RECONNAISSANCE DE FORMES

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RECONNAISSANCE DE FORMES

• IAR-6002

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Extraction des caractéristiques

• Introduction
• Extraction des caractéristiques

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Introduction

• Lextraction consiste à trouver un espace des
  caractéristiques de dimension d à partir dun
  espace original de D caractéristiques
• La compression de linformation est accomplie par
  la projection des caractéristiques originales
  dans un espace de dimension inférieure et ce en
  éliminant la redondance de linformation
• Cette projection prend la forme
• x A(y)

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Introduction

• Processus de projection de lensemble des
  caractéristiques originales dans un autre espace
  de caractéristiques de dimension inférieure

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Introduction

• Si la fonction de projection A est linéaire, nous
  cherchons alors un extracteur de caractéristiques
  où A est une matrice D X d, permettant la
  projec-tion dun vecteur y (dimension D) sur un
  vecteur x (dimension d) et dont la forme est

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Extraction des caractéristiques

• Analyse en composante principale
• Ce type de méthode est aussi appelée
• Transformée discrète de Karhunen-Loève
• Transformée de Hotelling
• Transformée en vecteurs propres
• Cette méthode permet de déduire une
  transforma-tion linéaire permettant déliminer la
  corrélation entre les composantes dun vecteur de
  variables aléatoires

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Extraction des caractéristiques

• Analyse en composante principale
• Si nous avons une population (n observations) de
  vecteurs aléatoires (D dimensions) de la forme

• Avec comme vecteur moyenne

• Avec une matrice de covariance

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Extraction des caractéristiques

• Analyse en composante principale
• Si nous avons une matrice A définissant une
  trans-formation linéaire pouvant générer un
  nouveau vecteur x à partir dun vecteur y par

• A est construite de telle façon que ses rangées
• sont les vecteurs propres de Cy

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Extraction des caractéristiques

• Analyse en composante principale
• Le vecteur x est aléatoire de moyenne 0 (mx 0)
• La matrice de covariance de x découle de

• Le vecteur x est donc
• composé de variables
• aléatoires non corrélées

• ?k est la variance de xk

• La transformation A élimine donc la corrélation
  entre
• les composantes du vecteur y

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Extraction des caractéristiques

• Analyse en composante principale
• Cette transformation est aussi réversible

• A est symétrique

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Extraction des caractéristiques

• Diminution de la dimension du vecteur y
• Nous pouvons réduire la dimension du vecteur y de
  D-M (nombre de caractéristiques) en ignorant les
  vecteurs propres correspondant aux D-M plus
  faibles valeurs propres
• Si nous avons la matrice B de M X D (M lt D)
  découlant de lélimination des D-M rangées
  inféri-eures (classée en ordre croissant
  dimportance) de A

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Extraction des caractéristiques

• Réduction de la dimension du vecteur y
• En guise de simplification nous supposons que m
  0
• Le vecteur x transformé est alors donné par

• Le vecteur y est reconstitué approximativement
  par

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Extraction des caractéristiques

• Réduction de la dimension du vecteur y
• Lerreur quadratique moyenne de lapproximation
  est

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Extraction des caractéristiques

• Recherche des valeurs et vecteurs propres
• Cherchons les valeurs et les vecteurs propres
  associés à une matrice Cy (matrice
  variance-covariance)
• Si nous avons une matrice Cy de D x D nous
  pouvons écrire

• Où v est un vecteur propre de Cy et ? une
  valeur propre
• de Cy

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Extraction des caractéristiques

• Recherche des valeurs et vecteurs propres
• Si nous avons une matrice Cy de D x D nous
  pouvons écrire

• Par définition, pour que ? soit une valeur
  propre il faut
• que la solution v de la dernière équation soit
  non nulle.
• Pour que v soit non nulle il faut que

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Extraction des caractéristiques

• Recherche des valeurs et vecteurs propres
• Si nous considérons un cas dordre 3, nous
  obtenons

• Le déterminant donne

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Extraction des caractéristiques

• Recherche des valeurs et vecteurs propres
• Lorsque nous avons les valeurs propres, nous les
  substituons une à une dans
• (Cy-?I) v 0
• pour trouver les vecteurs propres v

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Extraction des caractéristiques

• Recherche des valeurs et vecteurs propres
• Exemple

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Extraction des caractéristiques (principes)
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Extraction des caractéristiques (exemple en
télédétection)
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Extraction des caractéristiques (exemple en
télédétection)
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Extraction des caractéristiques (exemple en
télédétection)

• Les 2 premières composan-
• tes contribuent pour 94
• de la variance totale