Chapitre 1 Optimisation non linaire avec contraintes

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Chapitre 1Optimisation non linéaireavec
contraintes

• Optimisation B
• Génie Mécanique

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Méthodes de barrière ou de points intérieurs

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Introduction

• Problème
• min f(x)
• s.c. x ? X
• g(x) 0
• fIRn?IR et gIRn ?IRr continues
• X ensemble fermé
• Intérieur des contraintes dinégalité
• S x ? X t.q. g(x) lt 0

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Introduction

• Hypothèses
• S ? ?
• ? x admissible, ? d gt 0
• ? x ? S t.q. x-x lt d
• On peut donc approcher arbitrairement près tout
  vecteur admissible par des vecteurs de S.
• Cette hypothèse est vérifiée si g est linéaire.

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Fonction barrière

• Idée
• On ajoute une fonction de coût
• B(x) SIR
• telle que B(x) soit continue et

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Fonction barrière

• Exemples
• Fonction barrière logarithmique
• Fonction barrière inverse

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0 x 1 g1(x) -x g2(x) x-1 B1(x) - ln x -
ln (1-x)
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0 x 1 g1(x) -x g2(x) x-1 B2(x) 1/x
1/(x-1)
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Méthodes de barrière

• Soit une suite (ek) telle que
• 0 lt ek1 lt ek k0,1,
• ek 0
• Pour chaque k on définit
• xk argminx?S (f(x)ekB(x))

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Méthodes de barrière

• Notes
• xk ? S est un point intérieur pour les
  contraintes dinégalité.
• Si XIRn, chaque sous-problème est un problème
  sans contrainte.
• Si X est convexe, on peut utiliser les méthodes
  de gradient projeté (e.g. la méthode de Newton
  contrainte).
• ?x ?S, limk? ekB(x)0

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Méthodes de barrière

• Exemple
• min f(x) ½ (x12x22)
• s.c. 2 x1
• Solution optimale x(2,0)
• xk argminx1 gt 2 ½ (x12x22) ekln(x1-2)
• xk (1(1ek)½ , 0)

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ek0.3
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ek0.15
14
ek0.095
15
ek0.03
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ek0.003
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Méthodes de barrière

• Propriété
• Tout point limite dune suite (xk) générée par
  une méthode de barrière est un minimum global du
  problème original.

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Programmation linéaire

• Problème
• min cTx
• s.c. Ax b, x ³ 0
• c?IRn, b?IRm,A?IRmxn
• rang(A) m
• Hypothèse le problème possède une solution
  optimale.
• X x t.q. Axb
• S x t.q. Axb, x gt 0

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Programmation linéaire

• Soit

• Sous-problème
• x(e) argminx?S Fe(x)

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Programmation linéaire

• Définition
• Soit x?lime? x(e)
• x? est le centre analytique de S.

• Définition
• La trajectoire de x(e) lorsque e varie entre ? et
  0 est appelé le chemin central.

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min x12x23x3 s.c. x1x2x31 x ³ 0
Centre analytique (1/3,1/3,1/3)
Chemin central
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Programmation linéaire

• Problème
• Pour chaque k, il faut résoudre un programme non
  linéaire.
• Le calcul de x(ek) nécessite un nombre infini
  ditérations.
• Idée
• Calculer x(ek) approximativement.

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Programmation linéaire

• Rappel
• Méthode de Newton contrainte
• Calcule x à partir de x.
• x x a(y-x)
• où y est solution de
• minz ?Fe(x)T(z-x)½(z-x)T?2Fe(x)(z-x)
• s.c. Azb

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Programmation linéaire
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Programmation linéaire

• Solution analytique du programme quadratique
• y x X2(c-ex-1-ATl)/e
• avec l(AX2AT)-1AX2(c-ex-1)
• Note
• X2x-1 Xe x
• avec e (1 1 1)T

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Programmation linéaire

• Posons
• z c ATl
• q(x,e) (Xz)/e e
• On obtient
• y x X q(x,e)
• q(x,e) est une mesure de proximité entre x et
  x(e)
• q(x,e) 0 ssi xx(e)

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Programmation linéaire

• Pour que la méthode converge, il suffit darrêter
  loptimisation de Fe(x) lorsque q(x,e) lt 1
• Théorème
• Si x gt 0, Axb et q(x,e) lt 1
• cTx - f cTx bTl
• e(nq(x,e)?n)
• e(n?n)
• où f est la valeur optimale du problème
  original.

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Programmation linéaire

• Algorithme de points intérieurs
• Soient e0 ,egt0, 0lta,glt1 et x0 ? S
• ek e0, xk x0 , k0
• Tant que ek gt e
• y0 xk, i0
• Tant que q(yi,ek) gt g
• yi1 yi X q(yi,ek)
• i i1
• xk1 yi
• ek1 aek
• kk1

Méthode de Newton contrainte
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Programmation linéaire

• Théorème
• Si xgt0, Axb et q(x,e)lt1
• Alors le pas de Newton pur
• x x X q(x,e)
• est un point intérieur (i.e. x ? S)
• De plus q(x,e) lt 1 et
• q(x,e) q(x,e)2

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Programmation linéaire

• Notes
• Pour k gt 0, on ne fait quune seule itération de
  la méthode de Newton contrainte.
• On a que q(xk1,ek) lt g
• Si ek1 est choisi suffisamment proche de ek, on
  aura aussi q(xk1,ek1) lt g

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Programmation linéaire

• Théorème
• Si xk gt 0, Axkb
• Sil existe dgt0, glt1 tels que
• ek1 (1-dn-½)ek
• q(xk,ek) g
• Alors

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Programmation linéaire

• Notes
• Si

• on obtient
• q(xk1,ek1) g
• Dans lalgorithme, il suffit donc de prendre
• a 1-dn-½

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Programmation linéaire

• Notes
• On peut maintenir chaque itéré très proche du
  chemin central (gltlt1) en choisissant d très
  petit, c-à-d a proche de 1.
• Il faudra donc beaucoup ditérations, car ek1
  sera proche de ek.
• On gagne en itérations Newton, mais on perd en
  itérations majeures.

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Programmation linéaire

• Notes
• Si on choisit
• on nest plus assuré quune seule itération
  Newton sera suffisante.
• Par contre, le nombre ditérations majeures sera
  réduit.
• En pratique, ce type de stratégie est plus
  efficace.

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x0(0.2 0.5 0.3) e0 1 d 0.9 21 iter.
36
x0(0.2 0.5 0.3) e0 1 d 0.1 78 iter.
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x0(0.2 0.5 0.3) e0 10 d 0.9 10 iter.
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Programmation linéaire

• Notes
• e0 élevé signifie que le premier itéré est proche
  du centre analytique.
• d proche de 0 signifie que chaque itéré doit être
  proche du chemin central.
• Il est préférable de prendre e0 élevé et d proche
  de 1.

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Programmation linéaire

• Interprétation
• Point de Newton
• y x X2(c-ex-1-ATl)/e
• avec l(AX2AT)-1AX2(c-ex-1)
• Posons
• la (AX2AT)-1AX2c
• lc (AX2AT)-1AX2x-1 (AX2AT)-1AXe
• l la - elc

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Programmation linéaire

• Direction de Newton
• dN y x - X2(c - ex-1 - AT(la elc))/e
• Posons
• da - X2 (c - ATla)
• dc Xe X2ATlc
• dNda/e dc

Méthode de Dunkin-Karmarkar
Composante de centrage
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Programmation linéaire

• dc est le pas de Newton pour la résolution du
  problème

dont la seule solution est le centre analytique
des contraintes.
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Programmation linéaire

• dNda/e dc
• da vise à minimiser le coût
• dc vise à se rapprocher du centre analytique
• dc ne dépend pas du vecteur de coût c
• Ni da ni dc ne dépendent de e
• Le seul rôle de e est de pondérer da et dc.