Mthodes de dcomposition pour des problmes dOptimisation Combinatoire

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Méthodes de décomposition pour des problèmes
dOptimisation Combinatoire

• Equipe Amiens
• Laboratoire LaRIA/UPJV
• Corinne Lucet, Yu Li, Loys Thimonier
• Equipe Compiègne
• - Laboratoire HeuDiaSyC/UTC
• - Aziz Moukrim, Philippe Baptiste, Jacques
  Carlier
• Florence Mendes (thèse, LaRIA)
• Allocataire Conseil Régional de Picardie - FSE
• C. Lucet et A. Moukrim

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Méthodes de décomposition pour des problèmes
dOptimisation Combinatoire
EA 2083

• 2000-2001
• - Stage de DEA (Delphine Petit) Méthode de
  décomposition pour la coloration de graphes
• - Projet de fin détudes (Aya Choulli)
• Méthode arborescente basée sur les graphes de
• comparabilité pour la coloration de
  graphes
• Depuis octobre 2001
• - Thèse (Florence Mendes)
• Méthode de décomposition pour des problèmes
• doptimisation combinatoire
• 2002-2003
• - Stage de maîtrise (Sylvain Darras)
• Planification des horaires de travail dans un
  centre dappels
• Stage du cycle probatoire du CNAM (Yohann
  Fortini)
• Planification des horaires de travail et
  recherche opérationnelle

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dOptimisation Combinatoire
EA 2083

• 2003-2004
• - Stage de DEA (Cyrille Randabel) Planificat
  ion des horaires de travail dans un centre
  dappels
• - Stage dingénieur CNAM (Yohann Fortini)
• Planification doraux et dexamens pratiques
• - Stages de DUT (Simon Duquennoy, Hugo
  Picherit-Roy)
• Planification doraux et dexamens pratiques

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• Coloration de graphes problème NP-difficile
• Logistique Création demplois du temps,
  Gestion dentrepôts
• Optimisation de réseaux Allocation de
  fréquences

Définition du problème Affecter une couleur à
chaque sommet du graphe en sassurant que deux
sommets reliés par une arête naient pas la même
couleur et en minimisant le nombre de couleurs
différentes utilisées.
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Coloration de graphes méthode de résolution

• Résolution de plusieurs problèmes de k-coloration
  par une méthode de décomposition-linéaire du
  graphe dentrée
• Méthode exacte
• A chaque étape, un nouveau sommet est introduit
  dans le sous-graphe résolu
• Les solutions partielles de létape i permettent
  de construire les solutions partielles de létape
  i 1

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Coloration de graphes prétraitements
Un sommet v peut être supprimé de G sans changer
le problème, si on peut montrer que   si G \ v
est k-coloriable, alors G est k-coloriable 
But Réduire la taille du graphe et ajouter des
contraintes 4 prétraitements ont été appliqués
- Réduction 1 - Réduction 2 - Fusion de
sommets - Ajout darêtes
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Coloration de graphes Réduction 1
Si x nest pas voisin de y et si le voisinage de
x est compris dans le voisinage de y, alors x
peut être supprimé du graphe
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Méthodes de décomposition pour des problèmes
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Coloration de graphes Réduction 1
Si x nest pas voisin de y et si le voisinage de
x est compris dans le voisinage de y, alors x
peut être supprimé du graphe
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Coloration de graphes Réduction 2
Si le degré de x est strictement inférieur à k
(k-coloration), alors x peut être supprimé du
graphe
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Pour une 3-coloration
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Coloration de graphes Fusion de sommets
Supposons quon cherche une k-coloration et quon
dispose dune clique de taille k. Si x est
adjacent à tous les sommets de la clique sauf y,
alors x et y peuvent être fusionnés.
Pour une 3-coloration
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Coloration de graphes Ajout darêtes
Supposons quon cherche une k-coloration et quon
dispose dune clique C de taille k. Si x et y ne
sont pas voisins et que chaque sommet de C est
voisin de x ou de y, alors larête (x,y) peut
être ajoutée.
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Pour une 3-coloration
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Coloration de graphes prétraitements
Graph N new N Del Graph N
new N Del 1-FullIns3 30 15 50
1-FullIns4 93 35 62 1-FullIns5
282 75 73 2-FullIns3 52 9
81 5-FullIns4 1085 65 94
2-FullIns5 852 89 90 3-FullIns3
80 11 86 3-FullIns4 405 51
87 3-FullIns5 2030 107 95
4-FullIns3 114 13 89 4-FullIns4
690 58 92 5-FullIns3 154 15
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C. Lucet, F. Mendes, A. Moukrim, Pre-processings
and Linear-decomposition algorithm to solve the
k-colorability problem, III Workshop on Efficient
and Experimental Algorithms, Angra dos Reis,
Brazil, 25-28 May 2004
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• Partie applicative
• Allocation de fréquences en téléphonie mobile
• Planification des horaires de travail dans un
  centre dappels
• Planification doraux et dexamens pratiques

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Allocation de fréquences en téléphonie mobile
Réseau - transmetteurs -
domaines limités de fréquences utilisables
Contraintes fortes distances minimales de
réutilisation des fréquences
Contraintes faibles interférences co-canal et
canal-adjacent
Pénalités dinterférence
FAP Affecter une fréquence à chaque
transmetteur sans pénalité
MI-FAP minimiser la somme des pénalités
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MI-FAP exemple dinstance
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Cellule A1 A2 A3 B1 B2 TRXs 1 3 2 2
1
Fréquences Site A 5..12, Site B 5..10
Handover A1-B2 (2)
Co-site separation 1 Co-cell separation 2
Pénalités co-canal canal-adjacent A2-B1
0,3 0,1 A2-B2 0,1 0,02 B1-A1
0,01 0
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Du MI-FAP à la coloration
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Poids 1 Poids 2
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Du MI-FAP à la coloration
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Pénalités 2 co-canal A2-B1 0.6 2
canal-adjacent A2-B2 0.02 Pénalité totale 0.62
B1
A1
B2
Pénalités co-canal canal-adjacent A2-B1 0,3
0,1 A2-B2 0,1 0,02 B1-A1
0,01 0
A2
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Planification des horaires de travail dans un
centre dappels
2003 - Stage de Sylvain Darras
- Etude du problème, modélisation, implémentation
dun algorithme glouton et premiers
résultats 2004 - Stage de Cyrille Randabel
- Application dalgorithmes performants à
base de recherche locale et méthode tabou
- Finalisation du logiciel
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Planification des horaires de travail dans un
centre dappels
Logiciel de planification pour Coriolis Service -
Amiens

• Sortie
• Emplois du temps
• Qualité de Service prévue

• Entrée
• Liste du personnel
• Contrats de travail
• Courbe de charge

• Principales contraintes
• Qualité de service
• Contraintes légales
• Respect de léquité

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Méthodes de décomposition pour des problèmes
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Planification des horaires de travail dans un
centre dappels algorithme de solution initiale
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Planification des horaires de travail dans un
centre dappels Premiers résultats
Nombre demployés
Exemple de résultat pour une journée type
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Méthodes de décomposition pour des problèmes
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Planification des horaires de travail dans un
centre dappels méthode tabou
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Planification doraux et dexamens pratiques La
Providence - Amiens

• Collaboration 2003-2004 ? logiciel
• Entrée élèves et professeurs, salles
  disponibles, type et durée de la session
  dexamens
• Principales contraintes disponibilité des
  salles et des personnes, couverture complète des
  élèves, horaires des professeurs compris dans
  leurs horaires de travail habituels
• Sortie planification des examens,
  correspondance élèves professeur
  salle date et heure

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• Publications
• C. Lucet, F. Mendes, A. Moukrim, Pre-processings
  and Linear-Decomposition to Solve the
  k-Colorability Problem, WEA 2004, Angra dos Reis,
  Brazil, 25-28 mai 2004.
• C. Lucet, F. Mendes, A. Moukrim, An Exact Method
  for Graph Coloring, Computers and Operational
  Research (soumission 2004)
• C. Lucet, F. Mendes, A. Moukrim, Résolution du
  problème dallocation de fréquences et coloration
  de graphes, Congrès de la ROADEF, Février 26-28
  2003, Avignon.
•    
• C. Lucet, F. Mendes, A. Moukrim, Méthode de
  décomposition appliquée à la coloration de
  graphes, 4ème Congrès de la ROADEF, Février 20-22
  2002, Paris.
•  

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dOptimisation Combinatoire
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• Publications
• A. Choulli, Méthodes arborescentes pour la
  résolution du problème de coloration des sommets
  dun graphe, stage de fin détudes de lEcole
  ENSIAS encadré par J. Carlier et A. Moukrim,
  2001.
• S. Darras, Planification avec contraintes de
  charge, stage effectué à Coriolis Service
  Amiens, encadré par C. Lucet, F. Mendes et A.
  Moukrim, 2003. .
•     
• Y. Fortini, La planification des horaires de
  travail et la recherche opérationnelle, stage du
  cycle probatoire du CNAM Amiens, encadré par C.
  Lucet, 2003.