Formes quadratiques et quadriques

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Formes quadratiques et quadriques

• Motivation
• déterminer lallure (ou le signe) de ces
  fonctions.
• Utilité - géométrie (reconnaître des surfaces)
• - minimisation de fonctions de plusieurs
  variables

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• Forme quadratique
• expression polynomiale homogène de degré 2
• Xt A X avec A At
• Quadrique de R3
• S Xt A X bt X c 0
• X ? R3, A At ? R3?3

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Changement de variables

• q(X) Xt A X X P Z (P régulière)
• ? q(Z) Zt Pt A P Z
• ?? P t.q. Pt A P D (matrice diag.)
• S Xt A X bt X c 0 X P Y u
• ? S Yt Pt A P Y (2 A u b)t P Y
• (ut A u bt u c) 0
• ? P t.q. Pt A P D et u t.q. 2 A u b 0

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Diagonalisation des formes quadratiques

• Cest toujours possible car A est symétrique
• ( ? base orthonormée de vecteurs propres)
• Il existe dautres méthodes plus économiques
• - Opérations symétriques sur les lignes et les
  colonnes
• - Complétion des carrés
• Quest-ce qui est conservé ?

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Invariants (par congruence)

• A At ? B Pt A P ( Bt)
• La symétrie est conservée
• Le rang est conservé
• Si D1 P1t A P1 et D2 P2t A P2
• sont deux matrices diagonales, elles ont le même
  nombre déléments positifs, négatifs et nuls (loi
  dinertie de Sylvester)

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Invariants (suite)

• Indice de positivité nombre de coefficients
  positifs dune diagonalisation de q(X)
• Indice de négativité nombre de coefficients
  négatifs dune diagonalisation de q(X)
• Rang nombre de coefficients non nuls dune
  diagonalisation de q(X)

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Signe des formes quadratiques

• Définition
• q(X) est définie positive si q(X) gt 0
• ? X ? (0,0,,0)
• q(X) est semi définie positive si q(X) ? 0
• q(X) est définie négative si q(X) lt 0
• ? X ? (0,0,,0)
• q(X) est semi définie négative si q(X) ? 0
• dans les autres cas, q(X) est indéfinie

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Signe des formes quadratiques (suite)

• Propriété
• q(X) est définie positive si son indice de
  positivité est égal à n
• q(X) est semi définie positive si son indice de
  négativité est nul
• q(X) est définie négative si son indice de
  négativité est égal à n
• q(X) est semi définie négative si son indice de
  positivité est nul

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Petit truc utile...

• A At Rn?n q(X) Xt A X
• Si ?k? 0 , k 1,2,,n, alors lindice de
  positivité (resp. négativité) de q est le nombre
  de réels strictement positifs (resp. strict.
  négatifs) parmi les quotients ?k / ?k-1
• q est définie positive ssi ?k gt 0 ? k 1,,n

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Réduction des quadriques

• S Xt A X bt X c 0 X P Y u
• ? S Yt Pt A P Y (2 A u b)t P Y
• ut A u bt u c 0
• ? P t.q. Pt A P D et u t.q. 2 A u b 0

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Elimination des termes linéaires

• ? la quadrique est centrée (si Y ? S, -Y ? S )
• A u -b/2 ? P t.q. Pt A P D
• ? S d1y12 d2y22 d3y32 ? 0
• Si ? ? 0 (0 ? S )
• S (-d1/ ? )y12 (-d2/ ? ) y22 (-d3/ ? ) y32
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• Si ? 0 (0 ? S ) ? cône

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Deux quadriques centrées
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Un cône
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Les termes linéaires ne séliminent pas !

• La quadrique nest pas centrée !
• A possède au moins une valeur propre nulle
• ? un changement de variables qui donne
• S d1y12 d2y22 d y3 0 d ? 0

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Deux quadriques non centrées
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Quadriques doublement réglées

• Par tout point de ces quadriques, on peut faire
  passer deux droites entièrement contenues dans la
  quadrique

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Ça sutilise en architecture
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(No Transcript)