Diapositive 1

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Introduction à lalgèbre
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Larithmétique est la partie des mathématiques
qui effectue des calculs
avec des nombres.
Il existe donc beaucoup de calculs.
Lalgèbre est la partie des mathématiques qui
effectue des calculs
avec des nombres
et des lettres.
En utilisant des lettres, elle permet de
généraliser les calculs et les situations.
Elle est donc très utile.
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Exemple
Calcule laire de ces rectangles.
3 X 2 6
7 x 4 28
8 X 5 40
10 X 2 20
Ces calculs sont arithmétiques.
Calculer laire de ces rectangles se fait
toujours de la même manière.
On peut donc généraliser les calculs par
A L x l
Cette formule est algébrique
en utilisant des lettres, elle permet de
généraliser la manière de calculer laire des
rectangles.
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Lalgèbre est donc la partie des mathématiques
servant à généraliser les situations.
Pour ce faire, elle utilise
- des lettres
- des nombres
- des opérations mathématiques
- des LOIS
- des ÉQUATIONS
Examinons ce que cela veut dire !
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Égalité et équation

En arithmétique, on utilise beaucoup le signe
.

Le signe
signifie que lon a la même quantité de chaque
côté.
Exemple
3 5 8
On pourrait aussi écrire
8 3 5
Comme les deux quantités sont égales de chaque
côté du signe ( ), on appelle cette expression
3 5 8
Voici quelques égalités
3 5 8
3 5 8 x 1
8 x 1 4 x 2
4 x 2 16 2
16 2 3 5
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En algèbre, on peut remplacer un nombre par une
lettre.
Exemple
On pourrait aussi écrire
Comme on retrouve une lettre, on appelle cette
expression
x .
Le travail consistera alors à trouver la valeur
de
Dans léquation
En résumé
est une équation
3 5 8
est une égalité.
Remarque
Dans les problèmes algébriques, lobjectif est
donc de trouver la valeur de la lettre qui
transformera léquation en égalité.
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Des lettres
x
y
Les deux lettres les plus utilisées sont
et
.
x
La variable
1er rôle
Représenter une inconnue.
2e rôle
Créer des relations.
3e rôle
Représenter un ensemble de nombres.
Examinons ce que cela veut dire !
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1er rôle
Représenter une inconnue.
Dans léquation suivante
inconnue.
x
On ne connaît pas la valeur de
mais on peut trouver cette valeur,
ici cest assez facile !
solution
3 est donc la
de cette équation.
Il nest pas toujours facile de trouver
linconnue !
Exemple
dans léquation
Pour trouver la solution de cette équation, il
faut connaître beaucoup de lois.
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Dans léquation suivante
Remarque
En algèbre, un nombre suivi dune lettre signifie
quils se multiplient entre eux.
x
signifie
X
Réponse
Remarque
fais attention, car
et
se ressemblent
mais nont pas la même signification.
X
est le symbole de la multiplication.
x
est le symbole pour représenter une inconnue.
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Dans léquation suivante
Réponse
x
Dans chacun de ces problèmes
na quune seule valeur.
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2e rôle
Créer des relations.
À laide des lettres, on peut établir des
relations dans des situations particulières.
Exemple
Un bureau de médecin offre 20,00/heure pour un
emploi de secrétaire médicale.
On aimerait trouver une équation permettant de
calculer le salaire de la secrétaire.
x
Dans cette équation,
représentera le nombre dheures travaillées
et
y
représentera le salaire de la secrétaire.
( y )
Ici, on a besoin dune autre lettre
car le salaire et les heures travaillées sont
deux choses différentes.
On peut donc écrire la relation suivante
Le salaire

20
X
le nombre dheures travaillées
x
y

20 X
y 20 x
Cette équation signifie quil y a une relation
entre le nombre dheures travaillées et le
salaire de la secrétaire .
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le salaire dépend du nombre dheures travaillées.
Construisons un tableau représentant le salaire
en fonction des heures travaillées.
x
Heures travaillées
y
Salaire ()
Ici, les deux lettres peuvent prendre plusieurs
valeurs différentes.
x
variables
y
Dans ce genre de situations, les lettres ( ici,
et
) sont appelées des
car elles varient
( elles prennent plusieurs valeurs )
dans une même situation.
x
est appelée la variable indépendante
elle ne dépend daucune autre.
x
y
elle dépend des calculs effectués avec
est appelée la variable dépendante
.
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3e rôle
Représenter un ensemble de nombres.
N
Exemple
Dessinons un ovale
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,
15, 16 ,17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25.
Appelons-le N.
Inscrivons une série de nombres à lintérieur.
Question
Peux-tu énumérer lensemble des nombres inscrits
dans N ?
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,
15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25.
Au lieu de les énumérer un par un, on pourrait
écrire simplement
x
N
Ce qui signifie
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plusieurs valeurs.
est une forme de langage qui permet aux
mathématiciens de toute la planète de parler
entre eux quils soient Chinois, Allemands,
Français, Anglais, etc.
Ce langage permet aux mathématiciens de décrire
avec quelques mots ( des symboles ) des
situations parfois complexes.
Ce langage permet donc de généraliser les
situations.
Voici quelques exemples
Il faut donc apprendre ce langage tout comme la
langue française.
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Conclusion
Comme tu peux le constater, lalgèbre est utile
pour représenter ( généraliser ) plusieurs sortes
de situations.
Lalgèbre utilise plusieurs lois arithmétiques
mais elle possède aussi ses propres lois.
Dans les prochaines présentations, nous allons
découvrir ces procédés algébriques.
Il est donc important que tu comprennes et que tu
mémorises chaque nouvelle loi.