Diapositive 1

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Modèles statistiques et modélisation de processus
stochastiques
1- Modèles statistiques 1.1- Statistiques
corrélationnelles - Modèles de régressions
linéaire simple et multiple - Modèles non
linéaires - Quelques infos sur les distributions
théoriques de probabilités 1.2- Modélisation
Black-Box modélisation par réseaux
neuronaux 2- Modélisation des processus
stochastiques 2.1- Automates
cellulaires 2.2- Chaînes de Markov
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Introduction aux modèles empiriques
Objectif établir des relations statistiques
entre une variable quon souhaite prédire et des
variables potentiellement capables dexpliquer
cette variable. Souvent, le problème revient à
étudier leffet de la variabilité des variables
explicatives sur la variabilité de la variable à
expliquer (Analyse de variance).
On peut diviser les problèmes de prédiction en
deux catégories Régression prédire la valeur
dune variable à partir dune ou plusieurs
variables quantitatives continues (ou supposées
lêtre). Classification déterminer à quelle
classe une ou plusieurs variables quantitatives
peuvent appartenir. Les variables dentée sont
quantitatives et la variable de sortie est
nominale (classe).
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Analyse de régression

• Modèle linéaire simple régression linéaire
  donnant une équation fonctionnelle de prévision
  entre deux variables
• Y ? ?x ?
• Où x est la variable indépendante (explicative ou
  prédictive) et Y est la variable dépendante
  (réponse ou prédite).
• ? est lerreur de prédiction de Yi en Xi

Principe destimation des constantes (paramètres
de léquation de prédiction) par la méthode des
moindres carrés Si n est le nombre
dobservations et xi et yi sont les quantités
mesurées et si f est le modèle à établir (modèle
de prédiction) y f(x) Alors la méthode de
moindres carrés sapplique à toutes les fonctions
f(x) et cherche à déterminer les paramètres de la
fonction f en minimisant la somme des carrés des
écarts (?i) entre la variable prédite par le
modèle et la valeur mesurée
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• Modèle linéaire multiple régression linéaire
  donnant une équation fonctionnelle de prévision
  entre une variable à expliquer et plusieurs
  variables explicatives
• Y ? ?1x1 ?2x2 ?pxp ?
• Où xi sont les variables indépendantes
  (explicatives ou prédictives) et Y est la
  variable dépendante (réponse ou prédite).
• Exemple la croissance végétale peut être
  potentiellement expliquée par la quantité de
  pluie et le rayonnement.
• Pour deux variables Pour p variables gt2
• 1. Y ? ?1x1 ?2x2 ? 2. Y ? ?1x1
  ?2x2 ?pxp?
• Y définit un plan Y définit un hyperplan
• ?1 est la pente du plan en x1 ?i est la
  pente selon la dim. xi
• ?2 est la pente du plan en x2

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Modèle multilinéaire Y X A ?
Y X A ?
Le modèle comporte deux composantes - Une
composante déterministe (explicable) AX - Une
composante stochastique (aléatoire) ?
Hyp. 1 E(Y) AE(X) en supposant que les
erreurs sannulent mutuellement. Hyp. 2 E(?)
0 ? Dans lensemble le système est stable
mais individuellement, le même xi nimplique pas
obligatoirement le même yi. Hyp. 3 Les erreurs
suivent la même loi statistique (loi
normale). Hyp. 4 Les erreurs ne sont pas
autocorrelées. Hyp. 5 Les variables X (1 à p)
sont indépendantes.
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Modélisation de distributions de données
expérimentales Quelques infos sur les fonctions
de densité de probabilités
Si X est une variable quantitative aléatoire et
si n est la taille de léchantillon
dobservations xi, la distribution des fréquences
donne Pour Xxi f(xi) est la fréquence
relative.
Est la fréquence cumulée Xxi
Si la variable X est continue, alors la
distribution des fréquences correspond à une
distribution de probabilités.
Pr(Xgtxi) F(xi)
f(x) est la fonction de densité de
probabilité. F(x) est la fonction de répartition
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Quelques fonctions théoriques de densité de
probabilités
La loi normale (loi de Gauss-Laplace)
Signification Une variable X suit une loi
normale lorsque plusieurs causes sont à lorigine
de sa variation, ayant des effets additifs et
quaucune nest prépondérante.
µ et s sont respectivement la moyenne et
lécart-type.
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La loi de Poisson
Particularité la moyenne est égale à la variance
Application en Ecologie (Ex.) - Mesure de la
répartition spatiale dune variable aléatoire. Si
Variance/Moyenne 1 La variable est
géographiquement répartie dune manière
aléatoire. Variance/Moyenne gtgt1 La répartition
est agrégative Variance/Moyenne ltlt1 La
répartition est regulière
La loi de Poisson simulée (lamda 50, k1100
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Simulation de distributions foliaires dans un
volume végétal pour un modèle de lancée de rayons
Extrait Walter J-MN, Fournier R., Soudani K. and
Meyer E. (2003) Integrating clumping effects in
forest canopy structure  an assessment through
hemispherical photographs. Canadian Journal of
Remote Sensing (CJRS)- 29,3, 388-410
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Loi Gamma
k gt 0 est le paramètre de forme et ? gt 0 est le
paramètre d échelle . Signification La durée
de vie d'un appareil ou d'un organisme suit sous
leffet dun vieillissement une loi Gamma avec
kgt1.
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Loi de Weibull
Exemples La distribution des diamètres de
tronc dans une parcelle forestière gérée suit une
loi de Weibull. La distribution des indices
foliaires locaux dans une parcelle forestière
suit également une loi de Weibull.
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Relations entre les variabilités spatiales LAI et
NDVI dans des couverts forestiers
LAI-NDVI simulés
LAI in situ-NDVI

• Conclusions
• Pour un indice foliaire moyen de la parcelle
  correspond une distribution particulière des LAIs
  locaux.
• Pour un indice foliaire moyen de la parcelle
  correspond une distribution particulière des NDVI
  locaux. Plus lindice foliaire moyen est élevé
  plus la variance du NDVI intaparcelle diminue.

Davi et al.2004
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Modélisation Boîte noire par réseaux de neurones
Variables dentrée
Variable (s) de sortie
Modélisation "boîte noire". On ne s'intéresse pas
aux mécanismes et aux processus expliquant le
lien entre les entrées et les sorties mais
seulement à leurs relations au sens statistique.
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Principe de la modélisation par réseaux de
neurones
Chez lhomme 10 milliards de neurones. Chaque
neurone est connecté à environ 10000 autres.
Principe chaque neurone reçoit des signaux
(impulsions électriques) des autres neurones par
lintermédiaire des dendrites. Si le signal
dépasse un seuil, le neurone transmet un signal
aux autres par lintermédiaire de son
axone. Finalement, la tâche dun neurone est
simple mais cest lensemble qui fait quon est
pas bête Analogie mathématique un neurone
correspond à une entité fonctionnelle recevant
des informations, faisant leur somme et émet un
signal si la somme dépasse un seuil
Analogie aux neurones biologiques
ExtraitsFrédéric Perez http//www.techno-science.
net
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Principe de fonctionnement dun réseau dun seul
neurone
Output
1
1
Fonction dactivation
Seuil
s
Somme pondérée
-1
2
12
p2
p1
0.6
Poids attribués aux inputs
0.5
10
inputs
15
X1
X2
16
1
0.9999
1
12
0
Identité
Pas unitaire
Sigmoïde
Linéaire à seuil
Gaussienne
Différentes fonctions dactivation
Seuil
s
-1
2
12
Si xi sont les entrées, alors La sortie y est
donnée par
p2
p1
0.6
0.5
10
15
f étant la fonction dactivation
X1
X2
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Principe de fonctionnement dun réseau de
plusieurs neurones
Principe 1 - Des entrées Quantitatives ou
non 2 - gtgt Une couche de neurone Chaque
neurone calcule une somme pondérée des
entrées. De cette somme, on soustrait souvent
un biais (constante). 3- A la sortie du neurone,
le résultat est traité par une fonction
dactivation (une sorte de filtre). 4- Le
résultat de lapplication de la fonction
dactivation est la participation du neurone
considéré dans la sortie y.
Létape primordiale est la détermination des
poids nécessité dun apprentissage.
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Automates cellulaires
Historique Les automates cellulaires ont été
inventés par Stanislaw Ulam (1909-1984- aussi
inventeur de la méthode Monte Carlo) et John von
Neumann (1903-1957) à la fin des années 40
Jeu de la vie (Game of life)
Les règles sont Dans un espace de n cellules
1. Les cellules peuvent se trouver dans deux
états vivant / mort. 2. Au départ, lespace
cellulaire est composé de cellules dans létat
mort, sauf pour quelques unes. 3. Lévolution de
chaque cellule est déterminée en fonction du
nombre de cellules (Nv pour vivantes) vivantes se
trouvant autour delle. Les règles sont  Une
cellule vivante meurt (devient vide) pour Nv
1  état disolement de cellule. Une cellule
vivante meurt pour Nv 4  un état de
surpeuplement autour de la cellule. Une cellule
morte peut devenir vivante pour Nv 3  cela
correspond à une reproduction  trisexuée .
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Propriétés des automates cellulaires
Voisinage létat dune cellule dépend des états
de ses voisines Parallélisme les modifications
des états de toutes les cellules sont
synchrones. Déterminisme et stochasticité Automa
tes déterministes Létat dune cellule est
déterminé avec certitude par les états de ses
voisines. Automates stochastiques Létat dune
cellule est stochastiquement déterminé par les
états de ses voisines selon des probabilités de
transition. Autrement dit, une même
configuration peut donner des situations
différentes. Homogénéité les mêmes règles
sappliquent à toutes les cellules Discrétisation
lévolution de lensemble du système se fait
selon un pas de temps discret.
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• Quelques domaines dapplication des automates
  cellulaires
• Simulation de la propagation des feux de forêts
• Modélisation et simulation de la dynamique des
  écosystèmes forestiers
• 3. Application en Urbanisation
• 4. Application en physique (Turbulence dans un
  fluide)
• 5. Informatique (Cryptographie),Electronique,
  etc.

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Exemple dapplication diffusion dun feu de
forêt
Paysage initial (50 50 cellules) 1 -
Occupation en surface Eau 5 Feuillues
25 Pin 50 Sols nus 10 Cultures 10 2-
Inflammabilité (Probabilité) Eau 0 Sol nu
0 Feuillues 0.80 Pin 0.95 Cultures 0.5
Etat possibles - Occupation - Feu - Cendre
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Modélisation des processus stochastiques par les
chaînes de Markov
Un processus est appelé chaîne de Markov lorsque
létat dun phénomène aléatoire ou le résultat
dune expérience aléatoire peut influencer létat
suivant ou le résultat de lexpérience suivante.
Soit un système quelconque composés de trois
états A, B et C tels que les probabilités de
passage dun état à un autre sont les suivantes
Etat A
Etat B
Etat C
PAC
PBC
PAB
PBB
PCB
PCC
PAA
PBA
Etat A
Etat B
Etat C
Etat A
Etat B
Etat C
Etat C
Etat B
PAA
Etat A
PAC
PAB
PCC
PBB
PBA
Etat C
PCB
Etat B
PBC
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Les probabilités (P) correspondent à des
probabilités de transition entre états On a
PAAPABPAC 1, PBBPBAPBC 1, PCCPCB1 Entre
les temps t et t1, on a (Etat A)t1 PAA(Etat
A)t PBA(Etat B)t (Etat B)t1 PAB(Etat A)t
PBB(Etat B)t PCB(Etat C)t (Etat C)t1
PAc(Etat A)t PBc(Etat B)t PCC(Etat
C)t Autrement
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Etats finaux (temps t1)
?P 1
Etats initiaux (temps t)
Les matrices ETAT sécrivent (ETAT)t1
(ETAT)t T La matrice T est la matrice de
transition dont les éléments sont donnés dans le
tableau ci-dessus.
25
Etat Initial (t0) V0 Chênes 20 Vignes
20 Pelouse 10 Garrigue 15 Pinède 35
Exemple tiré de Coquillard et Hill-
Modélisation et simulation décosystème
Létat à un instant t quelconque est donné par
26
(No Transcript)
27
MERCI