Chapitre 3 Optimisation non linaire avec contraintes - PowerPoint PPT Presentation

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Chapitre 3 Optimisation non linaire avec contraintes

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e0 lev signifie que le premier it r est proche du centre analytique. ... vise se rapprocher du centre analytique. dc ne d pend pas du vecteur ... – PowerPoint PPT presentation

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Title: Chapitre 3 Optimisation non linaire avec contraintes


1
Chapitre 3Optimisation non linéaireavec
contraintes
  • Optimisation I
  • Systèmes de Communication

2
Algorithmes des multiplicateurs méthodes de
points intérieurs
3
Introduction
  • Problème
  • min f(x)
  • s.c. x ? X
  • g(x) 0
  • fIRn?IR et gIRn ?IRr continues
  • X ensemble fermé
  • Intérieur des contraintes dinégalité
  • S x ? X t.q. g(x) lt 0

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Introduction
  • Hypothèses
  • S ? ?
  • ? x admissible, ? d gt 0
  • ? x ? S t.q. x-x lt d
  • On peut donc approcher arbitrairement près tout
    vecteur admissible par des vecteurs de S.
  • Cette hypothèse est vérifiée si g est linéaire.

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Fonction barrière
  • Idée
  • On ajoute une fonction de coût
  • B(x) SIR
  • telle que B(x) soit continue et

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Fonction barrière
  • Exemples
  • Fonction barrière logarithmique
  • Fonction barrière inverse

7
0 x 1 g1(x) -x g2(x) x-1 B1(x) - ln x -
ln (1-x)
8
0 x 1 g1(x) -x g2(x) x-1 B2(x) 1/x
1/(1-x)
9
Méthodes de barrière
  • Soit une suite (ek) telle que
  • 0 lt ek1 lt ek k0,1,
  • ek 0
  • Pour chaque k on définit
  • xk argminx?S (f(x)ekB(x))

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Méthodes de barrière
  • Notes
  • xk ? S est un point intérieur pour les
    contraintes dinégalité.
  • Si XIRn, chaque sous-problème est un problème
    sans contrainte.
  • Si X est convexe, on peut utiliser les méthodes
    de gradient projeté (e.g. la méthode de Newton
    contrainte).
  • ?x ?S, limk? ekB(x)0

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Méthodes de barrière
  • Exemple
  • min f(x) ½ (x12x22)
  • s.c. 2 x1
  • Solution optimale x(2,0)
  • xk argminx1 gt 2 ½ (x12x22) ekln(x1-2)
  • xk (1(1ek)½ , 0)

12
ek0.3
13
ek0.15
14
ek0.095
15
ek0.03
16
ek0.003
17
Méthodes de barrière
  • Propriété
  • Tout point limite dune suite (xk) générée par
    une méthode de barrière est un minimum global du
    problème original.

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Programmation linéaire
  • Problème
  • min cTx
  • s.c. Ax b, x ³ 0
  • c?IRn, b?IRm,A?IRmxn
  • rang(A) m
  • Hypothèse le problème possède une solution
    optimale.
  • X x t.q. Axb
  • S x t.q. Axb, x gt 0

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Programmation linéaire
  • Soit
  • Sous-problème
  • x(e) argminx?S Fe(x)

20
Programmation linéaire
  • Définition
  • Soit x?lime? x(e)
  • x? est le centre analytique de S.
  • Définition
  • La trajectoire de x(e) lorsque e varie entre ? et
    0 est appelé le chemin central.

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min x12x23x3 s.c. x1x2x31 x ³ 0
Centre analytique (1/3,1/3,1/3)
Chemin central
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Programmation linéaire
  • Problème
  • Pour chaque k, il faut résoudre un programme non
    linéaire.
  • Le calcul de x(ek) nécessite un nombre infini
    ditérations.
  • Idée
  • Calculer x(ek) approximativement.

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Programmation linéaire
  • Rappel
  • Méthode de Newton contrainte
  • Calcule x à partir de x.
  • x x a(y-x)
  • où y est solution de
  • minz ?Fe(x)T(z-x)½(z-x)T?2Fe(x)(z-x)
  • s.c. Azb

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Programmation linéaire
25
Programmation linéaire
  • Solution analytique du programme quadratique
  • y x X2(c-ex-1-ATl)/e
  • avec l(AX2AT)-1AX2(c-ex-1)
  • Note
  • X2x-1 Xe x
  • avec e (1 1 1)T

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Programmation linéaire
  • Posons
  • z c ATl
  • q(x,e) (Xz)/e e
  • On obtient
  • y x X q(x,e)
  • q(x,e) est une mesure de proximité entre x et
    x(e)
  • q(x,e) 0 ssi xx(e)

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Programmation linéaire
  • Pour que la méthode converge, il suffit darrêter
    loptimisation de Fe(x) lorsque q(x,e) lt 1
  • Théorème
  • Si x gt 0, Axb et q(x,e) lt 1
  • cTx - f cTx bTl
  • e(nq(x,e)?n)
  • e(n?n)
  • où f est la valeur optimale du problème
    original.

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Programmation linéaire
  • Algorithme de points intérieurs
  • Soient e0 ,egt0, 0lta,glt1 et x0 ? S
  • ek e0, xk x0 , k0
  • Tant que ek gt e
  • y0 xk, i0
  • Tant que q(yi,ek) gt g
  • yi1 yi X q(yi,ek)
  • i i1
  • xk1 yi
  • ek1 aek
  • kk1

Méthode de Newton contrainte
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Programmation linéaire
  • Théorème
  • Si xgt0, Axb et q(x,e)lt1
  • Alors le pas de Newton pur
  • x x X q(x,e)
  • est un point intérieur (i.e. x ? S)
  • De plus q(x,e) lt 1 et
  • q(x,e) q(x,e)2

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Programmation linéaire
  • Notes
  • Pour k gt 0, on ne fait quune seule itération de
    la méthode de Newton contrainte.
  • On a que q(xk1,ek) lt g
  • Si ek est choisi suffisamment proche de ek, on
    aura aussi q(xk1,ek1) lt g

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Programmation linéaire
  • Théorème
  • Si xk gt 0, Axkb
  • Sil existe dgt0, glt1 tels que
  • ek1 (1-dn-½)ek
  • q(xk,ek) g
  • Alors

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Programmation linéaire
  • Notes
  • Si
  • on obtient
  • q(xk1,ek1) g
  • Dans lalgorithme, il suffit donc de prendre
  • a 1-dn-½

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Programmation linéaire
  • Notes
  • On peut maintenir chaque itéré très proche du
    chemin central (gltlt1) en choisissant d très
    petit, c-à-d a proche de 1.
  • Il faudra donc beaucoup ditérations, car ek1
    sera proche de ek.
  • On gagne en itérations Newton, mais on perd en
    itérations majeures.

34
Programmation linéaire
  • Notes
  • Si on choisit
  • on nest plus assuré quune seule itération
    Newton sera suffisante.
  • Par contre, le nombre ditérations majeures sera
    réduit.
  • En pratique, ce type de stratégie est plus
    efficace.

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x0(0.2 0.5 0.3) e0 1 d 0.9 21 iter.
36
x0(0.2 0.5 0.3) e0 1 d 0.1 78 iter.
37
x0(0.2 0.5 0.3) e0 10 d 0.9 10 iter.
38
Programmation linéaire
  • Notes
  • e0 élevé signifie que le premier itéré est proche
    du centre analytique.
  • d proche de 0 signifie que chaque itéré doit être
    proche du chemin central.
  • Il est préférable de prendre e0 élevé et d proche
    de 1.

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Programmation linéaire
  • Interprétation
  • Point de Newton
  • y x X2(c-ex-1-ATl)/e
  • avec l(AX2AT)-1AX2(c-ex-1)
  • Posons
  • la (AX2AT)-1AX2c
  • lc (AX2AT)-1AX2x-1 (AX2AT)-1AXe
  • l la - elc

40
Programmation linéaire
  • Direction de Newton
  • dN y x - X2(c - ex-1 - AT(la elc))/e
  • Posons
  • da - X2 (c - ATla)
  • dc Xe X2ATlc
  • dNda/e dc

Méthode de Dunkin-Karmarkar
Composante de centrage
41
Programmation linéaire
  • dc est le pas de Newton pour la résolution du
    problème

dont la seule solution est le centre analytique
des contraintes.
42
Programmation linéaire
  • dNda/e dc
  • da vise à minimiser le coût
  • dc vise à se rapprocher du centre analytique
  • dc ne dépend pas du vecteur de coût c
  • Ni da ni dc ne dépendent de e
  • Le seul rôle de e est de pondérer da et dc.
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