Arbres

1
Arbres

• Un arbre est une structure de données organisées
  de façon hiérarchique, à partir dun nœud
  distingué appelé racine.
• Très importante en informatique!.
• Arbre de jeux (i.e., Echecs ), système de
  fichiers UNIX/Windows, Arbres de tri etc.
• Nous étudierons deux types darbres Arbre
  Binaires de Recherches et Arbres équilibrés

2
Arbres définitions

• Un arbre est un ensemble de Nœuds, reliés par des
  Arêtes. Entre deux nœuds il existe toujours un
  seul chemin.

noeuds
arêtes
3
Arbres définitions

• Les arbres sont enracinés. Une fois la racine
  définit tous les nœuds admettent un niveau.
• Les arbres ont des noeuds internes et des
  feuilles (nœuds externes). Chaque noeud (à
  lexception de la racine) a un parent et admet
  zéro ou plusieurs fils.

racine
niveau 0
niveau 1
nœuds internes
niveau 2
parent et fils
niveau 3
feuilles
4
Arbres binaires

• Un Arbre Binaire est un arbre où chaque nœud
  admet au plus 2 fils.

5
Arbres Binaires définitions

• Nœuds dun arbre contiennent des clés (mots,
  nombres, etc)
• Arbre Binaire parfait les feuilles sont toutes
  situées dans les deux derniers niveaux. Les
  feuilles du dernier niveau sont toutes à gauche.

6
Arbres Binaires représentation par tableaux

• Un arbre binaire complet peut être représenté par
  un tableau A avec un accès en O(1) à chaque
  noeud
• Mémoriser les neouds séquentiellement de la
  racine aux feuilles et de gauche vers la droite.
• Fils gauche de Ai est en A2i
• Fils droit de Ai est en A2i 1
• Parent de Ai est en Ai/2

7
Arbres Binaires représentation par tableau
1
2
3
4
5
6
7
9
10
8
11
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11
14 10 16 8 12 15 18 7 9
11 13
tab A
8
Arbres Binaires représentation par pointeurs

• typedef struct n
• int clé
• struct n fGauche, fDroit
• nœud
• typedef nœud Arbre

9
Parcours inOrdre

• InOrdre est décrit réursivement
• Visiter le sous-arbre gauche en InOrdre
• Visiter la racine
• Visiter le sous-arbre droit en InOrdre

10
Parcours préOrdre

• PréOrdre est décrit réursivement
• Visiter la racine
• Visiter le sous-arbre gauche en PréOrdre
• Visiter le sous-arbre droit en PréOrdre

11
Parcours non-récursif
PréOrdre itératif en utilisant une Pile. Pile
S empiler racine dans S répéter jusquà S? v
dépiler S si v ltgt nil visiter v empiler le
fils droit de v dans S empiler le fils gauche de
v dans S
12
Parcours postOrdre

• PostOrdre est décrit réursivement
• Visiter le sous-arbre gauche en PostOrdre
• Visiter le sous-arbre droit en PostOrdre
• Visiter la racine

13
Parcours levelOrdre

• LevelOrdre visite les noeuds niveau par niveau
  depuis la racine
• Peut être décrit facilement en utilisant une
  File (Comment??)
• Parcours appelé Breadth First Search
  (parcours en largeur) dans les graphes

14
Arbre Binaire de Recherche

• Un Arbre Binaire de Recherche (ABR) est un arbre
  binaire avec les propriétés suivantes
• La clé associée à un noeud est supérieur aux
  clés des nœuds de son sous-arbre gauche
• La clé associée à un noeud est inférieur aux
  clés des nœuds de son sous-arbre droit

15
Arbre Binaire de Recherche Exemples
racine
racine
C
A
D
racine
16
Arbre Binaire de Recherche

• ABR est un arbre avec la propriété suivante
• Clé.fGauche lt Clé.parent lt Clé.fDroit
• NOTER! Le parcours InOrdre visite les clés
  dans lordre croissant.

void inOrdre(Arbre racine)
inOrdre(racine-gtfGauche) print(racine-gtkey)
inOrdre(racine-gtfDroit)
17
ABR InOrdre
Exemple
InOrdre visites
(8) (10) (11) (14) (15) (16) (18)
18
ABR Rechercher un élément

• Soit un ABR
• Problème rechercher un noeud avec une clé x ?
  

19
ABR Rechercher un élément

• rechercher(racine, x)
• comparer x à la clé de racine
• - si x clé return
• - si x lt clé gt chercher dans G
• - si x gt clé gt chercher dans D
• chercher de la même manière dans G ou D

• Exemple

x8 (oui) x17 (non)
20
ABR Rechercher un élément

• bool searchABR(Arbre racine typeCle clé)
• if (racineNULL) return false
• if (racine-gtcléclé)
• return true
• else if (key lt racine-gtclé)
• return searchABR(racine-gtfGauche, clé)
• else
• return searchABR(racine-gtfDroit, clé)

Donner une version itérative ?
21
ABR Ajout dun élément

• Comment ajouter une clé?
• La même procédure que searchABR sapplique
  Déterminer la position dinsertion par searchABR.
  Ajouter la nouvelle clé si la recherche échoue.

• Exemple

10
8
ajout 4?
4
3
9
5
2
22
Construction dun ABR
Exemple ajouter C A B L M
(dans lordre!)
2) ajouter A
3) ajouter B
1) Ajouter C
4) Ajouter L
5) Ajouter M
23
Construction dun ABR

• LABR est-il unique pour une séquence de lettres
  A B C L M ?
• NON! différentes séquences donnent différents
  ABR

Ajout de C A B L M
Ajout de A B C L M
24
Trier avec un ABR

• Soit un ABR, peut-on afficher les clés dans
  lordre?
• Visiter lABR avec un parcours InOrdre
• - visiter le sous-arbre gauche
• - afficher racine
• - visiter le sous-arbre droit
• Comment trouver le minimum?
• Comment trouver le maximum?

Example
InOrdre affichage
A B C L M
25
ABR supprimer un élément

• Pour supprimer un nœud contenant x,
• rechercher x, une fois trouvé appliquer lun des
  trois cas suivants
• CAS A x est une feuille

p
p
q
q
x
r
r
supprimer x
On obtient un ABR
26
ABR supprimer un élément

• Cas B x est un nœud interne avec un seul
• sous-arbre

On obtient un ABR
27
ABR supprimer un élément

• Cas C x est un nœud interne avec 2 sous-arbres

r
x
suppr x
q
u
W
Z
t s
28
ABR supprimer un élément

• Cas C suite ou encore comme suit

• q lt x lt u
• q est inférieur au plus petit
• élément de Z
• r est supérieur au plus grand
• élément de W

r
q
t
u
Z
Dautres façon ?
s
29
ABR Compléxité de rechercher

• Quelle est la compléxité de searchABR ?
• Dépend de
• la clé x
• des autres données
• De la forme de larbre

Analyse de la compléxité On est intéréssé par
la compléxité dans le meilleur cas, pire cas
et en moyenne
30
ABR Compléxité de rechercher
niveau 0
niveau 1
niveau 2
niveau 3
(h 3)

• hauteur dun ABR niveau max
• hauteur dun noeud
• h(x) 0 si x est la racine
• h(x) 1 h(y), y pere(x)
• hauteur dun ABR B h(B) maxh(x), x nœud de
  B

31
ABR Compléxité de rechercher
Si tout les nœuds de larbre existent ABR
plein
Si tout les nœuds existent sauf ceux du dernier
niveau niveau-min ABR
32
ABR Compléxité de rechercher
Théorème Un ABR plein (complet) de hauteur h a
2 - 1 noeuds
h1
Preuve
Par induction
Cas de base un arbre de hauteur 0 a 1 nœud
(racine) Hypothèse inductive Supposant quun
ABR de hauteur h a
2 - 1 noeuds
h1
33
ABR Compléxité de rechercher
Etape dinduction Connecter 2 ABR de hauteur h
pour construire un ABR de hauteur h1. On a
besoin dajouter un noeud supplémentaire
racine
Par hypothèse inductive le nouveau nombre de
noeuds est (2 - 1) (2 -1) 1 2 - 1
CQFD! Ou encore n 122 2 - 1
h1
h1
h2
h
h1
34
ABR Compléxité de rechercher
Lemme 1 pour un ABR ayant n nœud et de hauteur
h log2 n lt h lt n -1
Remarque Un ABR parfait avec n noeuds a pour
hauteur h log
n car 2 lt n lt 2 - 1
2
h
h1
35
ABR Compléxité de rechercher

• Conséquence pour un ABR plein avec N noeuds
  la compléxité de searchABR
• meilleur cas O(1)
• Pire cas O(log N)
• en moyenne ???

36
ABR Compléxité de rechercher

• compléxité en moyenne pour une recherche dans
• un ABR plein est une fonction logarithmique
  du nombre
• de nœuds de larbre

Complexité en moyenne pour des ABR quelconque est
approximativement 39 plus chère que la recherche
dans un ABR plein pour le même nombres de nœuds
37
ABR compléxité de rechercher

• Maintenant que nous connaissons la compléxité de
  searchABR que peut-on dire des autres opérations?

Insertion O(log N) Suppression
O(log N) Trouver le Min O(log
N) Trouver le Max O(log N) Tri ABR
O(N log N)
Idée ABR tri (Construction de lABR N
insertions)
(Parcourir ABR)
38
ABR Compléxité de rechercher

• En résumé, il est nécessaire davoir un ABR
  plein ou niveau-min ABR
• ? garder un arbre le plus équilibré possible
• à tout moment (Arbre AVL)

39
Arbre AVL

• Arbre AVL (Adelson-Velskii et Landis)
• Le meilleur ABR maintenant à tout moment un
  arbre raisonnablement équilibré.
• Idée si linsertion ou la suppression provoque
  un désiquilibre de larbre, rétablir léquilibre.
• Toutes les opérations insertion, suppression,
  sur un arbre AVL avec N noeuds en O(log N) (en
  moyenne et dans le pire cas!)

40
AVL Trees
Arbre AVL (propriété) cest un ABR tq. la
différence des hauteurs du sous-arbre gauche et
droit de la racine est dau plus 1 et les
sous-arbres gauche et droit sont des AVL
Exemple
41
Arbres AVL
Pour plus lisibilité , remplaçer les clés
associées aux nœuds en utilisant /, \, -, //
et \\ pour représenter le facteur déquilibre
dun nœud
/ léger déséquilibre à gauche \ léger
déséquilibre à droite - équilibré \\
déséquilibre droit // déséquilibre gauche
h(G) 1 h(D)
h(D) 1 h(G)
h(D) h(G)
h(D) gt 1 h(G)
h(G) gt 1 h(D)
42
Arbres AVL
Exemples
Les clés ne sont pas montré. On suppose quelles
satisfassent la propriété ABR
43
Arbres AVL
Un arbre AVL nest ni un arbre plein ni un arbre
niveau-min. Insertions et suppression sont
éffectuées de la même manière que pour les ABR.
Après chaque opération, on a besion de
vérifier la propriété dAVL!. Car larbre peut ne
plus lêtre!

h diffère de 2!
nouveau noeuds
44
Arbres AVL
Après une insertion, si larbre est un AVL alors
on ne fait rien. Comme sur lexemple ci-dessous
/
\
-
-
-
/
-
-
/
-
/
\
\
/
-
\
-
-
-
-
/
-
-
-
-
45
Arbres AVL
Quand une insertion provoque le déséquilibre de
larbre?
46
Arbres AVL insertion dun noeud
Larbre devient déséquilibré si lélément ajouté
est le descendant gauche (droit) dun nœud avec
un léger déséquilibre gauche (droit). Alors la
hauteur de ce sous-arbre augmente. Dans les
figure suivantes, on note U nouveaux
nœuds pouvant déséquilibrer larbre B
nouveaux laissant larbre équilibré
47
Arbres AVL Insertion
\
-
/
/
-
-
\
-
-
-
-
-
-


B
B
-
-
-
-
B
B
B
B
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
U
48
Arbres AVL Insertion
Noter que linsertion dun nœud peut provoquer
des déséquilibre sur plusieurs nœuds.
Déséquilibre par insertion
//
//
-
-
-
-
/

-
/
-
Le plus jeune ancêstre du nœud inséré où la
propriété AVL est violée
nouveau noeud
49
Arbres AVL Insertion
Supposons que le sous-arbre le plus haut est
celui de gauche et quun nœud est inséré pour
augmenter la hauteur de ce sous-arbre. Larbre
obtenu est déséquilibré Rétablir un arbre AVL en
utilisant des rotations
gt Soit A le plus jeune ancêtre où
apparaît le déséquilibre
A
/
Dans larbre AVL, avant linsertion, T1, T2 et T3
ont une hauteur h
B
-
T
h
3
Le même raisonnement peut être utilisé si
l arbre le plus haut est celui de droite
T
h
h
T
1
2
50
Arbres AVL Insertion
Cas I un nouveau nœud est inséré dans T1
Rééquilibrer par rotation droite P lt B lt q lt A lt
r gt gt propriété ABR maintenue!
Arbre Original
B
-
A
p
-
T
r
q
1
h1
T
h
h
T
3
2
51
Arbres AVL Insertion
Cas I rotation Droite ou rotation Gauche
void RD(Arbre a) Arbre aux (a)-gtfg
(a)-gtfg aux-gtfd aux-gtfd a a aux
void RG(Arbre a) Arbre aux (a)-gtfd
(a)-gtfd aux-gtfg aux-gtfg a a aux
52
Arbres AVL Insertion
Cas II nouveau noeud inséré dans T2
On a 3 cas a considérer 1- nouveau nœud en
C 2- nouveau nœud ajouté à T2a 3- nouveau
nœud ajouté à T2b
Les 3 cas sont similaires. On considérera le cas
2.
53
Arbres AVL Insertion
Cas II - T2a Rééquilibrage de larbre AVL avec
une double rotation (gauche sur B et ensuite
droite sur A)
Cas II - T2b Insertion en T2b gt rotation
droite sur B et ensuite gauche sur A
54
Arbres AVL Insertion
Cas II - T2a
Rotation gauche sur B
Rotation droite sur A
La propriété ABR est maintenue!
55
Arbres AVL Insertion
Cas II nouveau noeud inséré dans T2
Cas II - T2a
Cas II - T2b
void RGD(Arbre a) RG( ((a)-gtfg) )
RD(a)
void RDG(Arbre a) RD( ((a)-gtfd) )
RG(a)
56
Arbres AVL Insertion

• Nous avons défini un arbre équilibré et nous
  avons aussi montré comment insérer dans larbre
  en utilisant les algorithmes ABR de manière à
  maintenir léquilibre (propriétés AVL) et la
  propriété ABR.

57
Arbre AVL Insertion (Algorithme)

• Propriété Toute adjonction dans un AVL
  nécessite au plus une rotation pour le
  rééquilibrer.

T

• Supposons que x soit ajouté en tant que feuille
  dans T.
• C est uniquement sur le chemin de la racine à x
  que vont intervenir des rotations éventuelles.
• On considère sur ce chemin le nœud le plus bas
  dont le déséquilibre avant adjonction est non
  nul, et l on note A le sous arbre enraciné en ce
  nœud
• De par la nature des rotations, la hauteur de A
  n est pas modifiée par l adjonction de x (y
  compris en prenant compte une rotation)
• gt Dans l AVL résultant de l adjonction de x,
  le père de A et tous ses ascendants ont
  exactement le déséquilibre qu ils avaient avant
  l adjonction de x, il n y a donc jamais besoin
  d effectuer de rotation  au-dessus  de A, ni
  de mise à jour du déséquilibre.

A
?1
Y
58
Arbre AVL Insertion (Algorithme)

• Algorithme d adjonction dans un AVL
• Pour conserver la valeur du déséquilibre en
  chaque nœud de l arbre, on utilisera les
  déclarations suivantes.
• typedef struct n
• int val
• int deseq
• struct n fg, fd
• nœud
• typedef nœud AVL
• Principe
• Lors de la descente dans l arbre à la recherche
  de la place où l on doit ajouter x, on mémorise
  le dernier sous-arbre A pour lequel le
  déséquilibre est ?1.
• Après avoir ajouté x à la feuille Y, c est
  uniquement sur le chemin de A à Y qu il est
  nécessaire de modifier les valeurs du
  déséquilibre. Il faut ensuite faire le cas
  échéant, un rééquilibrage en A.

59
Arbre AVL Insertion (Algorithme)

• Void ajouterAVL (AVL t, int x)
• AVL y, a, p, aa, pp
• / création du nœud à ajouter /
• y nouveau(nœud) y-gtval x y-gtdeseq
  0y-gtfgy-gtfdNULL
• If (tNULL) ty
• else
• at aaNULL pt ppNULL
• /aa et pp sont les pères de a et p/
• while(p!NULL)/descente mémorisation du
  dernier nœud dont le déséquilibre est ?1/
• if(p-gtdeseqltgt0)apaapp
• ppp
• if(xltp-gtval) pp-gtfg else pp-gtfd
• /adjonction/
• if (xltpp-gtval) pp-gtfgy else pp-gtfdy

1
2
60
Arbre AVL Insertion (Algorithme)

• /modification du déséquilibre sur le chemin de
  A à Y/
• pa
• while (pltgty)
• if (xltp-gtval)p-gtdeseqp-gtdeseq1pp-gtfg
• else p-gtdeseqp-gtdeseq-1pp-gtfd
• / rééquilbrage/
• switch (a-gtdeseq)
• case 0
• case 1
• case -1 return
• case 2 switch (a-gtfg-gtdeseq)
• case 1 RD (a) a-gtdeseq0a-gtfd-gtdeseq0br
  eak
• case -1
• RGD(a)
• switch (a-gtdeseq)
• case 1 a-gtfg-gtdeseq0
  a-gtfd-gtdeseq-1break
• case -1 a-gtfg-gtdeseq1
  a-gtfd-gtdeseq0break
• case 0 a-gtfg-gtdeseq0
  a-gtfd-gtdeseq0break /ay/

1
2
61
Arbre AVL Insertion (Algorithme)

• If(aaNULL)
• ta
• else if (a-gtvalltaa-gtval)
• aa-gtfga
• else aa-gtfda

1
2
62
Arbre AVL suppression

• La réorganisation de l arbre peut nécessiter
  plusieurs rotations successives.

On veut supprimer 26, on le remplace par 24,
cette suppr diminue la hauteur du sous-arbre de
racine 22 et le sous-arbre de racine 16 est alors
trop déséquilibré. On le réorganise par une
rotation droite, mais cela accentue le
déséquilibre du niveau immédiatement supérieur et
il faut faire une rotation droite gauche en 24.
Les rotations peuvent ainsi remonter en cascade
jusqu à la racine de l arbre. gt 1.5 log2 n
rotations. gt la suppression est en O(log2 n)
63
Arbre AVL suppression

• L arbre n est plus un AVL

-1
T
24
2
1
16
50
1
0
40
22
1
E
10
0
C
D
0
20
23
A
B
On distingue différents cas
64
Arbre AVL suppression

• Cas I Cas II

T
T
1
0
A
B
A
B

• Rien à faire, car la hauteur de larbre na pas
  été modifié
• Avec -1 même situation

• Ici la hauteur du sous-arbre va évoluer(-1)
  localement aucun déséquilibre n est apparu, au
  contraire, le sous arbre devient équilibré. Des
  déséquilibre peuvent apparaître plus haut!

65
Arbre AVL suppression

• Cas III

T
2
A
B
Ici la hauteur du sous-arbre na pas évolué mais
le déséquilibre est passé à 2 il faut
intervenir on distingue la différents cas de
figure qui sont liées au fils gauche
66
Arbre AVL suppression

• Cas III.1

T
p
T
RD(T)
q
q
-1
A
2
1
p
C
B
C
0
A
B

• Il y a arrêt du traitement ici, puisque
• le sous-arbre est équilibré
• sa hauteur na pas été modifiée (il est donc
  inutile de propager le résultat vers le haut)

67
Arbre AVL suppression

• Cas III.2

T
p
T
RD(T)
q
q
0
A
2
0
p
C
B
C
-1
A
B
Le sous-arbre est rééquilibré, mais la hauteur a
été modifié il faut remonter l information au
dessus de T pour procéder éventuellement à des
rééquilibrage gt appliquer le même principe que
celui qui vient d être appliqué en considérant
I,II et les différents cas de III.
68
Arbre AVL suppression

• Cas III.3

T
RD(T)
T
r
q
2
0
r
p
p
D
-1,0
-1
1,0
q
D
C
B
A
A
-1,0,1
C
B
Le sous-arbre est rééquilibré, mais sa hauteur a
diminué de 1 gt remonté de l information comme
en III.2
69
Arbre AVL suppression

• Principe de l algorithme
• Réorganisation de l arbre de la feuille
  supprimée jusqu à la racine de l arbre avec
  éventuellement des rotations (on sarrête pour
  les cas I ou III.1)
• recalcul des déséquilibres occasionnés par la
  suppression et éventuelle exécutions des
  rotations nécessaires du fait de nouveaux
  déséquilibres
• la propagation continue tant que l arbre demeure
  déséquilibré lors de la remontée
• Au pire cas le nombre de rotation est log2 n

70
Arbres AVL analyse de compléxité

• Soit T(n) la compléxité de linsertion dun nœud
  dans un arbre AVL.
• Quelle est la meilleur structure darbre AVL
  possible?
• Arbre plein ? T(n) O(log n)

71
Arbres AVL analyse de compléxité
Le pire cas darbres AVL quon peut rencontrer
sont les AVL ayant la partie gauche (ou droite)
en léger déséquilibre pour tous les nœuds.
72
Arbres AVL analyse de compléxité

• Quelle est la hauteur maximale dun AVL avec N
  noeuds?
• Quelle est le plus petit nombre Nh de noeuds dun
  AVL avec une hauteur h

Nh 1 Nh-1 Nh-2
Chacun est le plus petit arbre avec les tailles
respectives
73
Arbres AVL analyse de compléxité

• La hauteur dun arbre AVL avec n nœuds est au
  plus égale à 1.44 log2 (n2).
• La hauteur dun arbre binaire avec n noeuds est
  au moins égale à log2 (n1).
• log2 (n1) lt height lt 1.44 log2 (n2)

74
Arbres AVL analyse de compléxité

• Soit Nh min noeuds dun arbre AVL avec une
  hauteur h.
• N0 0.
• N1 1.
• Nh, h gt 1
• G et D sont des arbres AVL.
• La hauteur de lun est h-1.
• La hauteur de lautre est h-2.
• Le sous arbre ayant une hauteur h-1 à Nh-1
  noeuds.
• Le sous arbre ayant h-2 à Nh-2 noeuds.
• alors, Nh Nh-1 Nh-2 1.

75
Arbres AVL analyse de compléxité

• Séquence de nombre de Fibonacci
• F0 0, F1 1.
• Fi Fi-1 Fi-2 , i gt 1.
• N0 0, N1 1.
• Nh Nh-1 Nh-2 1, h gt 1.
• Nh Fh2 1.
• Fi fi/ .
• f (1 sqrt(5))/2.

5
i
ù
é

5
1
1

F
ú
ê
i
2
5
û
ë
76
Arbres AVL analyse de compléxité

h
3
ù
é

5
1
1

N
ú
ê
h
2
5
û
ë

Þ
N
h
log
44
.
1
h
2
Þ
N
log
44
.
1

h
2
Þ
77
Arbres 2.3.4

• Pour éviter les cas d arbres de recherche
  dégénérés, on peut aussi faire varier le nombre
  de directions de recherche à partir d un nœud.
• Définition générale Un arbre de recherche est
  un arbre général étiqueté dont chaque nœud
  contient un k-uplet déléments distincts et
  ordonnées (k1,2,3). Un nœud contenant les
  éléments x1lt x2 ltxk a k1 sous-arbres, tels que
  
• tous les éléments du premier sous-arbre sont
  inférieurs ou égaux à x1
• tous les éléments du ième sous-arbre (i2,,k)
  sont strictement supérieurs à xi-1 et inférieurs
  ou égaux à xi
• tous les éléments du (k1)ième sous-arbre sont
  strictement supérieurs à xk

78
Arbres 2.3.4
15
4 10 13
30 40
50 40
14
11 12
20 28
35
15
4 10 13
1 3
2-noeud
4-noeud
3-noeud
Définition Un arbre 2.3.4 est un arbre de
recherche dont les nœuds sont de trois types,
2-nœud, 3-nœud, 4-nœud, et dont toutes les
feuilles sont situées au même niveau
79
Arbres 2.3.4

• la hauteur reste logarithmique par rapport au
  nombre de nœuds
• ? algos de rééquilibrages qui maintiennent un
  arbre 2.3.4 après ajout ou suppr en effectuant
  une suite de rotations sur chemin de la racine à
  une feuille
• O(log n) pour recherche, ajout et suppression
• implantation efficace sous la forme darbres
  binaires de recherches bicolores

80
Arbres 2.3.4

• Propriété La hauteur h(n) d un arbre 2.3.4
  contenant n élément est en ?(log n). Plus
  précisément, on a lencadrement suivant
• log4(n1)? h(n)1 ? log2(n1)
• Preuve on considère les arbres 2.3.4 extrémaux
  
• contenant le moins déléments (que des
  2-nœuds)
• puisque toutes les feuilles sont au même
  niveau,le nombre de nœuds 20 21... 2h
  2h1-1
• contenant le plus déléments (que des 4-nœuds)
• 40 41... 4h 4h1-1
• on en déduit qu un arbre 2.3.4 contenant n nœuds
  et de hauteur h(n) 2h(n)1-1 lt n lt 4h(n)1-1
• doù lon tire l encadrement de la hauteur

81
Arbres 2.3.4

• Algorithme de recherche (principe)
• Soit M un arbre 2.3.4, Soit x un élément à
  rechercher dans M.
• x est comparé avec le(s) éléments x1,.., xi
  (i?1..3) de la racine de M
• si ? j? 1..i tq. X xj alors trouvé
• si x ?x1 gt recherche dans le premier sous-arbre
  de M
• si xj ltxltxj1 (j? 1..i-1 ) gt recherche dans la
  (j1)ième sous-arbre de M
• si x gtxj gt recherche dans le dernier sous-arbre
  de M
• si la recherche se termine sur une feuille qui ne
  contient pas x gt x ?M
• Exercice Implanter cet algorithme,
• on utilisera les déclarations suivantes
• typedef struct n
• int n / nombre de pointeurs /
• struct n sArbre4 / sous arbres /
• int elements3 / les éléments /
• nœud
• typedef nœud Arbre234
• Refaire le même exercice en utilisant le type
  union

82
Arbres 2.3.4 Recherche

• typedef struct n
• int n / nombre de pointeurs /
• struct n sArbre / sous arbres /
• int elements / les éléments /
• nœud
• typedef nœud Arbre234
• void ELEMENT (int x Arbre234 A )
• int pos
• if (A NULL )
• return 0
• else
• pos position (x, A)
• if ( (x A-gtelements pos ) )
• return 1
• else
• return ELEMENT (x, A-gtsArbre pos )

83
Arbres 2.3.4

• Adjonction d un élément
• Ladjonction d un nouvel élément ne pose
  problème que si la feuille qui doit le recevoir
  contient déjà 3 éléments.
• Dans ce cas, il faut ajouter un nouveau nœud à
  l arbre et le réorganiser.
• Adjonction avec éclatement en remonté
• On ajoute successivement 4, 35, 10, 13, 3, 30,
  15, 12, 7, 40, 20, 11, 6
• Ce nœud ne peut plus contenir de nouveau
  éléments.
• On remarque que du point de vue recherche, M est
  équivalent à l arbre binaire
• Cet arbre est un arbre 2.3.4, on peut y ajouter
  de nouveaux éléments
• 13, puis 3, puis 30

84
Arbres 2.3.4

• L ajout de 15 provoque l éclatement de la
  feuille f en deux 2-nœuds contenant
  respectivement le plus petit et le plus grand
  élément de f. L élément médian 30 doit être
  ajouté au nœud père de f, il y a alors de la
  place pour 15 dans le même nœud que 13 qui
  devient alors un 3-noeud

M
M
M
10
10
10
f
13 35
13 35
13 30 35
4
3 4
3 4
M
M
10 30
10 30
13 15
3 4
35
3 4 7
12 13 15
35 40
85
Arbres 2.3.4

• L ajout de 20 entraîne un éclatement de la
  feuille contenant 12, 13 et 15
• L adjonction de 6 provoque l éclatement de la
  feuille f, la remonté de 4 fait éclater à son
  tour la racine de l arbre en 2-noeuds
• gt les éclatements peuvent remonter en cascade
  sur toute la hauteur de l arbre.

M
M
10 13 30
10 13 30
f
3 4 7
15 20
35 40
12
3 4 7
15 20
35 40
11 12
M
13
30
4 10
15 20
35 40
11 12
3
6 7
86
Arbres 2.3.4

• Pour éviter des éclatements de bas en haut, il
  suffit de travailler sur des arbres qui ne
  contiennent jamais deux 4-nœuds qui se suivent.
  Dans ce cas toute adjonction provoque au plus un
  éclatement.
• Ceci peut être réalisé en éclatant les 4-nœuds à
  la descente Lors de la recherche de la place de
  l élément à ajouter, on parcourt un chemin à
  partir de la racine jusqu à une feuille seuls
  les 4-nœuds de ce chemin risquent d éclater
  suite à l adjonction.
• On prévient ce risque en les faisant éclater, au
  fur et à mesure de leur rencontre avant de
  réaliser l adjonction. (Ceci provoque parfois
  des éclatements inutiles)

87
Une représentation des arbres 2.3.4 les arbres
bicolores

• Définition Un arbre bicolore est un arbre
  binaire de recherche dont les nœuds portent une
  information supplémentaire (rouge et noir).
• Les 4-nœuds et 3-nœuds sont transformé en arbre
  binaire de recherche.
• Double trait si le lien appartient à un nœud de
  l arbre 2.3.4 (lie des nœuds jumeaux)
• On peut aussi représenter par un double cercle
  les nœuds vers lesquels  pointent  des doubles
  traits

b
b
a b c
a
c
a
c
p0
p1
p2
p3
p0
p1
p2
p3
p0
p1
p2
p3
b
b
a
c
a
c
p0
p1
p2
p3
p0
p1
p2
p3
88
Une représentation des arbres 2.3.4 les arbres
bicolores

• Pour les 3-nœuds, il existe 2 transformations
  possibles
• Les deux représentations pourront exister à la
  suite de rotations
• La hauteur de larbre bicolore obtenu par ces
  transformations est au plus 2la hauteur de
  larbre 2.3.4 initial, augmentée de 1.
• gt Tout arbre bicolore associé à un arbre 2.3.4
  contenant n éléments a une hauteur de lordre
  O(log n)

a
a
a
Penché à droite
a b
b
b
p0
b
p0
p0
p1
p2
p0
p1
p2
p1
p2
p1
p2
b
b
b
Penché à gauche
a b
a
p2
a
p2
a
p0
p1
p2
p0
p1
p2
p0
p1
p0
p1
89
Arbres 2.3.4 /Arbres bicolores
12 45
20 25 40
8
50 60
43
15
22 24
30 35 38
63 65
48
55 59
3 5
10
Représentation en arbre bicolore ?
45
12
50
25
60
8
48
20
40
3
10
59
63
5
15
24
35
43
65
55
22
30
38
90
Arbres 2.3.4 /Arbres bicolores

• On simule l adjonction avec éclatement à la
  descente dans un arbre 2.3.4
• Eclater un 4-nœud revient à inverser les couleurs
  des éléments de ce nœud
• Ceci peut cependant faire apparaître deux nœuds
  rouges consécutifs, ce qui doit être évité si
  l on veut conserver la propriété de hauteur
  logarithmique
• gt utilisation de transformations locales
  rotations

b
b
a
c
a
c
p0
p1
p2
p3
p0
p1
p2
p3
91
Arbres 2.3.4 /Arbres bicolores

• Plusieurs situations possibles
• 1) Le 4-nœud à éclater est attaché à un 2-nœud
• gt une simple inversion de couleur suffit

a
a
a
a ?
?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
92
Arbres 2.3.4 /Arbres bicolores

• 2) Le 4-nœud , E, à éclater est attaché à un
  3-nœud
• 3 cas lorsque le 3-nœud est penché à droite
• 3 cas lorsque le 3-nœud est penché à gauche
• a) E est premier fils du 3-nœud
• gt on inverse les couleurs des éléments du
  4-noeud

a b
a
a
? a b
b
?
?
?
b
? ? ?
?
?
?
?
?
93
Arbres 2.3.4 /Arbres bicolores

• b) E est second fils du 3-nœud
• gt une inversion de couleurs entraîne une
  mauvaise disposition des éléments jumeaux a,
  ? et b
• gt rotation droite-gauche au niveau du nœud
  contenant a

RDG
?
a
a
a b
b
a
b
b
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
a ? b
?
?
94
Arbres 2.3.4 /Arbres bicolores

• c) E est troisième fils du 3-nœud
• gt rotation gauche au niveau du nœud
  contenant a

b
RG
a
a b
a
b
a
?
b
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
a b ?
95
Arbres 2.3.4 /Arbres bicolores

• Algorithme dadjonction
• Descendre à partir de la racine à la recherche de
  la feuille où insérer lélément
• Sur le chemin, lorsquun nœud A a ses deux fils
  rouges on inverse les couleurs de A et de ses
  fils si de plus le père de A est lui aussi
  rouge, on fait une rotation au niveau du
  grand-père de A avant de poursuivre la descente.
• Ladjonction d un nouvel élément se fait
  toujours dans une feuille qui devient un nœud
  rouge, puisque le nouvel élément est ajouté en
  tant que jumeau dans le cas où le père du nœud
  ajouté est rouge, mais n a pas de frère rouge,
  il faut effectuer une rotation comme en b)

96
Arbres 2.3.4 /Arbres bicolores

• Exercice
• Écrire lalgorithme dadjonction en utilisant le
  type suivant
• typedef enumblanc, rouge couleur
• typedef struct bn
• couleur coul
• int val
• struct bn fg, fd
• Bnoeud
• typedef Bnoeud Bicolore

97
Recherche externe

• Grandes collections d éléments stockés sur
  mémoire secondaire paginée.
• Le nombre d accès à la mémoire secondaire est
  prépondérant
• gt minimiser le nombre de transferts de pages
• B-Arbres
• généralisation des arbres 2.3.4

98
Recherche externe B-arbres

• Un B-arbre d ordre m est
• un arbre binaire de recherche formé de nœuds qui
  peuvent chacun contenir jusquà 2m éléments
• chaque nœud est dans une page différente du
  support externe et
• la complexité des algos de recherche, adjonction
  et suppression d un élément parmi n, compté en
  nombre d accès à la mémoire secondaire, est en
  O(logm n)

99
B-arbres

• Un B-arbre d ordre m est un arbre binaire de
  recherche dont
• toutes les feuilles sont située au même niveau
• tous les nœuds, sauf la racine, sont des k-nœuds
  avec k ? m1..2m1
• la racine est un k-nœud avec k ?2..2m1

100
B-arbres

• Exemple

25
30 40
6 10 20
41 42 44 46
32 35 38
13 14 15 18
22 24
1 2 3 4
26 27 28
7 8
Exemple de B-arbre dordre 2
101
B-arbres

• Dans la réalité m est choisi de manière à ce
  qu un nœud corresponde au contenu d une page.
• Exemple
• m250 gt un arbre de hauteur 2 peut contenir plus
  de 125 millions d éléments
• 500 éléments à la racine
• 500 501 (environ 25104) éléments dans les nœuds
  de profondeur 1
• 5012 500 (environ 125106) éléments dans les
  nœuds de profondeur 2
• gt Dans les B-arbres, les niveaux les plus bas de
  l arbre contiennent la quasi-totalité des
  éléments
• Algorithmes de recherche, d adjonction et de
  suppression
• gt généralisation des algorithmes pour les arbres
  2.3.4

102
Recherche externe Hachage dynamique

• Le tableau de hachage est remplacé par un index
  en mémoire centrale
• Cet index est un arbre binaire de recherche dont
  les feuilles contiennent des adresses en mémoire
  secondaire
• Exemple
• Adjonction successive par hachage dynamique des
  éléments E, X, T, F, R, N, C, L, S, G, B
• valeurs de hachage
• h(E)00101, h(X) 11000, h(T) 10100,
  h(F)00110,h(R)10010, h(N)01110, h(C)00011,
  h(L)01100, h(S)10011, h(G)00111, h(B)00010

103
Recherche externe Hachage dynamique

• Exemple (suite)
• En supposant que les pages en mémoire secondaire
  peuvent contenir 4 éléments.

1
0
1
0
R
Index en mémoire centrale
N,C
E X T F
E F
X T R
E F N C
X T R
Pages en mémoire secondaire
1
0
1
0
1
0
L
S,G
B
0
1
0
1
0
1
0
1
X T R
X T R S
X T R S
N L
E F C
N L
E F C G
N L
C B
E F G