Une version distribue de la petitmondisation

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Une version distribuée de la petit-mondisation ?

• Philippe Duchon, Nicolas Hanusse (LaBRI)
• Emmanuelle Lebahr, Nicolas Schabanel (LIP)

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Contexte

• Réseau Virtuel
• Chaque pair possède un petit carnet dadresse
  (pas nécessairement petit)
• Routage glouton entre source et destination.
• Problème
• Chemins de routage longs
• petit-mondisation ajout de raccourcis
• de manière distribuée

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Routage glouton dans le réseau virtuel

• Hypothèse chaque nud dispose dun oracle
  indiquant un voisin qui rapproche de la
  destination via
• une approximation de la distance à la destination
  (étiquetage de distance, ) OU
• Propriétés de graphes géométriques (triangulation
  Delaunay, graphes de Yao, )
• Routage glouton le message est redirigé vers le
  voisin qui rapproche le plus de la destination

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Petit-monde généralités

• Topologie de réseaux rencontrés dans de nombreux
  réseaux dinteractions
• Pas de définition précise.
• Propriétés admises
• Petit diamètre
• Nombreux courts chemins
• Degré moyen faible
• Densité locale forte

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Petit-monde navigable

• Petit-monde navigable Pour un réseaux à n nuds,
  on peut router avec polylog(n) sauts avec un
  algorithme glouton décentralisé.
• Petit-mondisation augmentation de G avec un lien
  supplémentaire Lu par sommet en G petit-monde
  navigable SANS recalcul global de loracle (Ajout
  dune entrée dans le carnet dadresse, pas de
  modification des étiquettes)

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Graphe augmenté (G,L)
graphe déterministe G liens (aléatoires) L
n
7
Graphe augmenté (G,L) navigable ?
graphe déterministe G liens (aléatoires) L
8
G est petit-mondisable sil existe une
petit-mondisation de G.

• Question 1 tout petit-monde est-il navigable ?
  NON
• Question 2 tout réseau peut-il être transformé
  en petit-monde navigable ? Pierre va vous le
  dire
• Question 2bis quels sont les réseaux
  petit-mondisables ? des exemples vont suivre
• Question 3 comment construire la distribution L
  ? De manière distribuée ? but de lexposé

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Petit-mondiser nest pas facile
1
n
2
dG(u,v)min(u-v,n-u-v)
3
4

• Soit un cycle de longueur n, étiqueté suivant un
  ordre cylique, cad. routage glouton fonctionne !

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Petit-mondiser nest pas facile
1
n
2
dG(u,v)min(u-v,n-u-v)
3
4
Ajout de liens longs !!!

• Il ne suffit pas que le diamètre devienne
  polylogarithmique !

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Petit-mondiser nest pas facile
1
n
2
dG(u,v)min(u-v,n-u-v)
u
3
4
Le routage glouton nutilise pas le lien long
entre u et v !!
v

• Il ne suffit pas que le diamètre devienne
  polylogarithmique !

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Exemples de graphes petit-mondisables
13
A propos dexpansion de boules
i1
i2
B(r) ? rD polynomiale
B(r) ? 2r exponentielle
B(r) ? elog2(r) intermédiaire
B(r) noeuds à distance au plus r
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Graphes dexpansion c

• Un graphe est dexpansion c si pour tout centre,
  on a
• B(2r) lt c B(r)
• D log(c) est la dimension apparente de
  lexpansion

t
r
(DHLS05) Graphe expansion bornée
petit-mondisable - ROUTAGE GLOUTON en O(logO(D) N)
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Se pose la question quest-ce que la dimension D
?

• Espace euclidien (RD,L2),
• Graphe dexpansion 2D, B(2r) lt 2D B(r)
• La dimension doublante DD est le logarithme du
  nombre de boules de rayon r nécessaire pour
  couvrir une boule de rayon 2r

(Zvilkins05) Graphe de dimension doublante
bornée petit-mondisable - ROUTAGE GLOUTON en
O(2O(DD) log2N) sauts avec 1 lien long.
16
Les graphes petit-mondisables
N taille du graphe, A diamètre
normalisédmax/dmin
17
petit-mondisation distribuée de graphes de faible
expansion
18
Les graphes dexpansion bornée

• Def. Un graphe est dexpansion c si les tailles
  de boules
• Théorème (DHLS05) les graphes dexpansion bornée
  sont petit-mondisables avec la distribution
• Algorithme centralisé de petit-mondisation (pour
  chaque sommet u)
• On calcule Bu(r) et on tire une distance
  aléatoire selon fu(r)
• on choisit aléatoirement un nud à cette distance

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Quel temps/espace mémoire nécessite la
petit-mondisation ?

• Algorithme centralisé de petit-mondisation (pour
  chaque sommet u)
• On calcule Bu(r) et on tire une distance
  aléatoire selon fu(r)
• on choisit aléatoirement un nud à cette distance
• Calcul des boules BFS
• Calcul dune boule temps ?(m), mémoire ?(n)
• Calcul des boules ?(mn)
• Lien longue-distance de u mémoire O(n)
• Au total temps ?(mn) et mémoire ?(n)

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Connaître les EXACTEMENT les tailles de boules
est trop couteux !!!

• et pas nécessaire

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Une approche distribuée économique
G T ? O(G) H

• G réseau initial
• O(G) réseau logique spanner de la métrique
  induite par G
• T arbre codant une approximation des tailles de
  boules dans G (sommets de niveau i stockent une
  approx de B(2i)
• H petit-monde (augmentation de G)

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Ingrédient construction des réseaux logiques
intermédiaires

• Si échantillon de niveau i
• Propriété de Couverture (Si couvre Si-1) pour
  tout u ?Si-1, d(u,Si) 2i

G
23
Ingrédient construction des réseaux logiques
intermédiaires

• Si échantillon de niveau i
• Propriété de Couverture (Si couvre Si-1) pour
  tout u ?Si-1, d(u,Si) 2i

S0, S1, S2
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Ingrédient construction des réseaux logiques
intermédiaires

• Si échantillon de niveau i
• Propriété de Couverture (Si couvre Si-1) pour
  tout u ?Si-1, d(u,Si) 2i
• O(G) T,Ui Gi
• Gi(Si,,Ei ) Soient u,v ? Si, (u,v) ? Ei si
  d(u,v) 5.2i.
• T Chaque sommet de Si choisit un père dans Si1
  parmi les sommets qui le couvrent
• Propriété chaque feuille de larbre est à
  distance lt 2i1 de son ancêtre de niveau i.

Pv1
Pv2
v
25
Ingrédient Expansion c et approximation des
boules

• Si un echantillon de sommets u connaît Bu(2r)
• Si dG(u,v) lt 2r, Bu(2r) est une c3-approx de
  Bv(r)

r
2r
u
v
4r
Expansion c Bv(r) lt Bu(4r) lt c Bu(2r) lt c
Bv(4r) lt c3 Bv(r)
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Ingrédient Expansion c et approximation des
boules

• u sommet de niveau i (r2i)
• d(u,v) lt 2i avec v sommet quelconque
• Pvi ancêtre de v de niveau i dans arbre T
• Pvi voisin de u au niveau i
• Les sous-arbres de T enracinés dans les voisins
  de u au niveau i couvre Bu(2i) et sont contenus
  dans Bu(52i )

Expansion c Bu(r) lt Ux voisin de u dans Gi
Txi lt Bu(5r) lt c3 Bu(r)
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Difficulté construction effective de
léchantillon hiérarchique

• Hypothèse
• Soit u appartenant au niveau i
• Supposons une c3-approx de Bu(2i), notée ? (via
  couverture par les arbres voisins )
• Lemme (construction de Si1 - couverture) si u
  est rajouté à Si1 avec proba c3 log N/ ?, alors
  tout sommet de Si est couvert par un sommet de
  Si1 avec grande probabilité.
• Corollaire (Connexité de Gi) Si Gi-1 connexe,
  les voisins de u dans Gi sont au plus 3 sauts
  dans Gi-1
• Corollaire (Bonne approx) Si les propriétés de
  couverture et de connexité sont vérifiés, on peut
  bien calculer une c3-approx de Bu(2i1) pour u
  dans Si1.

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Grossièrement, lalgo se résume

• Pour chaque sommet u
• u tire une v.a. Xu dans 0,1
• i1 ?(1)1
• TANT QUE Xu lt c3 log N/ ?(2i)
• i
• Informe voisinage dans Gi-1 que u appartient à Si
• Attend que le voisinage dans Gi-1 informe quels
  voisins passent au niveau i
• En déduire une vision locale de Gi
• Calcule lestimation ?(2i)
• Découverte dun sommet v qui couvre u parent
  potentiel dans T (si u choisit v, v est informé
  et le rajoute dans la liste de ses fils)

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Analyse de complexité de la construction de O(G)
et T

• Modèle
• Ronde intervalle de temps dans lequel chaque
  nud envoie au moins un message (synchronisation
  par le plus lent noeud)
• 1 port le nud le plus lent envoie au plus 1
  message par ronde
• Congestion et au plus de taille O(log N)
• Proposition Avec grande probabilité, le calcul
  de O(G) est effectué en O(c8 log N log D) rondes,
  messages de taille O(log N) par nud et ne
  nécessite que O(c8 log N log D) bits de mémoire
  par nud.

30
Phase de petit-mondisation
31
petit-mondisation principe

• Version basique (centralisée)
• Chaque nud u choisit une échelle de distance de
  manière aléatoire uniforme, cad niveau i.
• Choisit un sommet vLu aléatoire dans sa boule de
  rayon r2i

v
r
u
4r
32
petit-mondisation principe

• Version basique (centralisée)
• Chaque nud u choisit une échelle de distance de
  manière aléatoire uniforme, cad niveau i.
• Choisit un sommet vLu aléatoire dans sa boule de
  rayon r2i
• Version décentralisée (via T)
• u contacte son ancêtre Pui de niveau i
• Pui choisit dans lunion des sous-arbres de ses
  voisins (incluant lui-même) une feuille de
  manière aléatoire uniforme.

x
Pui
u
v
33
petit-mondisation principe

• Version basique (centralisée)
• Chaque nud u choisit une échelle de distance de
  manière aléatoire uniforme, cad niveau i.
• Choisit un sommet aléatoire dans sa boule de
  rayon r2i
• Version décentralisée (via T)
• u contacte son ancêtre Pui de niveau i
• Pui choisit dans lunion des sous-arbres de ses
  voisins (incluant lui-même) une feuille de
  manière aléatoire uniforme.
• Inconvénient
• les sommets de haut niveaux recoivent n?(1)
  requêtes de long liens surchage temps/mémoire

x
Pui
u
v
34
petit-mondisation économique
Pui
AVANT
u
35
petit-mondisation économique

• Un sommet de niveau i sélectionne un ensemble
  aléatoire L de c7 log N feuilles dans sous-arbre
  puis le diffuse à tout son sous-arbre
• Chaque sommet ayant choisi léchelle de distance
  2i pour son long lien, choisit aléatoirement un
  sommet de L

Pui
APRES
u
36
Bilan

• Théorème Tout graphe dexpansion c peut être
  petit-mondisé en
• O(c8 log N log D) rondes
• O(c8 log N log D) messages de taille O(log N)
  bits par nud
• O(c8 log N log D) bits de mémoire par nud.

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Perspectives

• O(G) réseau logique permettant de connaître des
  approximations de tailles de boules
• on est capable de calculer exactement les tailles
  de boules avec un léger surcoût de rondes
• Généralisation aux graphes pondérés
• Enlever lhypothèse sur la connaissance dune
  approximation de N et de c !
• Nécessite mécanisme de détection de non-connexité
  de Gi
• Version dynamique sans recalcul global de O(G)
• Utilisation de réseaux logiques intermédiaires
  similaires pour dautres familles de graphes
  (dimension doublante bornée, mineurs exclus, )