Hypothesentest (Aufg.7.3)

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Hypothesentest (Aufg.7.3)

• Humboldt-Universität zu Berlin
• Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II
• Seminar Didaktik der Stochastik
• Dozentin Frau Dr. Warmuth
• Referenten Nils Dörholt
• Patrik Strauch
• Andreas Walz

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• Übungsserie 7 , Aufgabe 3
• 1. Informieren Sie sich zum Thema
  Stichprobenentnahme bei Wahlhochrechnungen.
• 2. Lösen Sie die Aufgaben 3 bis 6 aus dem
  Lehrbuchauszug. Führen Sie dazu geeignete
  Zufallsgrößen ein. Erläutern Sie, welche
  Modellannahmen Ihrer Lösung zugrunde liegen.
• 3. Legen Sie in der Kurzfassung eines
  Stundenentwurfs dar, wie Sie das Testen von
  Hypothesen im Zusammenhang mit Wahlen in einer
  12. Klasse behandeln würden. Der Kursentwurf
  soll (mindestens) drei kognitive Ziele
  beinhalten, die Sie mit der Unterrichtsstunde
  anstreben.

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• Aufgabe 7.3.1
• Informieren Sie ... zum Thema
  Stichprobenentnahmen bei Wahlhochrechnungen.

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• 18-Uhr-Prognose
• Grundlage Wahltagsbefragung (Befragung von
  Wählern beim Verlassen des Wahllokals)
• Wichtig Statistisch sinnvolle Anzahl
  repräsentativ ausgewählter Stimmbezirke (bei
  Landtagswahlen ca. 250, bei Bundestagswahlen
  etwa 400)

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• Repräsentativität
• Stichprobe unter statistischen Gesichtspunkten
  ein verkleinertes Abbild des jeweiligen Gebietes
  
• Beachtung der wichtigen Merkmale Region,
  Ortsgrösse, Altersverteilung, Haushaltsgrößen,
  Berufsgruppen, Bildungsstruktur in etwa gleichen
  Anteilen wie in der Gesamtbevölkerung.

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• Weitere Angaben
• Erfassung statistischer Angaben Alter,
  Geschlecht, Berufstätigkeit und Ausbildung,
  Motive für die Wahlentscheidung
• 1) Einschätzung der Stichprobenqualität
• 2) Grundlage für weitere Analysen

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• Hochrechnung
• Mitarbeiter bei öffentlichen Stimmenauszählungen
  
• Ergebnis telefonisch ans Institut
• Wenn Mindestanzahl an Stimmbezirksergebnissen
  vorliegt
• 1. Hochrechnung ca. 18.30 Uhr
• Varianz (Hochrechnung) lt 0,01

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• Problem
• Grenzen der Exaktheit
• Beispiel knappe Entscheidungen
• um wenige 100 Stimmen

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• Quelle
• Siehe Aufgabenblatt (Aufg. 7.3.1)
• (http//www.awv-net.de/cms/upload/awv-info/pdf/in
  fo- 024Thema-ExakteWahlprognosen-3S.pdf)

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• Aufgabe 7.3.2
• Lösen Sie die Aufgaben 3 bis 6 aus dem
  Lehrbuch. Führen sie dazu geeignete
  Zufallsgrößen ein. Erläutern Sie, welche
  Modellannahmen Ihrer Lösung zugrunde liegen.

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• Aufgabe
• Eine Partei erreichte bei der letzten Wahl nur
  3 der Stimmen. Man vermutet, dass es möglich
  ist, den Stimmenanteil zu verdoppeln. Bei einer
  Umfrage gaben von 1000 Wählern 41 an, diese
  Partei wählen zu wollen.
• (Lehrbuch Mathematik Stochastik vom
  Cornelsen Verlag, 2006, S. 207)

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• Zufallsgröße
• Sn- Anzahl der Personen die für Partei stimmen
• mit Sn X1Xn
• 1, Stimme für die Partei
• wobei Xi
• 0, keine Stimme für der Partei
• mit i 1,2,3,.., n
• und Xi- Merkmalsausprägung der i-ten Person

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• Modellannahmen
• Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum
• W- Raum ( ?,F, P)
• Binomialverteilung B (n,p)
• n unabhängige Teilexperimente mit konstanter
• Trefferwahrscheinlichkeit p
• n - Stichprobenumfang, Anzahl der unabhängigen
  Teilexperimente
• p - Trefferwahrscheinlichkeit
• k - Anzahl der Treffer

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• Aufgabe 3
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 41
  oder mehr Personen diese Partei wählen wollen,
  wenn sich der Stimmenanteil nicht verändert hat?

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• Modell Binomialverteilung
• n 1000
• p0,03
• k Trefferanzahl ( 41 oder mehr)
• P( Snk)
• gesucht
• P(Sn41)

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• Problem
• P(Sn41) 1- P(Snlt41) 1- P(Sn40)
• Berechnung mit Taschenrechner nicht möglich
  aufgrund des sehr großen n.

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• Lösungsmöglichkeiten
• Excel
• Approximation der Binomialverteilung zur
  Normalverteilung mithilfe des ZGWS des Moivre
  -Laplace

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• 1. Lösung Excel
• Wert in der Tabelle
• P(Sn41) 1- P(Snlt41) 1- P(Sn40)
• 1- 0,96977918
• 0,03
• Somit P(Sn41) 0,03

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• 2. Lösung Normalverteilung/ stetige Verteilung
• Zentraler Grenzwertsatz von de Moivre- Laplace
• Die Zufallsvariable Sn besitze eine
  Binomialverteilung mit Parametern n und p, wobei
  0ltplt1 vorausgesetzt ist. Dann gilt für jede Wahl
  reeller Zahlen a, b mit altb
• a.) P
• b.) P

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• Faustregel zur Approximation der
  Binomialverteilung zur Normalverteilung
• np(1-p) 9
• Test n1000 p 0,03
• 10000,030,9729,1 9
• Folglich Approximation benutzbar

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• Anwendung
• P(Sn41) 1- P(Snlt41) 1- P(Sn40)
• P(Sn k)
• P(Sn40) 0,967843
• Somit ist P( Sn 41) 1- 0,967843 0,032.
• Es handelt sich somit um eine gute Näherung für
  die Binomialverteilung. (geringe Abweichung der
  Werte)

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• Aufgabe
• Welche kritischen Zahlen ergeben sich für
• 0,1 und 0,05 bei H0 p0,03
• und H1 p 0,06 ?
• Geben Sie jeweils die Fehlerwahrscheinlichkeiten
  für einen Fehler 1. Art und 2. Art an.
• ? Hypothesentest

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• Hypothesentest
• Teste Ho gegen Alternative H1
• 1. Festlegung des Signifikanzniveaus
• 2. Berechnung des Verwerfungsbereichs/
  kritische Zahlen
• 3. Entscheidungsregel aufstellen
• 4. Fehler 1. Art und 2. Art berechnen
• Handelt sich um rechtsseitigen Hypothesentest

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• Rechtsseitiger Hypothesentest
• Ho p0,03 H1 p0,06
• 1. 0,1 und 0,05
• 2. P(Sn k)
• P(Snk) 1- P(Snk-1)
• ? P( Snk-1) 1-

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• Lösung
• 0,1 0,05
• P( Snk-1) 0,9 P( Snk-1)
  0,95
• P( Sn37) 0,9 P( Sn39) 0,95
• V0 (38, 39, , 1000) V1 (40, 41, , 1000)

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• Lösung
• Stichprobe V
  Stichprobe V
• Entscheidung für Ho
  Entscheidung für H1
• Ho richtig Entscheidung richtig
  Entscheidung falsch
• Fehler 1. Art
• H1 richtig Entscheidung falsch
  Entscheidung richtig
• Fehler 2. Art

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• Aufgabentext
• 41 von 1000 gaben an die Partei wählen zu
  wollen.
• ? 41 V0 k( 38,, 1000)
• 41 V1 k(40, , 1000)
• ? Nullhypothese Ho wird abgelehnt und H1 wird
  angenommen.
• ? Fehler 1. Art berechnen ( Ho abgelehnt, obwohl
  richtig)

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• Fehler 1.Art
• 0,1
  0,05
• Excel
• P(Sngt37) 0,0857
  P(Sngt39)0,043
• N-Verteilung
• P(Sngt37) 0,09 P(Sngt39)0,0474
• Fehler 1. Art ist Fehler 1. Art ist
• ca. 8,5. ca. 4,3.

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• Fehler 2.Art
• Ho angenommen und H1 abgelehnt, obwohl H1
  richtig ist.
• Stichprobe 41 eigentlich nicht nötig, da man
  sich für die Alternative H1 entscheidet und Ho
  ablehnt.
• Annahme 41 nicht repräsentativ und nehmen ein
  Stichprobenergebnis von unter 38 an. In diesem
  Fall lehnen wir die Alternative ab und stützen
  uns weiter auf die Nullhypothese H0. Somit ist
  ein Fehler 2. Art möglich, falls H1 richtig ist.
  

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• Neuer Fall
• Stichprobe ergab 37 Wähler
• ? 37 V0 und V1
• ? lehnen Alternative ab
• Fehler 2. Art lässt sich nur bei Kenntnis des
  richtigen p berechnen
• Hop0,03 ( Nullhypothese)
• H1p0,06 (Alternative)
• Annahme H1 mit p0,06 ist richtig
• Mit welcher Wahrscheinlichkeit mache ich
  Fehler 2. Art, wenn p0,06 der richtige Wert
  ist?

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• Lösung
• Berechnung des Fehlers 2. Art
• n1000 p (neu)0,06
• 0,1
  0,05
• Normalverteilung
• P(Snlt38) 0,001 P(Snlt40) 0,001
• Fehler 2. Art bei 0,1

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• Lösung
• Fehler 2. Art bei Annahme p0,04 richtiger Wert
• 0,1
  0,05
• Normalverteilung
• P(Xlt38) 0,315 P(Xlt40) 0,4403
• Fehler 2.Art liegt bei Fehler 2. Art liegt bei
• 31,5 44

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• Gütefunktion
• Gütefunktion des Tests gibt die
  Wahrscheinlichkeit für das Ablehnen der
  Nullhypothese in Abhängigkeit von p an.
• G(p)Pp(V) 0p1
• Die Operationscharakteristik des Tests gibt den
  Fehler 2. Art in Abhängigkeit von p an
• O(p)Pp(A)1-G(p) 0p1
• mit A Annahmebereich

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• Aufgabe
• Für den Einzug ins Parlament sind 5 der
  Stimmen nötig. Wie ist die Nullhypothese Ho p
  0,05 zu bewerten?
• zweiseitiger Hypothesentest für 0,1
• Ho testen gegen Alternative H1 p 0,05
• Berechnung mit Normalverteilung
• P(Sn k) 0,95 bei k 61
• P(Sn k) 0,05 bei k 39
• ? Verwerfungsbereich V(0,1,, 39)U( 62,, 1000)
• ? Bei Stichprobe von 41 behalten wir die
  Nullhypothese bei und lehnen Alternative ab

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• Fehler 2.Art
• Für Nullhypothese entschieden, obwohl
  Alternative richtig ist.
• Annahme p 0,06
• p 0,04
• p 0,03
• P(39 Sn 61) 0,89/ 0,56/ 0,037
• Fehler 2. Art beträgt 89/ 56/ 3,7

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• Fehler 2.Art
• Fehler 2. Art wird umso kleiner , je weiter der
  tatsächlich zugrunde liegende Modellparameter
  von dem Modellparameter unter Ho entfernt liegt
• ? sehr unwahrscheinlich, dass wir uns für Ho
  entscheiden, obwohl p0,03 gilt
• ? große Wahrscheinlichkeit, dass wir uns für Ho
  entscheiden, obwohl p0,06 richtig ist
• ? 56 Wahrscheinlichkeit, dass wir uns für Ho
  entscheiden, obwohl p 0,04 richtig ist
• ? Bezug zur 5 Klausel

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• Aufgabe 7.3.3
• Legen Sie in der Kurzfassung eines
  Stundenentwurfs dar, wie Sie das Testen von
  Hypothesen im Zusammenhang mit Wahlen in einer
  12. Klasse behandeln würden. Der Kurzentwurf
  soll (mindestens) drei kognitive Ziele
  beinhalten, die Sie mit der Unterrichtsstunde
  anstreben.

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• Lehrplan Berlin Sek. II
• Jahrgangsübergreifende Leistungskurse können
  eingerichtet werden. Für einen Teil der
• Schülerinnen und Schüler ergibt sich die
  Reihenfolge MA-3, MA-4, MA-1, MA-2. In
  diesemFall ist die Stochastik vollständig im
  Kurs MA-4(Rahmenlehrplan Mathematik, Sek II, 1.
  Auflage 2006, S.43)

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• Vorhaben
• Approximation der Binomialverteilung durch die
  Standardnormalverteilung
• Benötigt Satz von Moivre-Laplace
• Grund sehr großes n (Stichprobenumfang)

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• Vorkenntnisse
• Unabhängigkeit
• Zufallsgrößen und deren Wahrscheinlichkeitsvertei
  lung
• E(X), Var(X) und Standardabweichung
• Binomialverteilung (Formel von BERNOULLI, E(X),
  Var(X) und Standardabweichung)
• Normalverteilung
• Standardisierung der Normalverteilung

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• Lernziele
• Die Schüler sollen die Probleme der
  Anwendbarkeit der Binomialverteilung bei großen
  Stichprobenumfängen erkennen.
• Die Schüler sollen den Satz von Moivre-Laplace
  verstehen und anwenden können.
• Die Schüler sollen prüfen können, ob der Satz
  von Moivre-Laplace in einer bestimmten Situation
  anwendbar ist.

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• Stundenentwurf
• Leistungskurs, 12. Klasse
• Doppelstunde/ zwei Einzelstunden

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• 1. Einführung
• einführendes Gespräch über Wahlprognosen
  (außermathematische Motivation, Brücke zur
  Lebenswelt)
• Aufgabe Eine Partei erreichte bei der letzten
  Wahl nur 3 der Stimmen. Man vermutet, dass es
  möglich ist, den Stimmenanteil zu verdoppeln.
  Bei einer Umfrage gaben von 1000 Wählern 41 an,
  diese Partei wählen zu wollen. Wie groß ist die
  Wkt., dass 41 oder mehr Personen diese Partei
  wählen wollen, wenn sich der Stimmenanteil nicht
  verändert hat?
• Frage Wo tauchen bei dieser Aufgabe Probleme
  auf? Lasst uns bitte diese gemeinsam besprächen.
  
• 15-20 Min.

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• Erwartungen
• XB(n,p)
• Parameter n1000, p0,03
• Ergebnis
• ? ohne Computer zu aufwendig

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• Satz von Moivre-Laplace
• frei Recherche zum Satz (PC, Bücher usw.)
• 20-25 Min.

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• Erwartungen
• Satz von Moivre-Laplace
• Es sei eine binomialverteilte Zufallsvariable
  mit den Parametern n und p 0ltplt1, dann gilt .
• Verständnis bzw. konkrete Fragen bezüglich der
  Argumente.
•  
• Faustregel np(1-p) gt 9 bzw.
•  

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• Besprechung
• Besprechung des Satzes in seiner Bedeutung bzw.
  der Faustregel an der Tafel (möglichst
  Schülergespräch)
• kurze wiederholende Besprechung der
  N(0,1)-Verteilung
•   10-15 Min.
•  

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• Umsetzung der Aufgabe
• Die Schüler sollen die Aufgabe nun in kleinen
  Gruppen (2-4 Schüler) rechnen.
•   10-15 Min.
•  

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• Präsentation
• Vorstellung der Aufgabe von einer der Gruppen
•   10 Min.

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• Fragen, Diskussion
• Form Unterrichtsgespräch/Schülergespräch (wenn
  möglich, sonst geleitetes Unterrichtsgespräch/ Le
  hrergespräch)
• 10 Min.