Capitulo 5

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Capitulo 5

• Soluciones analíticas para problemas de flujo

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• Se escriben ecuaciones gobernantes para describir
  sistemas de flujo subterráneo porque las
  soluciones a esas ecuaciones dicen como se
  comportan los sistemas de aguas subterráneas. Es
  decir, si se resuelve la ecuación de flujo de
  agua subterránea, para la carga hidráulica,
  podemos predecir el comportamiento del sistema en
  cualquier punto del espacio, y para cualquier
  tiempo t. La derivada de h y las subsecuentes
  substituciones en la ley de Darcy nos permiten
  calcular la razón de flujo en combinación con la
  porosidad, la velocidad del campo de flujo. Esto
  nos puede decir cuanta agua se puede extraer de
  algún suministro de agua. También nos dice como
  se moverán los contaminantes en este sistema
  hidráulico.

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(No Transcript)
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• Cuando se escriben ecuaciones gobernantes para
  sistemas de flujo subterráneo, el resultado a
  menudo es una ecuación diferencial parcial que
  tiene como variables independientes, una, dos o
  tres coordenadas espaciales y el tiempo.

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• Para alguna de estas ecuaciones el dominio en que
  se aplica debe ser definido, las condiciones de
  frontera y las condiciones iniciales deben ser
  especificadas. Debido a que la ecuación de flujo
  subterráneo envuelve segundas derivadas en el
  espacio, los requerimientos para las condiciones
  de frontera debe ser especificada y una ecuación
  de frontera debe ser proporcionada en cada punto
  a lo largo de toda la frontera.

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• Para problemas transitorios, una condición
  inicial debe ser especificada para todos los
  puntos dentro del dominio. Los problemas
  estacionarios no envuelven cambios en el tiempo y
  por tanto no requieren condiciones iniciales.

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• estas condiciones hay que tomarlas en cuenta
  cuando se planea obtener una solución analítica

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Problemas de flujo unidimensional

• Sección 5.1

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Flujo unidimensional

• La consideración de problemas unidimensionales
  tiene implicaciones importantes.

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Flujo unidimensional

• También se introducen las asunciones de Dupuit.

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Flujo unidimensional

• También se introducen ideas respecto a la recarga
  del nivel hidráulico y fugas a través de
  acuitardos, así como también una introducción
  del flujo radial hacia pozos de bombeo.

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• Experimento de Darcy

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Experimento de Darcy

• Considérese la ecuación de flujo simple, estado
  estacionario, flujo unidimensional en un medio
  poroso homogéneo de longitud finita con
  condiciones de carga especificada en cada extremo
  del dominio. La ecuación diferencial gobernante
  se deriva de la ecuación siguiente

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Experimento de Darcy

• la cual para un medio homogéneo sin flujo lateral
  se reduce a

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• En esta ecuación hL y hR son valores de la carga
  hidráulica en las fronteras izquierda y derecha
  respectivamente. Si estos valores no cambian en
  el tiempo, entonces la solución h solo es función
  de x, por tanto, la parcial en la ecuación será
  una derivada total. La ecuación es entonces una
  ecuación diferencial ordinaria. En otra forma h
  seria una ecuación diferencial parcial en h y t.

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• En cualquier caso la solución es una línea recta
  en el espacio los dos valores de frontera.

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Experimento de Darcy

• Nótese que esta ecuación con condiciones de
  frontera invariantes en el tiempo corresponden al
  experimento de Darcy donde el flujo
  unidimensional en una columna de dimensión finita
  fue dada para valores de carga hidráulica fija en
  las fronteras inferior y superior. En efecto, el
  conocimiento de esta solución analítica nos
  permite implementar experimentos destinados a la
  estimación de parámetros. En este caso el
  desarrollo de la prueba en la columna nos permite
  el calculo de la conductividad.

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Experimento de Darcy

• Dada la solución apara la carga, se deriva y se
  inserta en la ecuación de Darcy donde basados en
  la razón de flujo, la conductividad puede ser
  determinada de la ecuación de Darcy puesta en
  forma distinta.

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Experimento de Darcy

• Dado que la solución para el estado estacionario
  asociado a al experimento de Darcy resulta útil,
  es deseable saber como se llega a este estado.
  Considérese una columna de suelo en la cual no
  haya flujo inicialmente( implica n es constante
  en el espacio). Entonces en algún momento se le
  imponen condiciones de frontera las cuales
  inducen un flujo a través de la columna. Si
  deseamos escribir la respuesta transitoria de
  este sistema a las condiciones de frontera
  impuestas, es necesario resolver la versión
  transitoria de la ecuación de flujo.

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Experimento de Darcy

• Asumiendo homogeneidad espacial de los
  parámetros, una columna unidimensional sin flujo
  en las fronteras en los lados, una condición de
  frontera e carga en dos extremos de la columna,
  el sistema de ecuaciones gobernantes toman la
  forma

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Experimento de Darcy

• Considere un flujo transitorio ocasionado por un
  cambio instantáneo de la carga en una de las
  fronteras, lo cual sirve para perturbar el estado
  estacionario inicial de la columna. Si la
  condición inicial esta dada por h0, podemos
  cambiar una de las condiciones de frontera en el
  tiempo t0 para inducir el flujo.

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Experimento de Darcy

• La figura 5.1 muestra la carga hidráulica como
  función de su localización espacial para tres
  tiempos distintos.
• usando los parámetros hL1.0, hRin0, l1 y
  K/Ss0.1

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Experimento de Darcy

• El primer tiempo corresponde a un tiempo
  inicial, donde la presión ha comenzado a
  dirigirse hacia el dominio pero permanece lejos
  de la frontera derecha.
• El segundo tiempo al cual nos referiremos como
  tiempo intermedio, muestra la influencia de ambas
  condiciones de frontera s en la solución, pero la
  solución aun esta cambiando con el tiempo.
• el tercer tiempo al cual llamaremos tiempo
  final, en el cual estaremos llegando a estado
  estacionario. Para este problema, el estado
  estacionario es una línea recta en el espacio
  conectando los dos valores de frontera.

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Experimento de Darcy

• Para la solución en el tiempo final, se tiene
  una situación de estado estacionario que reduce a
  la ecuación gobernante a una simple ecuación
  diferencial ordinaria Para la solución para en el
  tiempo inicial, también podríamos usar una
  simplificación que envuelve la observación que la
  condición de frontera en el lado derecho no tiene
  injerencia alguna en la solución. para tales
  casos a menudo se trata al dominio como si la
  frontera derecha estuviera infinitamente lejos,
  de donde se dice que el dominio es semi-infinito,
  lo que significa que solo se tiene una frontera
  bien definida, y la segunda esta muy lejos y no
  influye en la solución. En este caso la solución
  analítica resulta ser mas fácil.

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Experimento de Darcy

• En el caso de la aproximación semi-infinita al
  dominio, la ecuación gobernante toma la forma

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Experimento de Darcy

• Nuevamente se puede derivar una solución
  analítica para este caso. Para el caso especifico
  que se esta considerando, se encuentra que la
  solución para la propagación de la carga en un
  dominio semi-infinito esta dada por

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Experimento de Darcy

• donde erfc es la función complementaria de error,
  se define por

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Experimento de Darcy
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Flujo regional unidimensional

• Como segundo ejemplo considere el flujo en el
  nivel freatico un acuífero, sujeto a recarga por
  encima. Consideraremos una sección vertical
  transversal bidimensional y aplíquese un promedio
  vertical. Para obtener una ecuación gobernante
  unidimensional.

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Flujo regional unidimensional

• En la figura se muestra un esquema del sistema,
  el cual muestra una sección transversal vertical
  con variables independientes x y z. las fronteras
  se ubican en x0 y en x l, por simplicidad
  asumimos que el acuífero esta debido de una
  formación impermeable (en z0).

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Flujo regional unidimensional

• La frontera superior corresponde a al nivel
  freático, cuya ubicación necesita ser determinada
  como parte de la solución. La condición de
  frontera apropiada para el nivel freático se
  mostró en la sección 4.4 debido a la complejidad
  de esa condición de frontera, buscaremos
  simplificaciones que permitan obtener una
  solución analítica.

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Flujo regional unidimensional

• Considérese que la razón de infiltración es
  conocida y supóngase constante tanto en espacio
  como en tiempo, que corresponde a la razón n de
  infiltración promedio ( basado en la
  precipitación anual promedio). Dado que este
  sistema exhibe flujo multidimensional, usaremos
  promedio vertical para reemplazar la ecuación
  gobernante bidimensional con una ecuación
  unidimensional que ubique el nivel hidráulico
  dada la introducción apropiada de la producción
  especifica, modificación de la transmisividad que
  incluya el grosor saturado, y la inclusión de la
  recarga como termino ( fuente) en la ecuación
  gobernante

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Flujo regional unidimensional

• bajo la suposición de flujo horizontal y estado
  estacionario la ecuación gobernante toma la forma

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Flujo regional unidimensional

• en esta ecuación la barra encima significa
  cantidad verticalmente promediada, la razón de
  recarga esta dada por N, y las condiciones de
  frontera izquierda y derecha se toman como
  valores de carga fijos que son constantes en el
  tiempo. Nótese que la transmisividad es una
  función de la carga hidráulica. Dado que el
  grosor del acuífero depende de la localización
  del nivel hidráulico, y esa localización depende
  de la carga hidráulica

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Flujo regional unidimensional

• Esta dependencia de la transmitividad sobre la
  variable dependiente (carga) hace que la ecuación
  sea no-lineal. Muchas ecuaciones no-lineales no
  tienen solución analítica, pero en este caso la
  solución pede ser obtenida, para hacerlo, observe
  que el lado izquierdo de la ecuación anterior se
  puede re-escribir (quitando las barras y
  considerando K constante) como

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Flujo regional unidimensional

• por lo tanto, la ecuación gobernante nos dice que
  el cuadrado de la carga hidráulica tiene una
  segunda derivada constante en el espacio,
  proporcional a la razón de infiltración N por
  tanto la solución para h(x) es un polinomio
  cuadrático en x. La forma de la solución es
  fácilmente determinada y es

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Flujo regional unidimensional

• como ejemplo considérese el caso de una isla
  extensa y esta limitada a la derecha y a la
  izquierda por las condiciones , donde B es la
  distancia entre el fondo del acuífero y el nivel
  del mar. Entonces la solución para h(x) toma la
  forma

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Flujo regional unidimensional

• se puede ver que sin recarga no hay nada que
  incite al flujo y la solución es simplemente
  h(x)B. Con recarga la solución se puede
  re-escribir como

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Flujo regional unidimensional

• De esta solución se obtienen dos observaciones
  la primera la solución es simétrica respecto del
  punto medio del dominio (x l/2), que es donde se
  encuentra el nivel máximo del nivel freático.
  Esto es porque las dos condiciones de frontera
  tienen el mismo valor. Entonces el agua se
  infiltra y se une al sistema de flujo, y fluye
  hacia fuera horizontalmente, de la mitad del
  dominio hacia las fronteras izquierda y derecha.
  La segunda observación, es que cuando el
  incremento en la carga h sobre B es pequeño
  respecto del grosor de B, la no linealidad del
  problema no es significativa y la transmisividad
  puede ser razonablemente aproximada por . esto
  puede ser afirmado representando la carga como

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Flujo regional unidimensional

• Entonces cuando , la carga h no difiere mucho
  del grosor de B. en ese caso términos con e2 , se
  pueden despreciar porque son muy pequeños. la
  sustitución de h en la solución da

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Flujo regional unidimensional

• La cual resuelta para h(x) da

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Flujo regional unidimensional
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Flujo en coordenadas radiales

• Como ejemplo final de soluciones analíticas en
  una dimensión, considérese el caso de flujo
  radial a un pozo en un acuífero confinado
  uniforme.

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Flujo en coordenadas radiales

• El dominio del medio poroso comienza en el radio
  del pozo denotado como rw, y se extiende hacia el
  radio exterior denotado por rext .
• Se asume simetría radial, entonces no hay
  variación en la carga hidráulica con la variación
  angular, el promedio vertical es aplicado.
• El grosor del acuífero esta denotado por B

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Flujo en coordenadas radiales

• En base a la ecuación

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Flujo en coordenadas radiales

• La ecuación gobernante de flujo escrita en
  coordenadas radiales y bajo condiciones
  estacionarias toma la forma

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Flujo en coordenadas radiales

• Para resolver esta ecuación deben especificarse
  las condiciones de frontera interior y exterior.
  Para el caso de condiciones de carga fijas

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Flujo en coordenadas radiales

• la solución es un logaritmo con la siguiente
  forma

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Flujo en coordenadas radiales

• Si se da la razón de flujo en el pozo, la
  condicione de frontera en el interior es una
  condición de flujo, la cual puede ser re-escrita
  como

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Flujo en coordenadas radiales

• Con lo cual la solución toma la forma

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Flujo en coordenadas radiales

• En el caso de dos condiciones de carga fijas la
  razón esta dada por

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Flujo en coordenadas radiales

• En el caso de una razón de flujo dada en el pozo,
  la razón total de flujo hacia el mismo para algún
  radio r esta dada por Qw.

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Flujo en coordenadas radiales

• Esto es consistente con la ecuación gobernante,
  la cual establece que el flujo total en la
  dirección radial no varia con un cambio en la
  coordenada radial  

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Flujo en coordenadas radiales

• Esto es consistente con un simple razonamiento
  físico, en el sentido de que en algún lugar en
  donde no haya fuentes o sumideros dentro de algún
  dominio, los flujos entrantes y salientes se
  atribuyen a las fronteras. Por tanto , dentro del
  dominio, en estado estacionario, la razón de
  flujo total debe ser constante para algún radio
  r.

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Flujo en coordenadas radiales

• Que forma tendría una fuente o sumidero en este
  caso radial y cuales serian las implicaciones.
  Una posibilidad seria tener recarga como en el
  caso anterior. Pero en el caso de un acuífero
  confinado, a menudo se tiene fluido fluyendo
  hacia o desde un acuífero vía goteo hacia o desde
  un acuífero adyacente a través de un acuitardo
  que separa a los dos acuíferos. Debido a la ley
  tangente se considera que el flujo en un
  acuitardo esencialmente vertical y en un acuífero
  horizontal.

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Flujo en coordenadas radiales

• Si se considera que las fugas de agua a través de
  un acuitardo como debidas a un decremento en la
  carga en el acuífero causado por bombeo de un
  pozo en ese acuífero, entonces bajo la suposición
  de carga constante en el acuífero encima del
  acuitardo y flujo estacionario tanto en el
  acuitardo como en el acuífero, se podría escribir
  la ecuación para el flujo en el acuitardo como

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Flujo en coordenadas radiales

• donde la carga hidráulica en el acuitardo se
  denota con , la conductividad hidráulica en el
  acuitardo se denota con y el grosor del
  acuitardo con . Nótese que la dependencia radial
  viene de la condición de frontera del fondo, la
  cual sirve para acoplar el flujo en el acuitardo
  con la carga del fondo del acuífero (h(r)). No
  hay derivadas de con respecto a r en la ecuación
  dado que se considera flujo vertical en el
  acuitardo.

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Flujo en coordenadas radiales

• La solución de esta ecuación es simple y esta
  dada por

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Flujo en coordenadas radiales

• La derivada de esta ecuación da el flujo
  volumétrico a través del acuitardo

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Flujo en coordenadas radiales

• dado que la cantidad de agua que sale de la base
  del acuitardo es la misma que la cantidad de agua
  que entra por parte superior del acuífero esta
  dada por la ecuación anterior

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Flujo en coordenadas radiales

• Esto debe aparecer en la ecuación gobernante para
  el acuífero, de forma tal que la ecuación
  gobernante para el acuífero se transforma en

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Flujo en coordenadas radiales

• Dado que esta ecuación es mas complicada que las
  que se han resuelto hasta el momento, las
  soluciones analíticas pueden ser obtenidas para
  h(r) por medio de series, específicamente Bessel.

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Flujo en coordenadas radiales

• Una observación interesante es que términos para
  fuentes internas ( goteo), significa que la
  importancia de las fronteras externas decrecen,
  hasta el limite de un dominio semi-infinito, toda
  el agua que suministra al pozo viene de goteo.
  Por tanto soluciones significativas pueden ser
  derivadas en dominios semi-infinitos cuando un
  termino de goteo esta presente, esto no es cierto
  en ausencia de tales fuentes debido a que todo el
  suministro debe venir de la frontera, y para
  dominios semi infinitos esto conduce a cargas que
  no están limitadas, y por tanto no tiene
  significado practico

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Flujo en coordenadas radiales

• En el caso semi-infinito, la ecuación gobernante
  y las condiciones de frontera apropiadas pueden
  ser escritas como

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Flujo en coordenadas radiales
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Flujo en coordenadas radiales

• En esta ecuación la longitud de escala , se ha
  introducido. Esta es una longitud de escala
  característica llamada factor de goteo. La
  ecuación gobernante es una ecuación diferencial
  ordinaria de segundo grado cuya solución general
  es una combinación lineal de funciones de bessel
  I0 y K0 de la forma , estas funciones de bessel,
  nótese que la solución es la razón r/l,

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Flujo en coordenadas radiales

• Para el caso de un dominio semi-infinito la
  solución se simplifica a

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Flujo en coordenadas radiales

• Donde k1 es una función de bessel de segundo tipo
  de orden 1, típicamente se tiene que rx/l

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Flujo en coordenadas radiales

• En este caso el comportamiento de la función de
  bessel k1 en el limite de un argumento pequeño es
  tal que

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Flujo en coordenadas radiales

• Por tanto la solución se simplifica a la
  siguiente forma

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dudas

• 4

72
dudas

• 3

73
dudas

• 2

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dudas

• 2