Techniques Numriques

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• Techniques Numériques
• en Prévision du Temps
• Jean Coiffier (SMF)
• 4èmes rencontres Météo/Maths Appli.
• Toulouse, Université Paul Sabatier, 25 mars 2009
• Plan
• Généralités sur les équations de la météorologie
• La discrétisation spatiale (différences finies,
  méthode spectrale)
• Les algorithmes davance temporelle
• Application aux équations de la météorologie

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Les équations de la météorologie
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Un problème de conditions initiales
Soit un domaine D fermé par une frontière F sur
lequel sont définis les paramètres représentatifs
de latmosphère X(x,y,z,t)
Connaissant X(x,y,z,t0), état initial sur D,
ainsi que
X(x,y,z,t) sur F quel que soit t (conditions aux
limites),
déterminer X(x,y,z,t) sur D pour tout t jusquà
une échéance donnée, sachant que lévolution de
X(x,y,z,t) est décrite par le système déquations
aux dérivées partielles
Cet ensemble déquations dévolution non
linéaires peut prendre plusieurs formes. Elles
sont résolues de façon approchées au moyen du
calcul numérique.
Discrétisation du second membre (dérivées
spatiales)
Discrétisation de la dérivée temporelle ou
 tendance 
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Lewis Fry Richardson
Entre 1916 et 1922, L.F. Richardson résout les
équations de la prévision du temps de façon
approchée avec les outils du calcul numérique et
réalise une prévision à six heures d'échéance qui
se révèle complètement irréaliste.
 64 000 calculateurs seraient nécessaires pour
prendre de vitesse l'évolution du temps sur
l'ensemble du globe  (L.F. Richardson , 1922)
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Les différences finies
On se donne une grille de maille Dx

• Différence latérale en avant

approximation à lordre 1 de précision.

• Différence centrale

approximation à lordre 2 de précision.

• Schéma dordre supérieur

approximation à lordre 4 de précision.
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Lerreur de troncature
On définit lErreur Relative de Troncature ainsi
On peut calculer cette erreur pour une fonction
sinusoïdale celle-ci dépend de la longueur
donde. Pour les évaluations à lordre 2 de
précision et à lordre 4 de précision on obtient
les résultats suivants
Lerreur dépend donc de la longueur donde. Plus
la maille est faible devant la longueur donde
meilleure est lapproximation.
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Les méthodes de Galerkin
La méthode de Galerkin est une méthode générale
permettant de résoudre les équations aux dérivées
partielles de façon approchée. Elle consiste à
développer le champ sur une base de fonctions
connues ayant de bonnes propriétés. Les champs
sont alors déterminés par les valeurs des
coefficients du développement.

• Les fonctions peuvent être
  définies sur tout le domaine de travail (sphère,
  plan infini) dans ce cas on parle de méthode
  spectrale.
• Les fonctions peuvent être non nulles seulement
  sur une petite partie du domaine de travail
  (fonctions trapezïoidales, créneau, chapeau )
  dans ce cas on parle de méthode des éléments
  finis.

La méthode des différences finies (souvent
appelée méthode en points de grille) est un cas
particulier de la méthode des éléments finis
lorsque les fonctions de base sont des fonctions
créneau.
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La méthode spectrale sur la sphère

• Le développement des champs sphériques utilise
  une base de fonctions complexes (ayant une partie
  réelle et une partie imaginaire) définies sur la
  sphère de la façon suivante

l représente la longitude et m le sinus de la
latitude f m sin f.

• Ces fonctions sont appelées harmoniques
  sphériques de surface et dépendent de deux
  indices n et m. m est le nombre donde zonal et m
  le nombre donde global.

• La fonction exponentielle complexe indique que
  lon a une variation sinusoïdale le long dun
  cercle de latitude.

• Les fonctions

sont définies sur lintervalle -1, 1 (cest à
dire du pôle Sud au pôle Nord) et sont appelées
fonctions associées de Legendre.
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Forme des harmoniques sphériques de surface
Partie réelle des harmoniques sphériques de
surface pour n 5 et pour diverses valeurs de m
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Développement tronqué à laide des harmoniques
sphériques de surface

• Une variable definie sur la
  sphere peut être exprimée à laide du
  développement suivant

Ces fonctions complexes sont les harmoniques
sphériques de surface.
Les coefficients spectraux
permettent de représenter un champ
bidimensionnel de façon tronquée
Les coefficients spectraux sont déterminés en
effectuant la double intégration
car les harmoniques sphériques vérifient la
condition dorthonormalité
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La troncature du développement

• Les nombres N et M définissent la troncature
  spectrale
• N M définit une
  troncature dite triangulaire

• Comment comparer la taille de la maille et la
  troncature spectrale
• La plus petite longueur donde représentée
  est l (km) 40000/M
• Si on admet que les différences finies ne
  peuvent représenter des longueurs donde plus
  petites que l 4Dx, alors on peut écrire la
  formule déquivalence 4Dx 40000/M

• On peut conserver en tête la formule suivante
  Dx (km) 10000/M

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Les calculs avec la méthode spectrale

• Calcul des termes linéaires

Les termes linéaires sont calculés en multipliant
les coefficients spectraux par les dérivées des
harmoniques sphériques de surface. Le calcul des
Laplaciens est très aisé car les harmoniques
sphériques sont les fonctions propres de
lopérateur Lapalacien sur la sphère.

• Calcul des termes non linéaires

Les termes non linéaires sont calculés en points
de grille sur une grille auxiliaire dite grille
de transformation.
On passe des coefficients spectraux aux points de
grille en effectuant - une transformation de
Legendre inverse, - une transformation de Fourier
inverse. On passe des points de grille aux
coefficients spectraux en effectuant une
transformation de Fourier, une transformation de
Legendre.
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La méthode spectrale sur un domaine bipériodique

• Sur un plan on peut utiliser les fonctions
  trigonométriques pour développer des champs
  bipériodiques.

• Malheureusement les champs météorologiques ne
  sont pas bipériodiques.

• La solution consiste à rendre les champs à
  traiter bipériodiques sur un domaine étendu

On ménage une transition douce des champs entre
la zone de travail et la zone étendue
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Le principe de lextrapolation dans le temps
Un modèle de prévision peut sécrire de façon
très générale
étant un opérateur non linéaire faisant
intervenir des dérivées spatiales.
Il suffit donc a priori dévaluer son expression
second membre à laide des méthodes permettant
lévaluation des dérivées spatiales et dévaluer
la dérivée temporelle en différences finies pour
pouvoir réaliser lextrapolation pour un pas de
temps, le processus pouvant être itéré pour aller
jusquà léchéance voulue.
MAIS
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Richard Courant, Kurt Friedrichs, Hans Lewy

• Des mathématiciens apportent leur contribution
  Uber die partiellen Differenzengleichungen der
  mathematischen Physik, Math. Ann. 100, 32-74
  (1928)

U est la vitesse de propagation des ondes les
plus rapides Dt est le pas de temps Dx est
la dimension de la maille
R. Courant, K. Friedrichs, H. Lewy
Critère CFL C doit être inférieur à une valeur
finie.
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Un modèle simplifié pour étudier la stabilité
le modèle en eau peu profonde
Pour étudier divers schémas davance temporelle
on considère un modèle simplifié, linéaire
décrivant lévolution dune petite perturbation
caractérisée par U,V et F gZ au sein dune
pellicule fluide dépaisseur F/g animée dune
vitesse horizontale U0, V0 dans un référentiel en
rotation (f paramètre de Coriolis).
Dérivées temporelles ou  tendances  Termes
davection Termes de Coriolis Termes dadaptation
De façon simplifiée
Une onde lente 2 ondes rapides
(dinertie-gravité)
On peut déterminer 3 type de solutions qui se
répartissent de la façon suivante
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Le schéma explicite centré
Le schéma explicite latéral en avant (ou schéma
dEuler)
Ce schéma est inconditionnellement Instable
aussi nest-il utilisé quau premier pas de
temps.
Le schéma explicite centré, dit encore
 leapfrog 
Ce schéma est conditionnellement stable avec les
critères suivants
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Le schéma semi-implicite centré
Pour le schéma semi-implicite centré les termes
responsables de la propagation des ondes rapides
sont traités de façon implicite en effectuant une
moyenne entre les instants t Dt et t Dt
Ce schéma est conditionnellement stable avec les
critères suivants
En revanche, le système est implicite et la
détermination de nécessite
la résolution dun système linéaire.
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Le schéma semi-lagrangien semi-implicite
Le principe du schéma semi-lagrangien consiste à
évaluer la dérivée totale en différences finies
entre le point de départ O (à t Dt) et le point
darrivée G (à t Dt) de la particule. Les
termes responsables de la propagation des ondes
rapides sont traités de façon implicite en
effectuant une moyenne des valeurs en ces mêmes
points.
Le système devient donc

• G est le point de grille, point darrivée de la
  particule
• O est le point de départ de la particule
• I est le point situé à mi-distance de O et de G.
• Lapplication de la méthode nécessite donc
• la détermination du point de départ O de la
  particule et donc également du point I
• linterpolation de quantités aux poins O et au
  point I
• la résolution dun système linéaire (comme pour
  le semi-implicite).

La condition de stabilité se réduit alors à
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Détermination du point dorigine
Cas du modèle linéaire
Dans le cas général dun modèle non linéaire, il
faut recourir à un processus itératif
Le processus converge dans la mesure où la
condition suivante est vérifiée
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Les modèles opérationnels
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http//www.smf.asso.fr

• A l'origine, Société savante, la SMF est
  aujourd'hui un lieu de communication, d'échanges
  et de débats.
• Elle organise différentes manifestations à
  caractère scientifique
• cycles de conférences,
• expositions, jeux-concours etc...,
• colloques,
• Elle décerne deux prix scientifiques
• Elle publie la revue trimestrielle La
  Météorologie, co-éditée avec Météo-France et
  parrainée par l'INSU-CNRS et l'ADEME.

A TOULOUSE JEUDI 26 MARS 2009 A 18H30 Combien
pèse un cumulonimbus ? Radioscopie des nuages
par Jean-Pierre Chalon, Météo- France À la Cité
de lEspace (salle Altaïr)