Diapositive 1

1
Deux méthodes incrémentales pour le maintien
dun arbre de connexion Nicolas Thibault
Christian Laforest nthibaul_at_lami.univ-evry.fr
laforest_at_lami.univ-evry.fr
LaMI, équipe OPAL, Université dEvry
ALGOTEL 2004
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INTRODUCTION

• Données
• Un réseau sous-jacent.
• Des participants sont dévoilés au fur et à
  mesure (online).

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INTRODUCTION

• Données
• Un réseau sous-jacent.
• Des participants sont dévoilés au fur et à
  mesure (online).
• Objectif Incrémenter une structure couvrante
• (construction dynamique).

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INTRODUCTION

• Données
• Un réseau sous-jacent.
• Des participants sont dévoilés au fur et à
  mesure (online).
• Objectif Incrémenter une structure couvrante
• (construction dynamique).

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INTRODUCTION

• Données
• Un réseau sous-jacent.
• Des participants sont dévoilés au fur et à
  mesure (online).
• Objectif Incrémenter une structure couvrante
• (construction dynamique).

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INTRODUCTION

• Données
• Un réseau sous-jacent.
• Des participants sont dévoilés au fur et à
  mesure (online).
• Objectif Incrémenter une structure couvrante
• (construction dynamique).

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INTRODUCTION

• Données
• Un réseau sous-jacent.
• Des participants sont dévoilés au fur et à
  mesure (online).
• Objectif Incrémenter une structure couvrante
• (construction dynamique).

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INTRODUCTION

• Données
• Un réseau sous-jacent.
• Des participants sont dévoilés au fur et à
  mesure (online).
• Objectif Incrémenter une structure couvrante
• (construction dynamique).

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INTRODUCTION

• Données
• Un réseau sous-jacent.
• Des participants sont dévoilés au fur et à
  mesure (online).
• Objectif Incrémenter une structure couvrante
• (construction dynamique).

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INTRODUCTION

• Données
• Un réseau sous-jacent.
• Des participants sont dévoilés au fur et à
  mesure (online).
• Objectif Incrémenter une structure couvrante
• (construction dynamique).

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INTRODUCTION

• Données
• Un réseau sous-jacent.
• Des participants sont dévoilés au fur et à
  mesure (online).
• Objectif Incrémenter une structure couvrante
• (construction dynamique).

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INTRODUCTION Les contraintes structurelles

• Contrainte Arbre
• La structure couvrante doit être un arbre à
  chaque étape.
• Facilité du routage.

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INTRODUCTION Les contraintes structurelles

• Contrainte Arbre
• La structure couvrante doit être un arbre à
  chaque étape.
• Facilité du routage.

• Contrainte Emboîtement
• Les arbres successifs doivent être imbriqués les
  uns dans
• les autres.
• Ne pas perturber les communications en cours.
• Ne pas reconstruire larbre.

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INTRODUCTION Qualité de services

• Contraintes de qualité de services
• Minimiser le temps de transmission moyen entre
• membres dans larbre.
• Minimiser le temps de transmission maximum entre
• membres dans larbre.

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INTRODUCTION Qualité de services

• Contraintes de qualité de services
• Minimiser le temps de transmission moyen entre
• membres dans larbre.
• Minimiser le temps de transmission maximum entre
• membres dans larbre.

• Contraintes dencombrement du réseau
• Minimiser le poids de larbre.

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PLAN

• Définitions et notations
• Limites de toute approche online
• Deux algorithmes sommet-ajout et
  plus-proche-ajout.
• Synthèse et perspectives

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DEFINITIONS ET NOTATIONS Modélisation

• G (V, E,w) un graphe tel que
• V représente les machines du réseau.
• E représente les liens entres machines.
• w (e) représente le coût associé à larête e
  appartenant à E

• dG (u,v) La distance entre u et v dans G.

v
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1
1
7
5
2
2
u
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DEFINITIONS ET NOTATIONS Incrémentalité

• Notations
• i le nombre de sommets ajoutés.
• M0 ? M1 ? ? Mi ? les i groupes successifs (
  i Mi ).
• Ti larbre couvrant Mi construit à la ième étape.

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DEFINITIONS ET NOTATIONS Critères à minimiser

• La somme des distances entre tout couple de
  membres de M dans G

CG ( M ) S dG ( u,v ) u,v M
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DEFINITIONS ET NOTATIONS Critères à minimiser

• La somme des distances entre tout couple de
  membres de M dans G

CG ( M ) S dG ( u,v ) u,v M

• Le diamètre de M dans G

DG ( M ) max dG (u,v) u,v M
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DEFINITIONS ET NOTATIONS Critères à minimiser

• La somme des distances entre tout couple de
  membres de M dans G

CG ( M ) S dG ( u,v ) u,v M

• Le diamètre de M dans G

DG ( M ) max dG (u,v) u,v M

• Le poids de larbre T ( VT , ET ,w ) couvrant
  M

W ( T ) S w (e) e ET
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DEFINITIONS ET NOTATIONS Critères à minimiser

• Un algorithme a un rapport de compétitivité cs
  pour la somme des distances ssi

?i, CTi ( Mi ) ? cs .CG ( Mi )
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DEFINITIONS ET NOTATIONS Critères à minimiser

• Un algorithme a un rapport de compétitivité cs
  pour la somme des distances ssi
• Un algorithme a un rapport de compétitivité cd
  pour le diamètre ssi

?i, CTi ( Mi ) ? cs .CG ( Mi )
?i, DTi ( Mi ) ? cd .DG ( Mi )
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DEFINITIONS ET NOTATIONS Critères à minimiser

• Un algorithme a un rapport de compétitivité cs
  pour la somme des distances ssi
• Un algorithme a un rapport de compétitivité cd
  pour le diamètre ssi
• Soit T( Mi ) un arbre couvrant Mi de poids
  minimum. Un algorithme a un
• rapport de compétitivité cw pour le poids ssi

?i, CTi ( Mi ) ? cs .CG ( Mi )
?i, DTi ( Mi ) ? cd .DG ( Mi )
?i, W ( Ti ) ? cw .W ( T ( Mi ))
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BORNES INFERIEURES
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BORNES INFERIEURES

• Pour le poids, tout algorithme est au moins
• O(log i)-compétitif
• M. Imase et B. Waxman, 1991

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BORNES INFERIEURES

• Pour le poids, tout algorithme est au moins
• O(log i)-compétitif
• M. Imase et B. Waxman, 1991
• Pour le diamètre, tout algorithme est au moins
• 2-compétitif

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BORNES INFERIEURES

• Pour le poids, tout algorithme est au moins
• O(log i)-compétitif
• M. Imase et B. Waxman, 1991
• Pour le diamètre, tout algorithme est au moins
• 2-compétitif
• Pour la somme des distances, tout algorithme est
  au moins
• O(i)-compétitif

La preuve utilise un adversaire adaptatif, qui
choisit le nouveau membre à insérer en fonction
de la réponse de lalgorithme à létape
précédente.
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BORNES INFERIEURES Pour la somme des distances
n
n
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BORNES INFERIEURES Pour la somme des distances
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BORNES INFERIEURES Pour la somme des distances
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BORNES INFERIEURES Pour la somme des distances
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BORNES INFERIEURES Pour la somme des distances
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BORNES INFERIEURES Pour la somme des distances
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BORNES INFERIEURES Pour la somme des distances
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BORNES INFERIEURES Pour la somme des distances
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BORNES INFERIEURES Pour la somme des distances
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BORNES INFERIEURES Pour la somme des distances
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BORNES INFERIEURES Pour la somme des distances
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BORNES INFERIEURES Pour la somme des distances
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BORNES INFERIEURES Pour la somme des distances
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BORNES INFERIEURES Pour la somme des distances
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BORNES INFERIEURES Pour la somme des distances
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BORNES INFERIEURES Pour la somme des distances
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BORNES INFERIEURES Pour la somme des distances
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BORNES INFERIEURES Pour la somme des distances
M 2n log2 (n)
CT (M ) n3 CG (M ) n2
n
n
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DEUX ALGORITHMES sommet-ajout et
plus-proche-ajout
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DEUX ALGORITHMES sommet-ajout et
plus-proche-ajout
sommet-ajout Sommet-ajout construit un arbre de
plus courts chemins enraciné en r, le
premier sommet révélé.
plus-proche-ajout M. Imase et B. Waxman,
1991 Plus-proche-ajout branche chaque
nouveau sommet u par un plus court chemin entre
u et le sommet le plus proche dans larbre.
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DEUX ALGORITHMES sommet-ajout et
plus-proche-ajout
sommet-ajout Sommet-ajout construit un arbre de
plus courts chemins enraciné en r, le
premier sommet révélé.
plus-proche-ajout M. Imase et B. Waxman,
1991 Plus-proche-ajout branche chaque
nouveau sommet u par un plus court chemin entre
u et le sommet le plus proche dans larbre.
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DEUX ALGORITHMES sommet-ajout et
plus-proche-ajout
sommet-ajout Sommet-ajout construit un arbre de
plus courts chemins enraciné en r, le
premier sommet révélé.
plus-proche-ajout M. Imase et B. Waxman,
1991 Plus-proche-ajout branche chaque
nouveau sommet u par un plus court chemin entre
u et le sommet le plus proche dans larbre.
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DEUX ALGORITHMES sommet-ajout et
plus-proche-ajout
sommet-ajout Sommet-ajout construit un arbre de
plus courts chemins enraciné en r, le
premier sommet révélé.
plus-proche-ajout M. Imase et B. Waxman,
1991 Plus-proche-ajout branche chaque
nouveau sommet u par un plus court chemin entre
u et le sommet le plus proche dans larbre.
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DEUX ALGORITHMES sommet-ajout et
plus-proche-ajout
sommet-ajout Sommet-ajout construit un arbre de
plus courts chemins enraciné en r, le
premier sommet révélé.
plus-proche-ajout M. Imase et B. Waxman,
1991 Plus-proche-ajout branche chaque
nouveau sommet u par un plus court chemin entre
u et le sommet le plus proche dans larbre.
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DEUX ALGORITHMES sommet-ajout et
plus-proche-ajout
sommet-ajout Sommet-ajout construit un arbre de
plus courts chemins enraciné en r, le
premier sommet révélé.
plus-proche-ajout M. Imase et B. Waxman,
1991 Plus-proche-ajout branche chaque
nouveau sommet u par un plus court chemin entre
u et le sommet le plus proche dans larbre.
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DEUX ALGORITHMES sommet-ajout et
plus-proche-ajout
sommet-ajout Sommet-ajout construit un arbre de
plus courts chemins enraciné en r, le
premier sommet révélé.
plus-proche-ajout M. Imase et B. Waxman,
1991 Plus-proche-ajout branche chaque
nouveau sommet u par un plus court chemin entre
u et le sommet le plus proche dans larbre.
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DEUX ALGORITHMES sommet-ajout et
plus-proche-ajout
sommet-ajout Sommet-ajout construit un arbre de
plus courts chemins enraciné en r, le
premier sommet révélé.
plus-proche-ajout M. Imase et B. Waxman,
1991 Plus-proche-ajout branche chaque
nouveau sommet u par un plus court chemin entre
u et le sommet le plus proche dans larbre.
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DEUX ALGORITHMES sommet-ajout et
plus-proche-ajout
sommet-ajout Sommet-ajout construit un arbre de
plus courts chemins enraciné en r, le
premier sommet révélé.
plus-proche-ajout M. Imase et B. Waxman,
1991 Plus-proche-ajout branche chaque
nouveau sommet u par un plus court chemin entre
u et le sommet le plus proche dans larbre.
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DEUX ALGORITHMES sommet-ajout et
plus-proche-ajout
sommet-ajout Sommet-ajout construit un arbre de
plus courts chemins enraciné en r, le
premier sommet révélé.
plus-proche-ajout M. Imase et B. Waxman,
1991 Plus-proche-ajout branche chaque
nouveau sommet u par un plus court chemin entre
u et le sommet le plus proche dans larbre.
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SOMMET-AJOUT
Analyse de sommet-ajout
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SOMMET-AJOUT

• bornes inférieures (rappel)
• Pour la somme des distances
• O(i)-compétitif
• Pour le diamètre
• 2-compétitif
• Pour le poids
• O(log i)-compétitif

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SOMMET-AJOUT

• sommet-ajout
• Pour la somme des distances
• (i1)-compétitif (optimal)
• Pour le diamètre
• 2-compétitif (optimal)
• Pour le poids
• i-compétitif (non optimal)

• bornes inférieures (rappel)
• Pour la somme des distances
• O(i)-compétitif
• Pour le diamètre
• 2-compétitif
• Pour le poids
• O(log i)-compétitif

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SOMMET-AJOUT
sommet-ajout
r
K
K
K
K

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SOMMET-AJOUT
sommet-ajout
r
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K
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SOMMET-AJOUT
sommet-ajout
r
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K
K
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SOMMET-AJOUT
sommet-ajout
r
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SOMMET-AJOUT
sommet-ajout
r
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SOMMET-AJOUT
sommet-ajout
r
K
K
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SOMMET-AJOUT
sommet-ajout
r
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SOMMET-AJOUT
sommet-ajout
r
K
K
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SOMMET-AJOUT
sommet-ajout
r
K
K
K
K

ième sommet
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SOMMET-AJOUT
sommet-ajout
r
K
K
K
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ième sommet
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SOMMET-AJOUT
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optimum
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K
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ième sommet
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SOMMET-AJOUT
sommet-ajout
optimum
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K
K
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K
K
K


ième sommet
W (T ) i.K
W (T) i-1K
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SOMMET-AJOUT
sommet-ajout
optimum
r
r
Si K gtgt i W (T ) W (T)
i
K
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K
K
K
K
K
K


ième sommet
W (T ) i.K
W (T) i-1K
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PLUS-PROCHE-AJOUT
Analyse de plus-proche-ajout
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PLUS-PROCHE-AJOUT

• bornes inférieures (rappel)
• Pour la somme des distances
• O(i)-compétitif
• Pour le diamètre
• 2-compétitif
• Pour le poids
• O(log i)-compétitif

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PLUS-PROCHE-AJOUT

• plus-proche-ajout
• Pour la somme des distances
• 2i-compétitif (optimal)
• Pour le diamètre
• i-compétitif (non optimal)
• Pour le poids
• log2(i1) -compétitif (optimal)
• M. Imase et B. Waxman, 1991

• bornes inférieures (rappel)
• Pour la somme des distances
• O(i)-compétitif
• Pour le diamètre
• 2-compétitif
• Pour le poids
• O(log i)-compétitif

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PLUS-PROCHE-AJOUT
plus-proche-ajout
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1-e
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PLUS-PROCHE-AJOUT
plus-proche-ajout
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PLUS-PROCHE-AJOUT
plus-proche-ajout
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PLUS-PROCHE-AJOUT
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plus-proche-ajout
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PLUS-PROCHE-AJOUT
plus-proche-ajout
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PLUS-PROCHE-AJOUT
plus-proche-ajout
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optimum
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plus-proche-ajout
optimum
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ième sommet
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Si e 0, D (T ) i
D (T) 2
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optimum
1-e
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1-e
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i
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1-e
ième sommet
1-e
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1-e
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Si e 0, D (T ) i
D (T) 2
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SYNTHESE
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SYNTHESE Les rapports de compétitivité
ALGOTEL 2004
93
AUTRES TRAVAUX

• Somment-ajout est un cas particulier de
  lalgorithme median-ajout
• Prend en compte un groupe de départ statique.
• Permet dobtenir un rapport de compétitivité
  constant pour la somme
• des distances lorsque le groupe de départ est
  suffisamment grand.

ALGOTEL 2004
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AUTRES TRAVAUX

• Somment-ajout est un cas particulier de
  lalgorithme median-ajout
• Prend en compte un groupe de départ statique.
• Permet dobtenir un rapport de compétitivité
  constant pour la somme
• des distances lorsque le groupe de départ est
  suffisamment grand.
• Relâchement de la contrainte emboîtement afin
  daméliorer les résultats
• Permet dobtenir un rapport de compétitivité
  constant pour la
• somme des distances avec ( log i )
  reconstructions (résultat optimal).

ALGOTEL 2004
95
AUTRES TRAVAUX

• Somment-ajout est un cas particulier de
  lalgorithme median-ajout
• Prend en compte un groupe de départ statique.
• Permet dobtenir un rapport de compétitivité
  constant pour la somme
• des distances lorsque le groupe de départ est
  suffisamment grand.
• Relâchement de la contrainte emboîtement afin
  daméliorer les résultats
• Permet dobtenir un rapport de compétitivité
  constant pour la
• somme des distances avec ( log i )
  reconstructions (résultat optimal).
• Il y existe des situations dans lesquelles tout
  algorithme doit effectuer
• O(i) reconstructions pour maintenir un rapport
  de compétitivité constant
• pour le poids.

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PERSPECTIVES

• Avoir un algorithme qui soit optimal pour les
  trois critères (pour linstant,
• toutes les tentatives avant dans cette
  direction ont échoué).

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PERSPECTIVES

• Avoir un algorithme qui soit optimal pour les
  trois critères (pour linstant,
• toutes les tentatives avant dans cette
  direction ont échoué).
• Obtenir des résultats (si possible théoriques)
  autres que dans le pire cas,
• par exemple en réfléchissant sur une définition
  pertinente de rapport de
• compétitivité moyen.

ALGOTEL 2004
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QUESTIONS
ALGOTEL 2004
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Pourquoi se comparer aux distances dans le graphe?

• On montre que

CG ( M ) ? CTopt ( M ) ? 2 CG ( M )

• Que lon se compare CG ( M ) ou à CTopt ( M
  ), tout algorithme est au
• moins O(i)-compétitif (lordre de grandeur
  du résultat ne change pas).
• Se comparer à CG ( M ) rend lanalyse plus
  direct.

ALGOTEL 2004