Efficient Simplification of PointSampled Surfaces

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Efficient Simplification of Point-Sampled Surfaces

• Simplification directe dun nuage de points.

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Motivations

• Travailler directement sur un nuage de point
  (format dentrée très répandu)
• Créer un prétraitement efficace pour réduire la
  complexité de ces données avant de les passer à
  un algorithme de visualisation

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Approches existantes
La simplification de maillages est un domaine de
recherche déjà très avancé dont certaines
heuristiques peuvent être adaptées aux surfaces
définies par points.

• Méthodes par regroupement (clustering)
• Simplification par itérations
• Simulation de particules

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Approches existantes

• Dans les méthodes précédentes (alexa et al.,
  Linsen), le nuage de points résultant était
  forcément une partie de loriginal aliasing
• Au contraire, les méthodes présentées ici ne
  donnent pas obligatoirement un sous ensemble de
  lensemble de départ

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Avantages

• Réduction automatique du bruit
• Rapidité et qualité de la reconstruction de
  surface sur le nuage simplifié
• Adapté aux algorithmes de rendu par points
• Rapide et peu gourmand en mémoire

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Clustering

• Méthodes très utilisées pour réduire la
  complexité des objets 3D.
• Généralement approche volumétrique
• subdiviser la boite englobante de lobjet en
  cellules
• remplacer tous les points dune même cellule par
  un représentant commun

• approche surfacique
• incrémentale
• hiérarchique

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Analyse de la covariance

• On cherche à estimer la variation de surface,
  cest-à-dire la distance des points au plan
  tangent
• Lanalyse des valeurs et vecteurs propres de la
  matrice de covariance dun voisinage local peut
  être utilisée pour estimer les propriétés locales
  de la surface

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Matrice de covariance 3x3

• Calcul de la matrice de covariance au point p

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Vecteurs propres
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Estimation de normale
Equation du plan
V0 est une approximation de la normale à la
surface
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Variation de surface
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Croissance de région

• A partir dun point qui constitue un cluster, on
  ajoute successivement ses voisins pour agrandir
  le cluster.
• On sarrête si
• on atteint le maximum de points spécifié par
  lutilisateur
• on atteint la variation de surface maximum
  spécifiée par lutilisateur

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Croissance de région

• Pour éviter davoir trop de clusters et trop
  petits,
• lutilisateur fixe un seuil  minimum 
• Tous les points dans de trop petits clusters sont
  rattachés au cluster valide le plus proche
• Cette opération peut amener à dépasser le seuil
  maximum fixé

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Hierarchical Clustering

• Cette approche consiste à séparer récursivement
  le nuage de points en 2 tant que
• sa taille est supérieure à la taille maximum dun
  cluster
• la variation de la surface est supérieure à une
  variation maximum

On définit le plan de coupe par le centre du
nuage de points et le vecteur V2 de la matrice
de covariance
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Hierarchical Clustering
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Comparaison des 2 méthodes
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Iterative Simplification
Principe Réduire itérativement le nombre de
points du modèle initial en considérant lerreur
encourue
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Iterative Simplification

• Mesure quantitative de lerreur commise
• En considérant les k voisins de chaque point p
• on estime un plan tangent entre pi et p
• via ei p - pi et bi ei n (normal en p)
• Contraction itérative de paires de points
• Deux points p1 et p2 se contractent en p
• si lerreur minimum est vérifiée

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Iterative Simplification
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Particle Simulation
Principe Placer le nombre souhaité de
particules aléatoirement sur la surface Les
répartir suivant un algorithme de répulsion en
restreignant leurs déplacements contre la
surface
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Particle Simulation

• Répulsion
• Force de répulsion linéaire
• Fi(p) k (r - p - pi).(p - pi)
• r rayon dinfluence
• Fi(p) force exercée sur la particule p
• k force constante
• Force totale exercée sur p
• F(p) ? i?Np Fi(p)
• où Np est le voisinage de rayon r

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Particle Simulation

• Projection
• Les points sont projetés sur la surface
• définie implicitement par une adaptation
• de la projection surfacique MLS
• MLS cest quoi ?
• Moving Least Square
• Adaptation ?
• Pour les nuages de points non uniformément
  répartis

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Particle Simulation

• Projection (suite)
• Calcul de la projection surfacique MLS coûteuse
• Prévisualisation par simple projection sur le
  plan tangent du point le plus proche

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Particle Simulation

• Simulation adaptative
• Concentrer plus de points
• dans les régions de hautes coubures
• Adapter le rayon de répulsion
• r inversement proportionnel à ?n (variation)
• Adapter la répartition initiale
• à ? (densité) on associe ?.?n

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Particle Simulation
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Appréciation derreur

• Evaluer la qualité des surfaces générées par
• ces méthodes pour différents nuages de points
• Erreur maximale (distance bilatérale dHausdorff)
• ?max(s,s)
• Erreur moyenne (distance point à surface)
• ?avg(s,s)

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Appréciation derreur

• Créer un nuage de points Q de point de S, par la
  méthode simulation de particule
• Pour tout q?Q d(q,S) minp?Sd(q,p)
• d(q,S) calculer via lopérateur de projection
  MLS
• On approxime ainsi
• ?max(s,s) ? maxq?Qd(q,S)
• ?avg(s,s) ? 1/Q ?q?Qd(q,S)

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Résultats

• Appréciation de la surface

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Résultats

• Effort du traitement
• Clustering de loin la plus rapide
• Iterative Simplification phase de précalcul
  relativement longue
• Particule Simplification la plus lente pour les
  gros modèles
• ? alternative
• petit nombre de particules
• position déquilibre
• division des particules (adapter le rayon de
  répulsion)
• position déquilibre
• etc. jusquà ce le nombre de particule convienne

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Résultats
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Résultats

• Mémoire requise
• implémentation in-core

Incremental Clustering Iterative
Simplification Particle Simulation
Espace mémoire linéairement proportionnel au
modèle dentrée
Hierarchical Clustering
Espace mémoire ne dépendant que de la taille du
modèle de sortie
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Résultats

• Simpification par points
• P (134 345 points)
• ? Iterative Simplification (3,5)
• P (5 000 points)
• ? Triangularisation (2,45)
• S

• Simplification par mesh
• P (134 345 points)
• ? Triangularisation (112,8)
• S
• ? Mesh Simplification QSlim (3,5)
• S