CSI 3505 Algorithmes Voraces

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CSI 3505Algorithmes Voraces

• Algorithmes voraces pour l'ordonnancement des
  (tâche) travaux problème de minimisation de
  l'attente

n clients Un seul serveur
ti temps que prendra le client i (connu
a-priori)
On veut minimiser la somme totale des attentes
des clients
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• Exemple

Il y a 6 ordres possibles 123 5 (5 10)
(5 10 3) 38 132 5 (5 3) (5
3 10) 31 213 10 (10 5) (10 5
3) 43 231 10 (10 3) ( 10 3 5)
41 312 3 (3 5) (3 5 10) 29 321
3 (3 10) ( 3 10 5 ) 34
t1 5 t2 10 t3 3
Algorithme voraceA chaque étape, ajouter à la
fin de la liste le client demandant le moins de
service entre tous ceux qui restent.
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• Théorème. L'algorithme vorace donne toujours la
  solution optimale.
• Preuve.
• Soit I (i1,i2,,in) une permutation quelconque
  des
• entiers 1,2, , n. Si les clients sont servis
  dans l'ordre I,
• le temps total que tous les clients passent dans
  le système
• T(I) ti1 (ti1 ti2 ) (ti1 ti2 ti3
  ) ..

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• Supposons que dans cet ordre
• I 1 2 .... a ... b . n
• On a a lt b et tia gt tib

Si on inverse les positions de ces deux clients
I 1 2 .... b ... a . n
ti1 ti2 .... tib ... tia . tin
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• Comparons les deux ordres

T(I) - T(I') (n - a 1) (tia- tib) (n - b
1) (tib - tia) (b-a) (tia- tib) gt 0
Donc lordre I dexécution des tâches est
meilleur que I
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• Conclusion Lalgorithme vorace donne toujours
  une solution optimale.
• Une solution qui nest pas construite avec une
  méthode vorace ne peut être optimale.

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• Ordonnancement avec échéances
• n tâches a exécuter - chacune en temps unitaire
• une et une seule tâche est exécuter a chaque
  instant
• t 1, 2 .
• La tâche i apporte un gain gi gt 0 si et seulement
  si elle est exécutée au plus tard a l'instant di

On nest pas obligé dexécuter toutes les tâches
Exemple n 4
i 1 2 3 4 gi 50 10 15 30 di 2 1 2 1
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• Il y des séquences qui ne donne aucun gain  0 
  les autres ..

Séq. possibles gain 1 50 2 10 3 15 4
30 1,3 65 2,1 60 2,3 25 3,1 65 4,1 80
4,3 45
i 1 2 3 4 gi 50 10 15 30 di 2 1 2 1
Les séquences 1 et 1, 2, 3 correspondent au même
gain. Il ny a que la tâche 1 qui donne un gain.
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• Ensemble de tâche T est réalisable sil existe au
  moins un ordre des tâche de T (séquence
  réalisable) et qui permet d'exécuter toutes les
  tâches de l'ensemble T avant leur échéances
• Un ensemble de tâche T est réalisable si est
  seulement si la séquence croissante des tâches de
  T triées par leurs temps déchéance est
  réalisable

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• Supposons que S est réalisable suivant lordre
• t1 t2 ti tj tk
• Et que d(tj) lt d(ti), en échangeant ti et tj dans
  lordre S, on obtient un ordre réalisable
• t1 t2 tj ti tk
• En utilisant dune façon répétitive ces échanges
  on arrive aux mêmes tâches dans lordre
  croissant, et qui est aussi réalisable.
• Linverse est évidemment vrai.

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• Conséquence
• Comment savoir si un ensemble de tâches est
  réalisable?
• Il suffit de tester les tâches dans un seul
  ordre lordre croissant des tâches de T triées
  par leurs temps déchéance

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• Algorithme vorace
• Construire l'ensemble des tâches à exécuter
  étape par étape,
• Ajouter, a chaque étape, la tâche non encore
  considérée ayant la plus grande valeur de gi a
  condition que le nouveau ensemble de tâches soit
  réalisable.
• Combien détapes? n-1

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• trier lensemble des tâches T en ordre
  décroissant relativement au gain
• S ?
• répéter
• Choisir la tâche e ?T avec le gain le plus
  grand
• T T - e
• Si S ? e est réalisable
• S S ? e
• jusqu'a ce que T est vide

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• Complexité - Cas Pire
• taille du problème n, le nombre de tâches
• opération comparaisons
• Trier les tâches O(n log n)
• A chaque pas
• (i-1) comparaisons pour ajouter la i-ème tâche
• i comparaisons pour vérifier si l'ensemble est
  réalisable