
Aeromagnetism
Magnetic Signature of a Fault
Magnetic Signature of Dikes
Geology
Green Belt (sandstone, quartzite,)
Mainly Acid Plutonism (granodiorite)