Mthodes de dcomposition pour la coloration de graphes

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Méthodes de décomposition pour la coloration de
graphes

• Florence Mendes

Président du jury Jacques Carlier
HeuDiaSyC Rapporteurs Jin-Kao Hao
Université dAngers Alain Quilliot
Université de Clermont-Ferrand Examinateur
Mhand Hifi Université de Picardie Jules
Verne Directeurs de thèse Corinne Lucet -
Université de Picardie Jules Verne Aziz Moukrim
Université de Technologie de Compiègne
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Plan de lexposé

• Présentation du problème de Coloration
• Méthode de décomposition-linéaire
• Pré-traitements pour la k-coloration
• Partie Applicative Planification des horaires
  de travail dans un centre dappels
• Conclusion et Perspectives

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Problème de Coloration

• Coloration dun graphe affecter une couleur à
  chaque sommet de sorte que deux sommets reliés
  par une arête aient des couleurs différentes

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Problème de Coloration

• Coloration dun graphe affecter une couleur à
  chaque sommet de sorte que deux sommets reliés
  par une arête aient des couleurs différentes

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Problème de Coloration

• Problème de coloration trouver la plus petite
  valeur de k telle que le graphe soit
  k-coloriable, notée ?

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Problème de Coloration

• Problème de coloration trouver la plus petite
  valeur de k telle que le graphe soit
  k-coloriable, notée ?

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Exemple dapplication

• Problème NP-difficile
• Nombreuses applications problèmes demplois du
  temps, de gestion dentrepôts, dallocation de
  fréquences, etc...

Modélisation
Coloration
4 couleurs 4 entrepôts
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Méthodes de résolution existantes

• Nombreuses méthodes approchées
• Algorithmes gloutons DSATUR Brelaz79, RLF
  Leighton79
• Recuit simulé Chams,Hertz,deWerra87
• Recherche Tabou Hertz,deWerra87Dorne,Hao99
  Gonzales-Velarde,Laguna03
• Métaheuristiques Morgenstern93
  Galinier,Hao99Chiarandini,Schtutzle02Hamiez,H
  ao02

• Peu de méthodes exactes
• DSATUR Branch and Bound Sewell93, Branch and
  Cut Mendez Diaz,Zabala03
• Génération de colonnes et Programmation Linéaire
  Mehrotra,Trick96
• Détermination de sous-graphes critiques
  Herrmann,Hertz02

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Méthode de Décomposition principe général
G (V, E)

• Soient H et H deux sous-graphes résolus de G.
• F ensemble des sommets appartenant à H et à H
• Le problème est résolu pour G en examinant
  simplement les différents états des sommets de F

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Décomposition-linéaire pour la coloration

• Résolution du problème de coloration pour G
• Décomposition-linéaire inefficace

• Résolution de plusieurs problèmes de k-coloration
• k varie entre des bornes inférieure et supérieure
  du nombre chromatique

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Décomposition-linéaire pour la k-coloration
H
H
F
H
H
F
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Décomposition-linéaire résultats numériques
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Pré-traitements pour la k-coloration

• But Réduire la taille du graphe du graphe à
  colorier
• 4 pré-traitements ont été développés
• Réduction par voisinage
• Réduction par degré
• Fusion de sommets
• Ajout darêtes
• Si Gk est k-coloriable, alors G est k-coloriable

Pré-traitements
Graphe initial G
Graphe modifié Gk
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Pré-traitements résultats numériques
Graphe N M LB new N Del 1-FullIns5 282
3247 3 75 73 3-FullIns5 2030
33751 2 107 95 fpsol2.i.2
451 8691 30 175 61
mulsol.i.5 186 3973 31 84 55
school1 385 19095 14 360
6 le450 25a 450 8260 20 297
34 anna 138 493 11
0 100 mug100-1 100 166
3 100 0 miles250 128
387 7 34 73 miles500
128 2340 20 0 100
DSJR500 1 500 3555 12 28
94 zeroin.i.2 211 3541 30 55
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Planification dhoraires de travail

• Logiciel de planification pour Coriolis Service
  Amiens
• 2 stagiaires Sylvain Darras (2003), Cyrille
  Randabel (2004)
• Résolution par une méthode approchée de recherche
  locale

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Comparaison Descente vs. méthode Manuelle
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Publications

• Lucet,Mendes,Moukrim Méthode de décomposition
  appliquée à la coloration de graphes Roadef 02,
  Paris
• Lucet,Mendes,Moukrim Résolution du problème
  dallocation de fréquences et coloration de
  graphes Roadef 03, Avignon
• Mendes,Lucet,Moukrim Planification dhoraires
  de travail dans un centre dappels contraintes
  de charge et gestion de la multi-compétence
  Roadef 04, Tours
• Lucet,Mendes,Moukrim Pre-processings and
  linear-decomposition to solve the k-coloring
  problem LNCS 3054, proceedings of WEA04, Angra
  dos Reis, Brésil
• Lucet,Mendes,Moukrim An exact method for graph
  coloring Computers and Operations Research à
  paraître

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Conclusions et perspectives

• Décomposition-linéaire pour la coloration de
  graphes
• Méthode exacte complémentaire des méthodes
  existantes
• Utiliser dans une méthode de résolution approchée
• Pré-traitements proposés
• Efficaces pour de nombreuses familles de graphes
• Utilisables avant toute méthode de résolution
  exacte ou approchée
• Ajouter dautres pré-traitements
• Planification dhoraires de travail dans un
  centre dappels
• Modélisation dun problème réel
• Améliorer la qualité des solutions en sinspirant
  de la méthode Tabou

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Merci de votre attention ?