Conexiуn de fractales: Un nuevo punto de vista

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Conexión de fractales Un nuevo punto de vista

• UN TRABAJO REALIZADO POR ENRIQUE CASIELLES
  LAPEIRA Nº EXP 04048 2º C, PARA LA ASIGNATURA DE
  METODOS MATEMATICOS I

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El estudio de los fractales comenzó con muchos
protagonistas, pero ninguno de ellos era tan
llamativo como los conjuntos de Julia y de
Mandelbrot y la biyección que se puede establecer
entre ellos. La fórmula para ambos conjuntos
es Zn1 Zn2 C Siendo el C fijo en el
conjunto de Julia y siendo el Zo fijo en el
Mandelbrot e igual a 0 en el famoso fractal de
Mandelbrot (que aquí llamaremos Mo)
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A. Douady y J.H. Hubbard demostraron que el
fractal de Mandelbrot Mo reune en su interior a
todos los puntos C a los que corresponde un
fractal de Julia conexo y que además, el mismo
Mo, era conexo. Sin embargo, es posible avanzar
aún más en estas relaciones de conexión.
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Tomemos un punto cualquiera del hiperespacio
complejo, es decir, puntos dados por 2 parejas de
coordenadas complejas. Estos puntos se pueden
poner en la función Julia/Mandelbrot como Zo y C,
e iterar hasta saber si el punto hace a la
función divergir o no. Sabemos ahora que ese
punto estará en un único fractal de Mandelbrot, y
en un único fractal de Julia. Por tanto, a cada
fractal de cualquier conjunto de Mandelbrot (M)
le corresponde un único fractal del conjunto de
Julia (J) en cada punto del primero. Esto
establece una biyección que desde mi punto de
vista no ha sido utilizada demasiado, aunque
ciertamente se han encontrado propiedades
interesantes, como la que asocia un número de
bulbos a un fractal de Julia según esté en el
punto común en un bulbo concreto del Mo.
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Sabiendo que podemos encontrar un único fractal
de Julia conexo para cada punto del fractal de
mandelbrot podemos usar como variables las
coordenadas de los puntos del fractal de
Mandelbrot para generar figuras fractales
tridimensionales o tetradimensionales.
Curiosamente, una propiedad de la que me di
cuenta era de que, al variar un punto sobre el
mandelbrot, los Julia asociados variaban
suavemente, como si realmente estuviéramos
seccionando una figura conexa tridimensional que
nos diera estos fractales de Julia. Sin embargo,
al salirnos del conjunto las figuras dejaban de
ser conexas, pero no dejaban de variar
suavemente. Esto último me hizo pensar lo
siguiente que realmente la función que genera
los fractales de Julia y de Mandelbrot era conexa
en las cuatro dimensiones. Claro, de ser esto
último verdad, la potencia de las propiedades de
conectividad de éstos conjuntos sería mucho más
potente. Desgraciadamente, sin los teoremas sobre
la conexión de fractales de Douady y Hubbard es
imposible la rigurosidad matemática en la
demostración de tal propiedad.
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Sin embargo, la falta de herramientas matemáticas
es posible suplirla con un poco de fe y un
ordenador con Fractint. La fe aquí es importante
porque, al igual que los matemáticos de la
antigüedad no sabían por qué se cumplían una
serie de cosas y tampoco podían demostrar su
falsedad, yo tengo la certeza de que la propiedad
antes mencionada se cumple porque al calcular y
comparar, la peculiaridad gráfica de las figuras
generadas por el programa apoya mi tesis de
manera intuitiva, pero sin aportar ningún dato
riguroso.
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A continuación vamos a observar cuatro
progresiones de imágenes, las cuales son
fractales de Mandelbrot y de Julia a los cuales
se les ha ido haciendo variaciones en las
componentes iniciales de manera que se observa
esta propiedad.
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Ahora veremos la primera progresión en la cual
veremos los siguientes fractales tipo mandelbrot
en los que variamos sólo la componente
real Zo0 Zo0.25 Zo0.5 Zo0.75 Zo1 Zo2
Zo3
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Ahora veremos otra vez fractales de Mandelbrot,
pero ahora variando la componente
imaginaria Zo0 Zo0.1i Zo0.2i Zo0.3i Zo0
.4i Zo0.5i Zoi Zo1.25i
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En la siguiente progresión veremos una que es
bastante famosa, ya que es fácil encontrarla por
Internet los fractales de Julia generados al ir
por la parte negativa del eje real asociado al
fractal Mo. Los valores son C0 C-0.1
C-0.2 C-0.3 C-0.4 C-0.5 C-0.75
C-1
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La última progresión es la más espectacular,
porque ahora no es un fractal de Julia generado a
partir de. Mo. En principio cualquiera puede
encontrar por Internet una progresión de los
fractales de Julia asociados a Mo, pero nunca una
de este tipo. Tras ver estos fractales se hace
difícil no creer que realmente la función
Julia/Mandelbrot sea conexa en cuatro
dimensiones. Aún así, esto no deja de ser una
conjetura. Los datos son Ci Ci0.001 Ci0.0
05 Ci0.01 Ci0.05 Ci0.1 Ci0.5
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Bibliografía http//www.dma.fi.upm.es/docencia/se
gundociclo/sistdin/sdcomplejos.html Agradecimient
os A Bartolomé Luque y el resto del profesorado
del Departamento de Matemática Aplicada y
Estadística, tanto por su paciencia como por si
ayuda desinteresada. Nota Siento haber
entregado este trabajo tan tarde, pero deseo que
al menos lo disfrute. Atentamente Enrique
Casielles Lapeira