6172009

1
Ñoà thò

• 7.4. Tính lieân thoâng
• Taøi lieäu naøy ñöôïc soaïn theo saùch Toaùn hoïc
  rôøi raïc öùng duïng trong tin hoïc, K. H. Rosen,
  ngöôøi dòch Phaïm Vaên Thieàu vaø Ñaëng Höõu
  Thònh, Nhaø xuaát baûn Khoa hoïc vaø kyõ thuaät,
  1998.
• Taøi lieäu löu haønh noäi boä

2
Ñöôøng ñi

• Ñònh nghóa 1. Ñöôøng ñi ñoä daøi n töø u tôùi v,
  vôùi n laø moät soá nguyeân döông, trong moät ñoà
  thò voâ höôùng laø moät daõy caùc caïnh e1, e2,,
  en cuûa ñoà thò sao cho f(e1) x0, x1, f(e2)
  x1, x2,, f(en) xn - 1, xn, vôùi x0 u vaø
  xn v .
• Khi ñoà thò laø ñôn, ta kyù hieäu ñöôøng ñi baèng
  daõy caùc ñænh x0, x1,, xn .
• Ñöôøng ñi ñöôïc goïi laø chu trình neáu noù baét
  ñaàu vaø keát thuùc taïi cuøng moät ñænh, töùc
  laø u v.
• Ñöôøng ñi hay chu trình goïi laø ñôn neáu noù
  khoâng chöùa cuøng moät caïnh quaù moät laàn.

3
Ñöôøng ñi

• Ví duï 1.
• a, d, c, f, e laø ñöôøng ñi ñôn ñoä daøi 4 vì a,
  d, d, c, c, f, f, e ñeàu laø caùc caïnh.
• d, e, c, b khoâng laø ñöôøng ñi vì e, c khoâng
  laø caïnh.
• b, c, f, e, b laø chu trình ñoä daøi 4 vì b, c,
  c, f, f, e, e, b laø caùc caïnh vaø ñöôøng
  ñi naøy baét ñaàu vaø keát thuùc taïi b.
• a, b, e, d, a, b ñoä daøi 5 khoâng laø ñöôøng ñi
  ñôn vì chöùa caïnh a, b hai laàn.

4
Ñöôøng ñi

• Ñònh nghóa 2. Ñöôøng ñi ñoä daøi n, vôùi n
  nguyeân döông, töø u tôùi v trong ña ñoà thò coù
  höôùng laø daõy caùc caïnh e1, e2,, en cuûa ñoà
  thò sao cho f(e1) (x0, x1), f(e2) (x1, x2
  ),, f(en) (xn - 1, xn ), vôùi x0 u vaø xn
  v .
• Khi khoâng coù caïnh boäi trong ñoà thò, ta kyù
  hieäu ñöôøng ñi naøy baèng daõy caùc ñænh x0, x1,
  x2,, xn .
• Ñöôøng ñi baét ñaàu vaø keát thuùc taïi cuøng
  moät ñænh ñöôïc goïi laø moät chu trình.
• Ñöôøng ñi hay chu trình goïi laø ñôn neáu noù
  khoâng chöùa cuøng moät caïnh quaù moät laàn.

5
Tính lieân thoâng trong ñoà thò voâ höôùng

• Ñònh nghóa 3. Moät ñoà thò voâ höôùng ñöôïc goïi
  laø lieân thoâng neáu coù ñöôøng ñi giöõa moïi
  caëp ñænh phaân bieät cuûa ñoà thò.
• Ví duï 2.
• Ñoà thò G laø lieân thoâng, ñoà thò H laø khoâng
  lieân thoâng.

6
Tính lieân thoâng trong ñoà thò voâ höôùng

• Ñònh lyù 1. Giöõa moïi caëp ñænh phaân bieät cuûa
  moät ñoà thò voâ höôùng lieân thoâng luoân coù
  ñöôøng ñi ñôn.
• Moät ñoà thò khoâng lieân thoâng laø hôïp cuûa
  hai hay nhieàu ñoà thò con lieân thoâng, moãi
  caëp caùc ñoà thò con naøy khoâng coù ñænh chung.
  Caùc ñoà thò con lieân thoâng rôøi nhau nhö vaäy
  ñöôïc goïi laø caùc thaønh phaàn lieân thoâng
  cuûa ñoà thò ñang xeùt.

7
Tính lieân thoâng trong ñoà thò voâ höôùng

• Ví duï 3. Ñoà thò G laø hôïp cuûa ba ñoà thò con
  lieân thoâng rôøi nhau G1, G2, G3.

G2
G3
G1
8
Tính lieân thoâng trong ñoà thò voâ höôùng

• Ñænh caét (hay ñieåm khôùp) laø ñænh khi xoaù ñi
  cuøng vôùi taát caû caùc caïnh lieân thuoäc vôùi
  noù seõ taïo ra moät ñoà thò con môùi coù nhieàu
  thaønh phaàn lieân thoâng hôn ñoà thò xuaát
  phaùt.
• Caïnh caét (hay caàu) laø caïnh khi boû ñi seõ
  taïo ra moät ñoà thò con môùi coù nhieàu thaønh
  phaàn lieân thoâng hôn ñoà thò xuaát phaùt.

9
Tính lieân thoâng trong ñoà thò voâ höôùng

• Ví duï 4. Tìm caùc ñænh caét vaø caïnh caét cuûa
  G.
• Caùc ñænh caét laø b, c, e.
• Caùc caïnh caét laø a, b vaø c, e.

10
Tính lieân thoâng trong ñoà thò coù höôùng

• Ñònh nghóa 4. Ñoà thò coù höôùng goïi laø lieân
  thoâng maïnh neáu coù ñöôøng ñi töø a tôùi b vaø
  töø b tôùi a vôùi moïi ñænh a vaø b cuûa ñoà thò.
• Ñònh nghóa 5. Ñoà thò coù höôùng goïi laø lieân
  thoâng yeáu neáu coù ñöôøng ñi giöõa hai ñænh
  baát kyø cuûa ñoà thò voâ höôùng neàn.

11
Tính lieân thoâng trong ñoà thò coù höôùng

• Ví duï 5.
• G laø lieân thoâng maïnh.
• H laø khoâng lieân thoâng maïnh vì khoâng coù
  ñöôøng ñi coù höôùng töø a tôùi b, nhöng laø
  lieân thoâng yeáu.

b
a
c
e
d
G
H
12
Ñöôøng ñi vaø söï ñaúng caáu

• Duøng ñöôøng ñi vaø chu trình ñeå xeùt xem hai
  ñoà thò coù ñaúng caáu hay khoâng.
• Baát bieán ñaúng caáu soá ñænh, soá caïnh, baäc
  cuûa ñænh
• Baát bieán ñaúng caáu chu trình ñôn vôùi ñoä
  daøi ñaëc bieät.
• Duøng ñöôøng ñi ñeå xaây döïng aùnh xaï giöõa hai
  ñoà thò.
• Ví duï 6. Hai ñoà thò G vaø H coù laø ñaúng caáu
  khoâng?

u1
v1
u2
v6
v2
u6
v3
v5
u3
u5
u4
v4
G
H
13
Ñöôøng ñi vaø söï ñaúng caáu
Caû G vaø H coù ba baát bieán baèng nhau soá
caïnh, soá ñænh, baäc cuûa caùc ñænh (4 ñænh baäc
3, vaø 2 ñænh baäc 2). Tuy nhieân H coù chu trình
ñôn ñoä daøi 3, coøn G khoâng coù chu trình ñôn
ñoä daøi 3. Vaäy G vaø H laø khoâng ñaúng caáu.
14
Ñöôøng ñi vaø söï ñaúng caáu

• Ví duï 7. Hai ñoà thò G vaø H coù laø ñaúng caáu
  khoâng?

G vaø H ñeàu coù 5 ñænh vaø 6 caïnh, 2 ñænh baäc
3 vaø 3 ñænh baäc 2 caû hai ñeàu coù 1 chu trình
ñôn ñoä daøi 3, 1 chu trình ñôn ñoä daøi 4, vaø 1
chu trình ñôn ñoä daøi 5. Ñeå tìm pheùp ñaúng
caáu coù theå coù, ñi theo ñöôøng ñi qua taát caû
caùc ñænh sao cho caùc ñænh töông öùng coù cuøng
baäc. Ví duï u1, u4, u3, u2, u5 trong G vaø u3,
v2, v1, v5, v4 trong H. Ñònh nghóa aùnh xaï f
f(u1) u3 , f(u4) v2 , Kieåm tra f laø pheùp
ñaúng caáu.
15
Ñeám ñöôøng ñi giöõa caùc ñænh

• Ñònh lyù 2. Cho G laø moät ñoà thò vôùi ma traän
  lieàn keà A theo thöù töï caùc ñænh v1, v2 ,, vn
  (vôùi caùc caïnh voâ höôùng hoaëc coù höôùng hay
  laø caïnh boäi, coù theå coù khuyeân). Soá caùc
  ñöôøng ñi khaùc nhau ñoä daøi r töø vi tôùi vj ,
  trong ñoù r laø moät soá nguyeân döông, baèng
  giaù trò cuûa phaàn töû (i, j) cuûa ma traän Ar .

16
Ñeám ñöôøng ñi giöõa caùc ñænh

• Ví duï 8. Coù bao nhieâu ñöôøng ñi ñoä daøi 4 töø
  a tôùi d trong ñoà thò ñôn G?

17
Ñeám ñöôøng ñi giöõa caùc ñænh

• Ma traän lieàn keà cuûa G, theo thöù töï a, b, c,
  d, laø

2 0 0 2 A2 0 2 2 0
0 2 2 0 2 0 0 2
0 1 1 0 A 1 0 0 1
1 0 0 1 0 1 1 0
8 0 0 8 A4 0 8 8 0
0 8 8 0 8 0 0 8
a14 8. Vaäy coù ñuùng 8 ñöôøng ñi ñoä daøi 4
töø a tôùi d.