Diapositive 1

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TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE THEOREME DE PYTHAGORE
I MEDIATRICE Rappel
1 Définition
La médiatrice dun segment est la droite
perpendiculaire à ce segment en son milieu.
2 Construction
Géoplan
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3 Propriété
a)Tracer un segment AB et sa médiatrice d
Placer sur d 4 points D, E, F, G. Mesurer
AD et DB AE et EB AF et FB AG et GB
Si un point appartient à la médiatrice dun
segment Alors il est équidistant des extrémités
du segment
Géoplan
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b) Tracer un segment AB de longueur 6 cm et
placer les points E, F, G tels que AE
EB 5 cm AF FB 4cm AG GB 3,5
cm
Si un point est équidistant des extrémités dun
segment Alors il appartient à la médiatrice du
segment.
Géoplan
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4 Cercle circonscrit à un triangle.
Tracer un triangle ABC quelconque et les
médiatrices des trois côtés.
Les médiatrices des côtés dun triangle sont
concourantes en un point qui est le centre du
cercle circonscrit .
Géoplan
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II TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE
Géoplan
1 Activité
a) Tracer un triangle rectangle et son cercle
circonscrit
Faire une conjecture.
Conjecture
Il semble que le centre du cercle circonscrit
soit le milieu de lhypoténuse
b) propriété
Dans un triangle rectangle le centre du cercle
circonscrit est le milieu de lhypoténuse.
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2 Inversement
a) activité
ACB ADB AEB AFB AGB AHB
AKB ALB AMB ATB
Il semble que les points situés sur le cercle
forment un angle droit avec les points du
diamètre
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b) Démonstration.
Soit C un point du cercle de diamètre AB et de
centre O.
On construit le point D symétrique de C par
rapport à O
On a ? O milieu de CD ( symétrie centrale )
? O milieu de AB ( énoncé)
Donc ACBD est un parallélogramme.
C
On a AB CD car ce sont deux diamètres dun
même cercle.
Donc Le parallélogramme ACBD à les diagonales
de même longueur. Cest un rectangle.
O
B
A
Conclusion ACB 90
D
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c) Propriétés.

• Si C est un point du cercle de diamètre AB
• alors le triangle ABC est rectangle en C.

b) Dans un triangle si le milieu dun côté
est équidistant des trois sommets alors ce
triangle est rectangle.
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III THEOREME DE PYTHAGORE
1 Activité
Construire les triangles ABC rectangles en A tels
que
1) AB 4 cm et AC 3cm
2) AB 4,8 cm et AC 6,4 cm
3) AB 8,1 cm et AC 10,8 cm
3)
1)
2)
BC
BC
8 cm
5 cm
BC
13,5 cm
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Triangle 1
AB 4 cm AB2 AB2 AC2 AB2 AC2
AC 3 cm AC2
BC BC2 BC2 BC2
25
16
9
5 cm
25
25
Triangle 2
64
AB 4,8 cm AB2 AB2 AC2 AB2 AC2
AC 6,4 cm AC2
BC BC2 BC2 BC2
23,04
40,96
64
64
8 cm
Triangle3
AB 8,1 cm AB2 AB2 AC2 AB2 AC2
AC 10,8 cm AC2
BC BC2 BC2 BC2
65,61
182,25
116,64
182,25
13,5 cm
182,25
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2) Théorème de Pythagore
B
A
C
Si ABC est un triangle rectangle en A alors AB²
AC² BC²
Dans un triangle rectangle le carré de
lhypoténuse est égal à la somme des carrés des
côtés de langle droit
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3 Utilisation du théorème.
a) Calcul de lhypoténuse.
Soit EDF un triangle rectangle en D tel que DF
6,3 cm et DE 8,4 cm. Calculer EF
Dans le triangle EDF rectangle en D, daprès le
théorème de Pythagore on a
DF² DE² EF²
6,3² 8,4² EF²
Donc EF² 110,25
On utilise la touche
EF
de la calculatrice
EF 10,5 cm
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b) Calcul de lun des côtés de langle droit.
Soit MER un triangle rectangle en M tel que ME
4,8 cm et ER 7,3 cm. Calculer MR.
Dans le triangle MER rectangle en M, daprès le
théorème de Pythagore on a
ME² MR² ER²
4,8² MR² 7,3²
DANGER
MR²
7,3² - 4,8²
Donc MR² 30,25
On utilise la touche
MR
de la calculatrice
MR 5,5 cm
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IV RECIPROQUE DU THEOREME DE PYTHAGORE
1 Activité.
Tracer les quatre triangles suivants  1 T1 est
un triangle RST tel que RS 7,2 cm ST 5,4 cm
et TR 9 cm. 2 T2 est un triangle RST tel que
RS 8 cm ST 6 cm et TR 9 cm. 3 T3 est un
triangle RST tel que RS 3,6 cm ST 7,7 cm et
TR 8,5 cm. 4 T4 est un triangle RST tel que
RS 6 cm ST 5 cm et TR 7 cm. Quels triangles
semblent rectangles ?
Les triangles T1 et T3 semblent rectangles
Compléter le tableau
RS ST TR RS2 ST2 RS2 ST2 TR2
T1 7,2 5,4 9
T2 8 6 9
T3 3,6 7,7 8,5
T4 6 5 7
51,84
29,16
81
81
64
36
100
81
12,96
59,29
72,25
72,25
36
25
61
49
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2 Énoncé de la réciproque.
Dans un triangle ABC, si on a AB² AC²
BC² Alors le triangle ABC est rectangle en A
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3 Exemples dutilisation

• Soit BUT un triangle tel que BU 8 cm BT
  3,9 cm et UT 8,9 cm.
• Le triangle BUT est-il rectangle ?

Le plus grand côté est UT
On calcule SEPAREMENT UT² et BU² BT²
puis on compare
UT² 8,9² 79,21
On a BU² BT² UT²
BU² BT² 8² 3,9² 79,21
Donc, daprès la réciproque du théorème de
Pythagore, Le triangle BUT est rectangle en B
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b) Soit CAR un triangle tel que CA 7,2 cm AR
6,5 cm et CR 9,6 cm Le triangle CAR est-il
rectangle?
Le plus grand côté est CR
On calcule SEPAREMENT CR² et CA² AR², puis
on compare les résultats
CR² 9,6² 92,16
On a CA² AR² ? CR²
CA² AR² 7,2² 6,5 ² 94,09
La relation du théorème de Pythagore nest pas
vérifiée, Donc le triangle CAR nest pas rectangle