Algorithmes et structures de donn

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Algorithmes et structures de données6ème cours

• Patrick Reuter
• maître de conférences
• http//www.labri.fr/preuter

2
Ingrédients dalgorithmes

• Affectation (ex. mois 6, jours1 31)
• Condition/Comparaison (ex. mois lt 12)
• Appel de fonction (ex. writeln(mois))
• Structure de contrôle
• Branchements conditionnels (multiples) (si ..
  Alors .. Sinon)
• Boucles (tant que..faire, pour.. faire)
• Bloc dinstructions (begin .. end)

3
Motivation
Structure de données - tableau à 2 dimensions
4
Aujourdhui

• Type enregistrement
• Complexité asymptotique

5
Déclaration de variables

• var compteur integer
• var diviseur single
• var c char
• var precision double
• var nom string
• var masculin boolean
• var jours array1..12 of byte
• diviseur 1.1 Affectation
• compteur 1
• Nom Gerhard

Nombre entier
Nombre à virgule flottante
Nombre à virgule flottante avec double précision
Chaîne de caractères
Tableau
6
Déclaration de variables

• var compteur integer
• var diviseur single
• var c byte
• var precision double
• var nom string
• var masculin boolean
• var jours array1..12 of byte
• diviseur 1.1 Affectation
• compteur 1
• Nom Gerhard

Nombre entier
Nombre à virgule flottante
Nombre à virgule flottante avec double précision
Chaîne de caractères
Tableau
7
Déclaration de variables

• Types de base prédéfinis
• Integer, boolean, single,
• Type tableau
• type t_tableau array1..12 of byte
• var jours t_tableau
• structure de données la plus connue
• structure homogène, chaque élément est du même
  type de base
• occupe de la place successive dans la mémoire
• random access laccès aux différents
  éléments se fait à coût égal

8
Enregistrements

• Motivation (à ne pas faire !)
• type t_couleur (rouge, vert, jaune)
• var joueurnom array1..n of string
• var joueurscore array1..n of integer
• var joueurcouleur array1..n of t_couleur
• joueurnom1 " Martin
• joueurscore1 0
• joueurcouleur1 rouge
• joueurnom2 " Romain
• joueurscore2 0
• joueurcouleur2 vert

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Déclaration de variables

• Type enregistrement (structure hétérogène)
• type t_enregistrement RECORD
• nom_de_variable_1 type1
• nom_de_variable_2 type2
• ...
• nom_de_variable_n typen
• END
• var dossier t_enregistrement
• structure hétérogène, les éléments peuvent être
  dun type différent
• occupe de la place successive dans la mémoire
• random access l accès aux différents
  éléments se fait à coût égal

10
Type enregistrement (structure hétérogène

• Déclaration du type
• type t_enregistrement RECORD
• nom_de_variable_1 type1
• nom_de_variable_2 type2
• ...
• nom_de_variable_n type2
• END
• var dossier t_enregistrement
• Affectation
• dossier.nom_de_variable_1 valeur

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Type enregistrement (structure hétérogène)

• Exemple
• Déclaration du type
• type t_date RECORD
• an integer
• mois byte
• jour byte
• END
• Déclaration dune variable
• var aujourdhui t_date
• Affectation
• aujourdhui.jour 17
• aujourdhui.mois 10
• aujourdhui.an 2006

12
Type enregistrement (structure hétérogène)

• Exemple
• Déclaration du type
• type t_date RECORD
• an integer
• mois byte
• jour byte
• END
• Déclaration dune variable
• var aujourdhui t_date
• Affectation
• with aujourdhui do
• jour 17
• mois 10

13

• type t_date RECORD
• an integer
• mois byte
• jour byte
• END
• var aujourdhui t_date

536.870.911
...
536.870.910
...
17
aujourdhui.jour 4005
aujourdhui.mois 4004
10
aujourdhui.an 4003
0
aujourdhui.an 4002
0
Occupe de la place successive dans la mémoire
aujourdhui.an4001
7
aujourdhui.an 4000
214
...
0
14
Type tableaux denregistrements

• Déclaration du type enregistrement
• type t_chanson RECORD
• titre string100
• artiste string100
• album string100
• longueur integer
• date t_date
• END
• Déclaration du type tableau
• type t_tableau_chansons array1..n of
  t_chanson
• Déclaration dune variable de ce type
• var collection t_tableau_chansons
• Affectation

15
Type tableaux denregistrements

• Exercice
• type t_chanson RECORD
• titre string100
• artiste string100
• album string100
• longueur integer
• date t_date
• END
• type t_tableau_chansons array1..n of
  t_chanson
• var collection t_tableau_chansons
• Trouver lartiste dune chanson donnée kaya
• i 1
• tant que iltn

16
Type tableaux denregistrements

• Exercice
• type t_chanson RECORD
• titre string100
• artiste string100
• album string100
• longueur integer
• date t_date
• END
• type t_tableau_chansons array1..n of
  t_chanson
• var collection t_tableau_chansons
• Trouver lartiste dune chanson donnée kaya
• i 1
• tant que iltn
• si collectioni.title kaya alors
• afficher collectioni.artiste

17
Type tableaux denregistrements

• Exercice
• type t_chanson RECORD
• titre string100
• artiste string100
• album string100
• longueur integer
• date t_date
• END
• type t_tableau_chansons array1..n of
  t_chanson
• var collection t_tableau_chansons
• Trouver lartiste dune chanson donnée kaya
• trouve FAUX
• i 1
• tant que (iltn AND trouve FAUX)
• si collectioni.title kaya alors
• afficher collectioni.artiste

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Enregistrements

• Motivation (à ne pas faire !)
• type t_couleur (rouge, vert, jaune)
• var joueurnom array1..n of string
• var joueurscore array1..n of integer
• var joueurcouleur array1..n of t_couleur
• joueurnom1 " Martin
• joueurscore1 0
• joueurcouleur1 rouge
• joueurnom2 " Romain
• joueurscore2 0
• joueurcouleur2 vert

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Enregistrements

• Motivation (à ne pas faire !)
• type t_couleur (rouge, vert, jaune)
• type t_joueur RECORD
• nom string
• score integer
• couleur t_couleur
• END
• var joueur array1..n of t_joueur
• joueur1.nom " Martin
• joueur1.score 0
• joueur1.couleur rouge
• joueur2.nom " Romain
• joueur2.score 0

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Exigences dun programme

• Lisibilité
• Extensibilité
• Portabilité
• Réutilisable
• Fiabilité
• Efficacité (faible complexité)

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Complexité

• Quel est le temps déxécution du programme?
• Complexité temporelle
• De combien de mémoire le programme a-t-il besoin?
• ? Complexité de mémoire (ou Complexité spatiale)
• Comment déterminer ces complexités ?
• ? méthode empirique
• ? méthode mathématique

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Méthode empirique

• Avec une montre et un logiciel danalyse de
  mémoire
• Problème dépend des facteurs suivants
• de la machine utilisée
• du jeu dinstructions utilisées
• de lhabileté du programmeur
• du jeu de données générées
• du compilateur choisi
• BIEN SUR Le temps dexécution dépend de la
  longueur de lentrée (par exemple le nombre de
  chansons dans la collection).
• Ce temps est une fonction T(n) où n est la
  longueur des données dentrée.

23
Méthode mathématique

• Théorie de la complexité
• Temporelle
• Spatiale
• Basée sur une machine abstraite
• Random-access memory (RAM)
• Instructions de base (affectation, boucle, appel
  de fonctions )
• longueur des données dentrée n

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1er exemple pour T(n)

• Trouver lartiste dune chanson donnée kaya
• i 1
• tant que iltn
• si collectioni.title kaya alors
• afficher collectioni.artiste
• i i 1
• fin tant que
• Affectations 1 n
• Comparaisons 2n
• Appel de fonctions n (Attention
  considerer le worst case, c-à-d la pire option)
• ?
  T(n) 4n1

25
2ème exemple pour T(n)

• Remplir une matrice identité
• i 1
• tant que iltn faire
• j 1
• tant que jltn faire
• SI ij ALORS
• aij 1
• SINON
• aij 0
• j j 1
• fin tant que
• i i 1
• fin tant que

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2ème exemple pour T(n)

• i 1
• tant que iltn faire
• j 1
• tant que jltn faire
• SI ij ALORS
• aij 1
• SINON
• aij 0
• j j 1
• fin tant que
• i i 1
• fin tant que
• Affectations 1 2n 2n2
• Comparaisons n 2n2
• ?
  T(n) 4n23n1

27
Théorie de la complexité Diminuer les constantes
n 1 2 3 10 20 100 1000
T1(n) 8 25 46 431 1661 40301 4003001
T2(n) 4 16 36 400 1600 40000 4000000
T3(n) 1 4 9 100 400 10000 1000000
T1/T2 2 1,56 1,28 1,08 1,04 1,01 1
T1/T3 8 6,25 5,11 4,31 4,15 4,04 4

• Comment peut-on optimiser T(n) ?
• T(n) 4n23n1
• 1ère solution diminuer les constantes a,b,c
• Exemple
• T1(n) 4n23n1
• T2(n) 4n2
• T3(n) n2

28
Théorie de la complexité Diminuer les constantes

• 2 fonctions
• T1(n) a1n2b1nc1
• T2(n) a2n2b2nc2
• Amélioration
• lim n? 8 T1(n) /T2(n) a1/a2
• Pour des grands n, seule la constante du plus
  grand degré est significative

29
Théorie de la complexité Changement de la
fonction

• 2ème solution
• changer la fonction
• T1(n) log2n
• logarithmique
• T2(n) n
• linéaire
• T3(n) n log2 n
• Quasi-linéaire
• T4(n) n2
• quadratique
• T5(n) n3
• cubique
• T6(n) 2n
• exponentiel

30
Théorie de la complexité Changement de la
fonction

• Quel taille de n peut être résolue en 1 seconde,
  une minute, une heure ?
• Avec une machine de 1000 instructions par seconde

Ti(n) 1 sec 1 min 1 heure
log2n 21000 260000 23600000
N 1000 60000 36000000
n log2 n 140 4893 20000
n2 131 244 1897
n3 10 39 153
2n 9 15 21