Structures de donn

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Structures de données avancées Concepts du
Multidimensionnel

• D. E
• ZEGOUR
• Institut National d Informatique

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Concept du multidimensionnel

• Les méthodes traditionnelles
• Utilisent les listes inversées
• Autant d'indexes secondaires que d'attributs
• Coûteuses pour les grands fichiers
• Les méthodes modernes
• N'utilisent pratiquement pas d'index
• Utilisent le concept des tableaux extensibles
• Visent un accès disque

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Concept du multidimensionnel

• Terminologie
• Article ( k1, k2, ...kd)
• d attributs A1, A2, ......, Ad , d est la
  dimension
• Généralement, une clé primaire (k1) et d-1 clés
  secondaires (k2, K3, ...Kd)
• Ki appartient à un domaine Di
• Article point de l'espace d-dimensionnel D1 X
  D2 X....XDd

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Concept du multidimensionnel

• Terminologie
• Requête exacte (Exact match query )
• Tous les attributs sont spécifiés
• ( Articles avec A1k1, A2k2, ....AdKd )
• Requête partielle (Partial match query )
• Quelques attributs sont spécifiés
• Requête par intervalle ( Region query )
• Un intervalle est spécifié pour chaque
  attribut.

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Concept du multidimensionnel

• Représentation d'un tableau statique
• Déclaration A(a1b1 a2b2 ......anbn) 
• Ordre de rangement des sous tableaux A(i, , ,
  ..., )
•  
• A(a1, , , ..., ),
• A(a11, , , ..., ),
• A(a12, , , ..., ),
• .........,
• A(b1, , , ..., )

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Concept du multidimensionnel

• Représentation d'un tableau statique
• A l'intérieur de chaque sous tableau A(i, , ,
  ...., ), l'ordre suivant des sous sous-tableaux
  est considéré
• A(i, a2, , , ..., ),
• A(i, a21, , , ..., ),
• A(i, a22, , , ..., ),
• ......,
• A(i, b2, , , ..., )
•  
• Et ainsi de suite ...
• Donc rangement de la matrice ligne par ligne. Ce
  sont les derniers indices qui varient le plus
  rapidement.

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Concept du multidimensionnel

• Exemple pour un tableau A(3, 2, 3)

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Concept du multidimensionnel

• Adresse d'un élément A(i1, i2 .., in) ?
•  
• Posons di bi - ai 1
• Adr de A(i1, , , ....) AD1 Base
  (i1-a1) d2d2...dn
• Adr de A(i1, i2, , ...., ) AD2 AD1
  (i2-a2)d3d4...dn
• Adr de A(i1, i2, ...in)
• ADn Base (i1-a1)d2d3..dn (i2-a2)d3d4...dn
  ....(in-1-an-1)dn (in-an)
•  
• Partie constante Base -(a1 ?i2,ndi a2 ?i3,n
  di...an-1dn an)
•  
• Partie variable in ?i2,n di i2 ?i3,ndi
  ... in-1dn in

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Concept du multidimensionnel

• Adresse d'un élément A(i1, i2 .., in) ?
• Si a1 a2 ...... an 0, ladresse de A(i1,
  i2, ...in) est
• i1d2d3..dn i2d3d4...dn ....in-1dn in
•  
• Ou bien
•  
• ?j1,n ( ij . ?ij1,n di )

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Concept du multidimensionnel

• Tableaux extensibles définition, notations
• Tableau A0U1, 0U2, ....,0Uk , Ui variable
  
• Aj1, j2, ...jk représente un élément du
  tableau.
• Chaque ji est dans l'intervalle 0..Ui
• Le tableau est représenté en mémoire de manière
  contiguë M0..V
• V ?i1,k ( Ui 1) - 1
• L'état initial Ui est 0 pour tout i dans 1, 2,
  ...,k)
• A0, 0, ... a comme image M0. 

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Concept du multidimensionnel

• Tableaux extensibles fonction dallocation
• Un schéma d'allocation du tableau A est une
  fonction bijective Loc Nk ---gt N telle
  que
• (i) Loc(lt0, 0, 0gt) 0
• (ii) Loc(lta1, a2,...akgt) lt Loc(ltb1, b2, ...bkgt)
• ssi pour i ? k ,
• at bt pour 1 ? t lt i et
• ai lt bi sinon

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Concept du multidimensionnel

• Représentation dun tableau extensible à K
  dimensions (KDEA K-Dimensional Extensible Array
  )
• Utilisation dun tableau d'index IXA0X, 1..K,
  1..K)
• Première dimension évolution des indices
• Deuxième dimension 1 tableau par dimension
• Troisième dimension base et facteur
  multiplicatif pour chaque dimension
•  
• X Max (U1, U2, ....,Uk )
•  
• Remarque IXA peut être vu comme K distinct
  2-dimensionnel tableaux  Bi 0..Ui , 1..k avec
  i1, k.

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Concept du multidimensionnel

• Exemple
• Mécanisme d'expansion dans le cas d'un 2DEA a
  travers les changements d'état suivants
• ( U1, U2 ) (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 2), (2,
  2), (2, 3), (3, 3), (3, 4)

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Concept du multidimensionnel

• Illustration du principe d'expansion
• Ajouter une colonne au tableau qui occupe 4 X 5
  20 éléments, adressé de 0 à 19.
• La nouvelle colonne doit occuper 4 éléments à
  partir de l'Adresse 20.
• Ladresse d'un élément A(i, j) de cette colonne
  est calculée en ajoutant l'indice ligne (i) à 20
  cad A(i, j) 20 i (ExA(2, 5) 22 )
• Nous devons donc enregistrer le fait que
  l'Adresse début de chaque élément de la colonne 5
  est 20. On range donc 20 dans B25,2.

B1
B2

• De la même façon, si nous
• ajoutons la 5ième ligne,
• nous enregistrons l'Adresse
• début 24 dans B14, 1.

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Concept du multidimensionnel

• Comment calculer ladresse d'un élément
  arbitraire soit A (1, 5) ? 
• Est-ce que A(1, 5) appartient à une ligne ou une
  colonne?
• Si A(1, 5) a été ajouté à la ligne 1, B2 (5,2)
  devrait avoir une valeur inférieure à ladresse
  début de la ligne 1 qui est B1 (1, 1).
• Donc il suffit de prendre le Max entre B2(5,2)
  et B1 (1,1).

B1
B2
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Concept du multidimensionnel

• Procédure d'allocation
• Étendre(t) t index, t 1, k
• 1. Étendre Bt0Ut, 1..K à Bt0Ut 1, 1..K
• 2. Utlt--- Ut 1
• 3. BtUt1,t (Ut1) ? r1, k et r t.(Ur
  1) base
• Bt(Ut1, q ? rq1, ..., k et r t ( Ur
  1) facteurs multiplicatifs
• q1, K et q ltgt t.

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Concept du multidimensionnel

• Fonction d'accès Adresse de A(j1, j2, ..., jk )
  ?
• 1. Déterminer l'indice t tel que
• Btjt, t Max Biji, i, i1, ..,K
• 2. Adresse Btjt,t ? r 1, ...,K et r t (
  Btjt, r jr )

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Concept du multidimensionnel

• Calcul des adresses
• Adr(0,0)0 Adr(0,1)3 Adr(0,2)6 Adr(0,3)12
  Adr(0,4)24 Adr(1,0)1
• Adr(1,1)4 Adr(1,2)7 Adr(1,3)13 Adr(1,4)25
  Adr(2,0)2 Adr(2,1)5
• Adr(2,2)8 Adr(2,3)14 Adr(2,4)26 Adr(3,0)9
  Adr(3,1)10 Adr(3,2)11 Adr(3,3)15 Adr(3,4)27
  Adr(4,0)16 Adr(4,1)17 Adr(4,2)18 Adr(4,3)19
• Adr(4,4)28 Adr(5,0)20 Adr(5,1)21 Adr(5,2)22
  Adr(5,3)23 Adr(5,4)29

• Exemple 1 k2 E 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 2
• Contenu des tables
• B1
• 1 0 1 2 9 16 20
• 2 1 1 1 1 1 1
• B2
• 1 1 1 1 1 1
• 2 0 3 6 12 24

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Concept du multidimensionnel

• Exemple 2
• k3 E1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3
• Contenu des tables
• B1
• 1 0 1 8 27
• 2 1 1 2 3
• 3 1 1 1 1
• B2
• 1 1 1 2 3
• 2 0 2 12 36
• 3 1 1 1 1

• B3
• 1 1 2 3 4
• 2 1 1 1 1
• 3 0 4 18 48

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Concept du multidimensionnel

• Calcul des adresses
• Adr(0,0,0)0 Adr(0,0,1)4 Adr(0,0,2)18 Adr(0,0
  ,3)48 Adr(0,1,0)2 Adr(0,1,1)5
• Adr(0,1,2)19 Adr(0,1,3)49 Adr(0,2,0)12 Adr(0
  ,2,1)13 Adr(0,2,2)20 Adr(0,2,3)50
• Adr(0,3,0)36 Adr(0,3,1)37 Adr(0,3,2)38 Adr(0
  ,3,3)51 Adr(1,0,0)1 Adr(1,0,1)6
• Adr(1,0,2)21 Adr(1,0,3)52 Adr(1,1,0)3 Adr(1,
  1,1)7 Adr(1,1,2)22 Adr(1,1,3)53
• Adr(1,2,0)14 Adr(1,2,1)15 Adr(1,2,2)23 Adr(1
  ,2,3)54 Adr(1,3,0)39 Adr(1,3,1)40
• Adr(1,3,2)41 Adr(1,3,3)55 Adr(2,0,0)8 Adr(2,
  0,1)9 Adr(2,0,2)24 Adr(2,0,3)56

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Concept du multidimensionnel

• Adr(2,1,0)10 Adr(2,1,1)11 Adr(2,1,2)25 Adr(2,
  1,3)57 Adr(2,2,0)16 Adr(2,2,1)17
• Adr(2,2,2)26 Adr(2,2,3)58 Adr(2,3,0)42 Adr(2
  ,3,1)43 Adr(2,3,2)44 Adr(2,3,3)59
• Adr(3,0,0)27 Adr(3,0,1)28 Adr(3,0,2)29 Adr(3
  ,0,3)60 Adr(3,1,0)30 Adr(3,1,1)31
• Adr(3,1,2)32 Adr(3,1,3)61 Adr(3,2,0)33 Adr(3
  ,2,1)34 Adr(3,2,2)35 Adr(3,2,3)62
• Adr(3,3,0)45 Adr(3,3,1)46 Adr(3,3,2)47 Adr(3
  ,3,3)63