Optimisation dans les rseaux

1
Optimisation dans les réseaux

• Optimisation B
• Génie Mécanique

2
Le problème de transbordement

3
Énoncé

• sous contraintes

4
Dualité

• Lagrangien

• Fonction duale

5
Dualité

• Comme L(x,p) est séparable en x,

avec
6
Dualité
(aij-a)xij
aij-a³0
aij-alt0
xij
cij
bij
7
Dualité

• Condition des écarts complémentaires (CEC)
• La paire (x,p) vérifie la condition des écarts
  complémentaires si x vérifie les contraintes de
  capacité et
• pi-pj aij ?(i,j)?A tel que xij lt cij
• pi-pj ³ aij ?(i,j)?A tel que bij lt xij
• Note
• pi-pj aij ?(i,j)?A tel que bij lt xij lt cij

8
Dualité

• Théorème
• Un vecteur de flot admissible x et un vecteur p
  satisfont la CEC ssi x et p sont solutions
  primales et duales (resp.) et les coûts optimaux
  sont égaux.

9
Dualité

• Note
• Si bij 0 et cij ?
• La CEC
• pi-pj aij ?(i,j)?A tel que xij lt cij
• pi-pj ³ aij ?(i,j)?A tel que bij lt xij
• sécrit
• pi-pj aij ?(i,j)?A
• pi-pj aij ?(i,j)?A tel que xij gt 0

10
Transformations

• Mettre les capacités inférieures à 0
• bij xij cij
• Posons zij xij bij ou xij zij bij
• Fonction objectif

11
Transformations

• Contraintes doffre-demande

12
Transformations

• Contraintes de capacité
• bij xij cij
• bij zijbij cij
• 0 zij cij-bij
• On peut donc supposer bij 0 ?(i,j)?A sans perte
  de généralité.

13
Transformations

• Supprimer les contraintes supérieures de capacité
• Idée ajouter des variables décart
• xij zij cij avec zij ³ 0
• Fonction objectif inchangée
• Contraintes de capacité
• 0 xij cij
• xij cij ? zij ³ 0
• xij ³ 0 et zij ³ 0

14
Transformations

• Contraintes doffre-demande

15
Transformations

• Interprétation

si
sj
cij
sj-?kcjk
si-?kcik
Flot xij
Flot xij
Flot zij
j
i
j
i
Coût aij
Coût aij
Coût 0
Capacité 0,cij
Capacité 0,?
16
Transformations

• Interprétation

50
-50
1000
-50
-950
Flot 50
Flot 50
Flot 950
j
i
j
i
Coût aij
Coût aij
Coût 0
Capacité 0,1000
Capacité 0,?
17
Transformations

• Interprétation

50
-50
50
-50
0
Flot 50
Flot 50
Flot 0
j
i
j
i
Coût aij
Coût aij
Coût 0
Capacité 0,50
Capacité 0,?
18
Problème transformé

• sous contraintes

19
Problème transformé

• Attention
• En labsence de capacités supérieures, le
  problème peut être non borné.
• Cela narrive cependant pas sil sagit dun
  problème transformé.
• Le problème est non borné ssi il possède au moins
  un solution admissible, et sil existe un cycle
  avançant de coût négatif.

20
Méthode du simplexe

• Idée exploiter explicitement la structure de
  réseau.
• Élément principal arbre maximal
• Définitions
• Un arbre est un graphe connexe sans cycle
• Un arbre maximal dun graphe G est un sous-graphe
  qui soit un arbre et qui inclue tous les nuds du
  graphe
• Une feuille est un nud de degré 1 dans un arbre.

21
Méthode du simplexe

• Graphe

2
1
4
5
3
22
Méthode du simplexe

• Arbre maximal

2
1
4
5
3
feuilles
i
23
Méthode du simplexe

• Arbre maximal

2
1
4
5
3
feuilles
i
24
Méthode du simplexe

• Propriétés
• Soit T le sous-graphe dun graphe à N nuds.
• Si T est sans cycle et possède au moins un arc,
  alors il a au moins une feuille.
• T est un arbre maximal ssi T est connexe et
  contient N nuds et N-1 arcs.
• Si T est un arbre, il y a un chemin unique
  reliant deux nuds i et j de cet arbre.
• Soit e ? T un arc dont les extrémités sont dans
  T. Le graphe T?e contient un cycle simple
  unique, dont e est un arc avançant.
• Si T est un arbre contenant (i,j), et si (i,j)
  est supprimé, les arcs restant forment deux
  arbres disjoints, lun contenant i lautre j.

25
Méthode du simplexe

• La base en programmation linéaire  générale 
  peut être représentée ici grâce aux arbres
  maximaux.
• Pour chaque arbre maximal T, il existe un vecteur
  de flots unique x tel que
• x vérifie les contraintes de conservation des
  flots
• xi 0 si i ?T

26
Méthode du simplexe

• Procédure
• Soit RT, x0, wisi ?i.
• Pas 1
• choisir une feuille i de R.
• si (i,j) est lunique arc incident à i
• xijwi et wjwjwi
• si (j,i) est lunique arc incident à i
• xij-wi et wjwjwi
• Pas 2 supprimer i et son arc incident de R. Si
  R na plus que 1 nud, STOP. Sinon retour au pas
  1.

27
Méthode du simplexe

• Problème

2
2
2
1
5
-2
3
6
1
4
5
3
0
2
2
-1
0
3
-2

• Sur chaque arc coût
• Sur chaque nud offre

28
Méthode du simplexe

• Problème

2 (2)
2
1 (1)
1
4
5
-1 (-1)
0 (0)
3
-2 (-2)

• Sur chaque arc -
• Sur chaque nud offre (wi)

29
Méthode du simplexe

• Problème

2 (3)
2
1 (1)
1
1
4
5
-1 (-1)
0 (0)
3
-2 (-2)

• Sur chaque arc flot
• Sur chaque nud offre (wi)

30
Méthode du simplexe

• Problème

2 (1)
2
1 (1)
1
2
1
4
5
-1 (-1)
0 (0)
3
-2 (-2)

• Sur chaque arc flot
• Sur chaque nud offre (wi)

31
Méthode du simplexe

• Problème

2 (1)
2
1 (1)
1
0
2
1
4
5
-1 (-1)
0 (0)
3
-2 (-2)

• Sur chaque arc flot
• Sur chaque nud offre (wi)

32
Méthode du simplexe

• Problème

2 (1)
2
1
1 (1)
1
0
2
1
4
5
-1 (0)
0 (0)
3
-2 (-2)

• Sur chaque arc flot
• Sur chaque nud offre (wi)

33
Méthode du simplexe

• Problème

2 (2)
2
1 (1)
1
4
5
-1 (-1)
0 (0)
3
-2 (-2)

• Sur chaque arc flot
• Sur chaque nud offre (wi)

34
Méthode du simplexe

• Problème

2 (2)
2
1 (1)
1
4
5
1
-1 (-1)
0 (0)
3
-2 (-1)

• Sur chaque arc flot
• Sur chaque nud offre (wi)

35
Méthode du simplexe

• Problème

2 (2)
2
1 (1)
1
4
5
-2
1
-1 (-1)
0 (0)
3
-2 (1)

• Sur chaque arc flot
• Sur chaque nud offre (wi)

36
Méthode du simplexe

• Problème

2 (2)
2
1 (1)
1
4
5
-2
-1
1
-1 (-1)
0 (-1)
3
-2 (1)

• Sur chaque arc flot
• Sur chaque nud offre (wi)

37
Méthode du simplexe

• Problème

2 (2)
2
1 (1)
1
4
5
-2
-1
1
-1
-1 (-1)
0 (-1)
3
-2 (0)

• Sur chaque arc flot
• Sur chaque nud offre (wi)

38
Méthode du simplexe

• Ce vecteur de flots est appelé une solution de
  base
• Si, de plus, le vecteur de flots vérifie les
  contraintes de capacité xij ³ 0, il est appelé
  une solution de base admissible.
• Un arbre maximal sera dit admissible si le
  vecteur de flots correspondant est une solution
  de base admissible.

39
Méthode du simplexe

• Aperçu de la méthode
• Soit un arbre maximal admissible initial.
• Chaque itération (pivotage) génère un autre arbre
  admissible dont le coût nest pas plus élevé que
  le précédent.
• Chaque itération est composée de trois opérations
  principales
• Ajout dun arc à larbre afin de former un cycle
  à coût négatif
• Envoyer le plus de flot possible le long de ce
  cycle, sans violer les contraintes
• Supprimer un arc du cycle pour obtenir à nouveau
  un arbre.

40
Méthode du simplexe

• Arbre maximal initial

2 (1)
2
2 (1)
1
5 (1)
-2
3 (0)
6 (2)
1
4
5
3
0
2
2
0
-1
3
-2

• Sur chaque arc coût (flot)
• Sur chaque nud offre

41
Méthode du simplexe

• Formation dun cycle. Coût -9

2 (1)
2
2 (1)
1
5 (1)
-2
3(0)
6 (2)
1
4
5
3
0
2
2
0
-1
3
-2

• Sur chaque arc coût (flot)
• Sur chaque nud offre

42
Méthode du simplexe

• Envoi dune unité de flot

2 (1)
2
2 (1)
1
5 (0)
-2
3 (0)
6 (1)
1
4
5
3
0
2(1)
2
0
-1
3
-2

• Sur chaque arc coût (flot)
• Sur chaque nud offre

43
Méthode du simplexe

• Suppression dun arc du cycle

2 (1)
2
2 (1)
1
5
-2
3 (0)
6 (1)
1
4
5
3
0
2(1)
2
0
-1
3
-2

• Sur chaque arc coût (flot)
• Sur chaque nud offre

44
Méthode du simplexe

• Questions
• Comment choisir larc entrant ?
• Comment choisir larc sortant ?
• Comment gérer les cas de dégénérescence ?

45
Choix de larc entrant

• Idée utiliser la condition des écarts
  complémentaires
• pi-pj aij ?(i,j)?A
• pi-pj aij ?(i,j)?A tel que xij gt 0
• Nous allons affecter des prix pi aux nuds tels
  que
• pi-pj aij ?(i,j)?T

46
Choix de larc entrant

• Procédure récursive
• Soit un nud r arbitraire (racine).
• pr est initialisé à une valeur quelconque.
• pi ?, i?r
• CalculeVoisins(r)

47
Choix de larc entrant

• CalculVoisins(i)
• Pour tout j adjacent à i t.q. pj ?
• Si (i,j) ? T, alors pj pi-aij
• Si (j,i) ? T, alors pj piaij
• CalculVoisins(j)

48
Choix de larc entrant

• Arbre maximal

2
2
2 (1)
1
5 (1)
-2
3 (0)
6 (2)
1
4
5
3
0
2
2
0
-1
3
-2

• Sur chaque arc coût (flot)
• Sur chaque nud offre pi

49
Choix de larc entrant

• Calcul des prix

2
2 (1)
1
5 (1)
-2
3 (0)
6 (2)
0
3
0
2
2
0
-1
racine
-2

• Sur chaque arc coût (flot)
• Sur chaque nud prix

50
Choix de larc entrant

• Arbre maximal

2
-5
2 (1)
1
5 (1)
-2
3 (0)
6 (2)
0
3
0
2
2
0
-1
racine
-2

• Sur chaque arc coût (flot)
• Sur chaque nud prix

51
Choix de larc entrant

• Arbre maximal

2
-5
2 (1)
1
5 (1)
-2
3 (0)
6 (2)
0
3
0
2
2
0
-1
-11
racine
-2

• Sur chaque arc coût (flot)
• Sur chaque nud prix

52
Choix de larc entrant

• Arbre maximal

2
-5
2 (1)
1
5 (1)
-2
3 (0)
6 (2)
0
-7
3
0
2
2
0
-1
-11
racine
-2

• Sur chaque arc coût (flot)
• Sur chaque nud prix

53
Choix de larc entrant

• Arbre maximal

2
-5
2 (1)
1
5 (1)
-2
3 (0)
6 (2)
0
-4
-7
3
0
2
2
0
-1
-11
racine
-2

• Sur chaque arc coût (flot)
• Sur chaque nud prix

54
Choix de larc entrant

• Calcul des prix (autre racine)

2
2 (1)
1
5 (1)
-2
3 (0)
6 (2)
23
3
0
2
2
0
-1
-2
racine

• Sur chaque arc coût (flot)
• Sur chaque nud prix

55
Choix de larc entrant

• Calcul des prix (autre racine)

2
2 (1)
1
5 (1)
-2
3 (0)
6 (2)
26
23
3
0
2
2
0
-1
-2
racine

• Sur chaque arc coût (flot)
• Sur chaque nud prix

56
Choix de larc entrant

• Calcul des prix (autre racine)

2
25
2 (1)
1
5 (1)
-2
3 (0)
6 (2)
26
23
3
0
2
2
0
-1
-2
racine

• Sur chaque arc coût (flot)
• Sur chaque nud prix

57
Choix de larc entrant

• Calcul des prix (autre racine)

2
25
2 (1)
1
5 (1)
-2
3 (0)
6 (2)
30
26
23
3
0
2
2
0
-1
-2
racine

• Sur chaque arc coût (flot)
• Sur chaque nud prix

58
Choix de larc entrant

• Calcul des prix (autre racine)

2
25
2 (1)
1
5 (1)
-2
3 (0)
6 (2)
30
26
23
3
0
2
2
0
-1
19
-2
racine

• Sur chaque arc coût (flot)
• Sur chaque nud prix

59
Choix de larc entrant

• Notes
• Les prix dépendent
• du choix de la racine
• du prix de la racine
• La différence de prix entre deux nuds
  quelconques est indépendantes des décisions liées
  à la racine.
• Notamment, la quantité
• rij aij pj pi
• dépend uniquement de larbre maximal T

60
Choix de larc entrant

• Par définition des prix,
• rij aij pj pi 0 si (i,j) ? T
• Si, de plus, rij ³ 0 ?(i,j) ?A, la CEC est
  vérifiée
• pi-pj aij ?(i,j)?A
• pi-pj aij ?(i,j)?A tel que xij gt 0
• Dans ce cas, x est une solution optimale du
  primal, et p du dual.
• rij est appelé le coût réduit de (i,j)

61
Choix de larc entrant

• Dans le cas contraire, il existe (k,l) tel que
• (k,l) ?A,
• (k,l) ?T
• rkl akl pl - pk lt 0
• Si lon rajoute (k,l) à larbre, on crée un
  cycle. Par convention, (k,l) doit être avançant
  dans le cycle.

62
Choix de larc entrant

• Coût du cycle formé

Cycle à coût négatif
63
Choix de larc entrant

• Solution de base admissible

2
-5
2 (1)
1
5 (1)
-2 -1
3(0)
6 (2)
0
-4
-7
3 9
0 3
2 -9
2 -5
0
-1
-11
racine
-2

• Sur chaque arc coût (flot) rij
• Sur chaque nud prix

64
Cycle

• Soit C le cycle formé par T et (k,l)
• Si C- est vide, tous les arcs sont orientés comme
  (k,l)
• C est donc un cycle à coût négatif, le long
  duquel le flot peut être augmenté arbitrairement.
• Le problème est donc non-borné.

65
Cycle

• Si C- nest pas vide, notons
• d min(i,j)? C- xij
• le plus petit flot sur les arcs reculant.
• Il nest pas possible denvoyer plus que d unités
  de flots sans violer les contraintes de non
  négativité.

66
Cycle

• Flot maximum le long du cycle

2
d1
-5
2 (1)
1
5 (1)
-2 -1
3(0)
6 (2)
0
-4
-7
3 9
0 3
2 -9
2 -5
0
-1
-11
racine
-2

• Sur chaque arc coût (flot) rij
• Sur chaque nud prix

67
Cycle

• Flot maximum le long du cycle

2
-5
d0
2 (1)
1
5 (1)
-2 -1
3(0)
6 (2)
0
-4
-7
3 9
0 3
2 -9
2 -5
0
-1
-11
racine
-2

• Sur chaque arc coût (flot) rij
• Sur chaque nud prix

68
Choix de larc sortant

• Le nouveau vecteur de flot sera

• Tout arc (i,j) du cycle tel que xij 0 est
  candidat pour sortir.

69
Choix de larc sortant

• Avant denvoyer le flot

2
d1
-5
2 (1)
1
5 (1)
-2 -1
3(0)
6 (2)
0
-4
-7
3 9
0 3
2 -9
2 -5
0
-1
-11
racine
-2

• Sur chaque arc coût (flot) rij
• Sur chaque nud prix

70
Choix de larc sortant

• Après avoir envoyé le flot

2
d1
-5
2 (1)
1
5 (0)
-2 -1
3(0)
6 (1)
0
-4
-7
3 9
0 3
2 -5
0
-1
2 (1) -9
-11
racine
-2

• Sur chaque arc coût (flot) rij
• Sur chaque nud prix

71
Choix de larc sortant

• Nouvelle solution de base admissible

2
d1
-5
2 (1)
1
5
-2
3(0)
6 (1)
0
-4
-7
3
0
2
2 (1)
0
-1
-11
racine
-2

• Sur chaque arc coût (flot)

72
Mise à jour des prix

• Soit (k,l) larc entrant
• Soit e larc sortant
• Soit
• TT(k,l)-e
• larbre correspondant à la nouvelle base.
• Considérons le sous-graphe T-e.
• Il est composé de deux arbres
• Tk contient le nud k
• Tl contient le nud l

73
Mise à jour des prix
2
arc sortant
Tl
-5
2 (1)
1
5
-2
3(0)
6 (1)
0
-4
-7
3
0
2
Tk
2 (1)
0
-1
-11
arc entrant (k,l)
-2

• Sur chaque arc coût (flot)

74
Mise à jour des prix

• Méthode 1
• pi pi si i ?Tk
• pi pi-rkl si i ?Tl
• Méthode K
• pi pi K si i ?Tk
• pi pi-rkl K si i ?Tl
• Méthode 2 Krkl
• pi pirkl si i ?Tk
• pi pi si i ?Tl

75
Dégénérescence

• Impossible denvoyer du flot

2
-5
d0
2 (1)
1
5 (1)
-2 -1
3(0)
6 (2)
0
-4
-7
3 9
0 3
2 -9
2 -5
0
-1
-11
racine
-2

• Sur chaque arc coût (flot) rij
• Sur chaque nud prix

76
Dégénérescence

• On change de base mais la fonction objectif ne
  change pas.
• Risque que lalgorithme cycle.
• Pour garantir labsence de cyclage, on introduit
  la notion de base fortement admissible.

77
Dégénérescence

• Définition
• Soit T un arbre admissible.
• Soit r la racine de larbre.
• On dit que (i,j) ? T sécarte de la racine si le
  seul chemin entre r et j passe par i.
• Un arbre admissible T est fortement admissible si
  tous les arcs (i,j) tels que xij 0 sécartent
  de la racine.

78
Dégénérescence

• Arbre admissible, mais pas fortement

2
-5
2 (1)
1
5 (1)
-2 -1
3(0)
6 (2)
0
-4
-7
3 9
0 3
2 -9
2 -5
0
-1
-11
racine
-2

• Sur chaque arc coût (flot) rij
• Sur chaque nud prix

79
Dégénérescence

• Arbre fortement admissible

2
-5
2 (1)
1
5 (1)
-2 -1
3(0)
6 (2)
0
-4
-7
3 9
0 3
2 -9
2 -5
0
-1
-11
racine
-2

• Sur chaque arc coût (flot) rij
• Sur chaque nud prix

80
Dégénérescence

• Théorème
• Si les arbres admissibles générés par la méthode
  du simplexe sont tous fortement admissibles,
  alors tous ces arbres sont distincts.
• Dans ce cas, lalgorithme effectuera un nombre
  fini ditérations.

81
Dégénérescence

• Supposons que lon dispose au début dun arbre
  fortement admissible.
• Il faut sarranger pour que le nouvel arbre
  produit soit aussi fortement admissible.
• Il faut choisir larc sortant de manière
  appropriée.

82
Dégénérescence

• Procédure de choix de larc sortant
• Soit T un arbre fortement admissible
• Soit (k,l) larc entrant
• Soit C le cycle formé par T et (k,l)
• Supposons que C- est non vide.
• Soit d min(i,j)? C- xij
• Soit C(i,j)?C-xij d lensemble des
  candidats à sortir.

83
Dégénérescence

• Procédure de choix de larc sortant (suite)
• Le joint de C est le premier nud du cycle sur le
  chemin entre r et k.
• Choisir comme arc sortant le premier arc de C
  rencontré lorsque lon parcourt le cycle en
  partant du joint.
• Dans ce cas, le nouvel arbre sera également
  fortement admissible.

84
Dégénérescence
r
joint
Flot 1
Flot 0
Flot 3
Flot 2
Flot 0
Flot 1
k
l
arc sortant
85
Initialisation

• Comment trouver un premier arbre fortement
  admissible ?
• Idée
• ajouter un nud artificiel 0 avec s00
• ajouter un arc entre 0 et chaque nud i
• Arc (i,0) si si gt 0
• Arc (0,i) si si 0
• coût des arcs artificiels M gt 0, très grand

86
Initialisation
2
2
2
1
5
-2
3
6
1
4
5
3
0
2
2
-1
0
3
M
M
M
-2
M
M
0
87
Initialisation

• Arbre initial
• Uniquement les arcs artificiels.
• Racine nud 0
• Par construction, les arcs transportant un flot
  nul séloignent de la racine
• Il sagit donc bien dun arbre fortement
  admissible

88
Initialisation
2
2
2
1
5
-2
3
6
1
4
5
3
0
2
2
-1
0
3
M(0)
M(1)
M(2)
M(2)
-2
M (1)
Coûts (Flots)
0
89
Calcul des prix
M
2
5
-2
3
6
M
-M
-M
3
0
2
2
-M
M(0)
M(1)
M(2)
M(2)
M (1)
Coûts (Flots)
0
90
Coûts réduits
M
2
5
-2
3
6
M
-M
-M
3
2-2M2
0
2
-M
M(0)
M(1)
M(2)
M(2)
M (1)
Coûts (Flots) coûts réduits
d1
0
91
Mise à jour des flots
M
2
5
-2
3
6
M
-M
-M
3
2(1)
0
2
-M
M(0)
M(0)
M(1)
M(2)
M (1)
Coûts (Flots) coûts réduits
d1
0
92
Mise à jour des prix
rkl - 2M2
Tl
M
2
Tk
5
-2
3
6
M
-M
-M
3
2(1)
0
2
-M
M(0)
M(0)
M(1)
M(2)
M (1)
Coûts (Flots) coûts réduits
0
93
Nouvel arbre
M
2
5
-2
3
6
-M2
-M
-M
3
2(1)
0
2
-M
M(0)
M
M(1)
M(2)
M (1)
Coûts (Flots) coûts réduits
0
94
Coûts réduits
M
2 -2M2
5
-2
3
6
-M2
-M
-M
3
2(1)
0
2
-M
M(0)
M
M(1)
M(2)
M (1)
Coûts (Flots) coûts réduits
d1
0
95
Mise à jour des flots
M
2 (1)
5
-2
3
6
-M2
-M
-M
3
2(1)
0
2
-M
M(0)
M
M(1)
M(1)
M (0)
Coûts (Flots) coûts réduits
d1
0
96
Mise à jour des prix
rkl - 2M2
M
Tl
2 (1)
Tk
5
-2
3
6
-M2
-M
-M
3
2(1)
0
2
-M
M(0)
M
M(1)
M(1)
M (0)
Coûts (Flots) coûts réduits
0
97
Nouvel arbre
-M2
2 (1)
5
-2
3
6
-3M4
-3M2
-M
3
2(1)
0
2
-3M2
M(0)
M
M(1)
M(1)
M
Coûts (Flots) coûts réduits
d1
-2M2
98
Coûts réduits
-M2
2 (1)
5
-2
3
6
-3M4
-3M2
-M
3
2(1)
0-2M2
2
-3M2
M(0)
M
M(1)
M(1)
M
Coûts (Flots) coûts réduits
d0
-2M2
99
Mise à jour des prix
rkl - 2M2
-3M4
Tk
2 (1)
5
-2
3
6
-5M6
-3M2
-3M2
3
2(1)
0(0)
2
Tl
-5M4
M(0)
M
M(1)
M(1)
M
Coûts (Flots) coûts réduits
-4M4
100
Nouvel arbre
-3M4
2 (1)
5
-2
3
6
-5M6
-3M2
-3M2
3
2(1)
0(0)
2
-5M4
M
M
M(1)
M(1)
M
Coûts (Flots) coûts réduits
-4M4
101
Coûts réduits
-3M4
2 (1)
5
-2
6-2M6
3
-5M6
-3M2
-3M2
3
2(1)
0(0)
2
-5M4
M
M
M(1)
M(1)
M
Coûts (Flots) coûts réduits
d1
-4M4
102
Mise à jour des flots
-3M4
2 (1)
5
-2
6(1)
3
-5M6
-3M2
-3M2
3
2(1)
0(0)
2
-5M4
M
M
M(0)
M(0)
M
Coûts (Flots) coûts réduits
d1
-4M4
103
Choix de larc sortant
-3M4
2 (1)
5
-2
6(1)
3
-5M6
-3M2
-3M2
3
2(1)
0(0)
2
-5M4
M
M
M(0)
M(0)
M
Coûts (Flots) coûts réduits
arc sortant
-4M4
racinejoint
104
Mise à jour des prix
rkl - 2M6
Tk
-5M10
2 (1)
5
-2
6(1)
3
-5M6
-5M8
-5M8
3
2(1)
0(0)
2
Tl
-5M4
M
M
M(0)
M(0)
M
Coûts (Flots) coûts réduits
arc sortant
-4M4
racinejoint
105
Nouvel arbre
-5M10
2 (1)
5
-2
6(1)
3
-5M6
-5M8
-5M8
3
2(1)
0(0)
2
-5M4
M
M
M
M(0)
M
Coûts (Flots) coûts réduits
-4M4
106
Coûts réduits
-5M10
2 (1)
5
-2-4
6(1)
3
-5M6
-5M8
-5M8
3
2(1)
0(0)
2
-5M4
M
M
M
M(0)
M
Coûts (Flots) coûts réduits
d0
-4M4
107
Mise à jour des prix
rkl - 4
Tk
-5M10
2 (1)
5
-2(0)
6(1)
3
-5M6
-5M8
-5M8
3
2(1)
0(0)
Tl
2
-5M4
M
M
M(0)
M
M
Coûts (Flots) coûts réduits
-4M4
108
Nouvel arbre
-5M6
2 (1)
5
-2(0)
6(1)
3
-5M2
-5M8
-5M4
3
2(1)
0
2
-5M
M
M
M(0)
M
M
Coûts (Flots) coûts réduits
-4M
109
Coûts réduits
-5M6
2 (1)
5
-2(0)
6(1)
3
-5M2
-5M8
-5M4
3
2(1)
0
2-6
-5M
M
M
M
M(0)
M
Coûts (Flots) coûts réduits
d1
-4M
110
Mise à jour des flots
-5M6
2 (1)
5
-2(1)
6(0)
3
-5M2
-5M8
-5M4
3
2(1)
0
2(1)
-5M
M
M
M(0)
M
M
Coûts (Flots) coûts réduits
d1
-4M
111
Mise à jour des prix
rkl - 6
Tk
-5M6
2 (1)
5
-2(1)
6(0)
3
-5M2
-5M8
-5M4
3
2(1)
0
2(1)
Tl
-5M
M
M
M(0)
M
M
Coûts (Flots) coûts réduits
-4M
112
Nouvel arbre
-5M
2 (1)
5
-2(1)
6
3
-5M2
-5M2
-5M-2
3
2(1)
0
2(1)
-5M
M
M
M(0)
M
M
Coûts (Flots) coûts réduits
-4M
113
Coûts réduits
-5M
2 (1)
5
-2(1)
6
3-1
-5M2
-5M2
-5M-2
3
2(1)
0
2(1)
-5M
M
M
M(0)
M
M
Coûts (Flots) coûts réduits
d1
-4M
114
Mise à jour des flots
-5M
2 (0)
5
-2(2)
6
3(1)
-5M2
-5M2
-5M-2
3
2(1)
0
2(1)
-5M
M
M
M(0)
M
M
Coûts (Flots) coûts réduits
d1
-4M
115
Mise à jour des prix
rkl - 1
Tk
-5M
2 (0)
5
-2(2)
6
3(1)
-5M2
-5M2
-5M-2
3
2(1)
0
2(1)
Tl
-5M
M
M
M
M(0)
M
Coûts (Flots) coûts réduits
-4M
116
Nouvel arbre
-5M-1
2
5
-2(2)
6
3(1)
-5M1
-5M1
-5M-2
3
2(1)
0
2(1)
-5M-1
M
M
M(0)
M
M
Coûts (Flots) coûts réduits
-4M-1
117
Coûts réduits
-5M-1
2
5
-2(2)
3(1)
6
-5M1
-5M1
-5M-2
2(1)
0
3
2(1)
-5M-1
M
M(0)
M
M
M-1
Coûts (Flots) coûts réduits
d0
-4M-1
118
Mise à jour des prix
rkl - 1
Tl
-5M-1
2
5
-2(2)
3(1)
6
-5M1
-5M1
-5M-2
2(1)
0
3
2(1)
-5M-1
M
M
M
M
M(0)
Coûts (Flots) coûts réduits
d0
-4M-1
Tk
119
Nouvel arbre
-5M-1
2
5
-2(2)
3(1)
6
-5M1
-5M1
-5M-2
2(1)
0
3
2(1)
-5M-1
M
M
M
M
M(0)
Coûts (Flots) coûts réduits
-4M-2
120
Coûts réduits optimum
-5M-1
21
53
-2(2)
3(1)
66
-5M1
-5M1
-5M-2
2(1)
03
36
2(1)
-5M-1
M2M-1
M3
M2M-3
M1
M(0)
Coûts (Flots) coûts réduits
-4M-2
121
Propriété dintégralité

• Si les si sont tous entiers, alors la solution
  optimale primale sera aussi entière.
• De plus, si le prix arbitraire initial de la
  racine est entier, et que tous les coefficients
  de coût sont entiers, alors la solution optimale
  duale sera aussi entière.