Chapitre 5 Section 2 Modlisation

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Chapitre 5Section 2 Modélisation

• Modéliser est un savoir-faire celui délaborer
  une construction mathématique capable de
  représenter une portion bien définie de la
  réalité. Cependant cette construction nest pas
  une fin en soi. Le modèle permet dobtenir des
  informations utiles sur le comportement du
  phénomène quil représente.

Céline St-Pierre
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Quest-ce quun modèle mathématique?
Un modèle mathématique est une  image
mathématique  de ce que nous voyons dans le
monde réel. Il se traduit par un ensemble de
variables et déquations qui décrivent le mieux
possible le phénomène observé. Lélaboration et
la validation du modèle se fait en quatre étapes

• Premièrement, nous observons objectivement un
  phénomène du monde réel.
• Nous construisons un ensemble de variables et
  déquations décrivant le phénomène le plus
  fidèlement possible, cela nous donnera un modèle
  mathématique.
• Nous effectuons des calculs mathématiques sur le
  modèle élaboré afin dobtenir de linformation
  sur le phénomène. Le modèle doit permettre de
  reproduire le phénomène et den rendre les
  résultats prédictibles.
• Finalement, nous validons linformation obtenue
  précédemment en les confrontant avec notre
  observation. Ceci nous permet une rétroaction
  afin daméliorer notre modèle ou den préciser
  les limites. Nous regardons la possibilité que
  notre modèle sapplique à dautres phénomènes.

Les bons modèles sont ceux dont les conclusions
sont cohérentes avec lobservation, qui ont des
valeurs prédictibles et de larges applications et
qui ne sont pas trop difficiles à utiliser.
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(No Transcript)
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Étape 1 Observation
Avant même de chercher une solution, il faut bien
observer les données du problème proposé. Une
bonne observation comprend les éléments suivants

• Représenter le problème
• Esquisser une figure (si possible) sur laquelle
  on identifie les données du problème.
• Identifier les variables et les énumérer ainsi
  que les paramètres (quantités considérées
  constantes dans le cadre du problème). Attention
  à la cohérence des unités.
• Indiquer les contraintes à lesquelles sont
  soumises les variables.
• Définir la problématique
• Préciser la question posée en dégageant ce que
  lon recherche.
• Extraire les éléments connus.
• Poser une hypothèse sur la nature du problème.
  Dans le cadre du cours NYA, il y deux types de
  problèmes que nous allons étudier
• Optimisation
• Taux liés

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Étape 2 Mathématisation

• Recherche du modèle mathématique
• Il sagit détablir une ou plusieurs équations
  ou de définir une ou plusieurs fonctions
  décrivant le phénomène.
• La méthode pour élaborer le modèle dépend de la
  nature du problème.

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Étape 2 Mathématisation (suite)
Lorsque nous utilisons Maple pour résoudre un
problème, il nous permet, en plus deffectuer les
calculs, de tracer les graphiques des fonctions
représentant le phénomène et surtout dexplorer
ce qui se passe sur le modèle lorsque nous
simulons un paramètre, cest-à-dire lorsque nous
lui attribuons dautres valeurs que celle du
départ. Pour indiquer ce que nous voulons faire
avec Maple pour étudier le modèle, nous rédigeons
un protocole.

• Rédiger un protocole de laboratoire (lorsque
  nous traitons notre problème en utilisant Maple)
• Préciser les calculs à faire
• Indiquer quels sont les graphiques à visualiser
• Préciser les simulations à faire, cest-à-dire
  indiquer quels paramètres sont intéressants à
  simuler et quelles sont les valeurs attribuées à
  ces paramètres pour fin de simulation.

Un protocole doit être rédiger de telle sorte
quune personne connaissant Maple et un peu de
mathématiques puisse exécuter le protocole sans
avoir une connaissance approfondie du problème.
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Étape 3 Expérimentation

• CalculsLe type de calculs à faire dépend de la
  nature du problème.

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Étape 3 Expérimentation (suite ..)

• Graphique (dans le cas de lutilisation de Maple)
• Tracer les graphes des fonctions
• Simulations
• Les simulations se font généralement par la
  représentation de plusieurs fonctions sur un même
  graphe pour différentes valeurs du paramètre
  simulé.

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Étape 4 Interprétation des résultats

• Énoncer les résultats obtenus en regard du
  contexte.
• Commenter les graphiques.
• Commenter limportance des paramètres simulés
  ainsi que leur impact sur le modèle.
• Indiquer les limites du modèle.

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Exploration

• Énoncé du problème
• Je vous fournis une feuille de papier format
  lettre et vous devez me construire une boîte dont
  le volume doit être maximal.

• Construisez une boîte en enlevant un carré dans
  chaque coin de la feuille et vous relevez par la
  suite les rebords. Calculez le volume de cette
  boîte. Pensez-vous que votre boîte est de volume
  maximal? Justifiez votre réponse.
• Déterminez le modèle mathématique permettant de
  calculer la valeur des côtés des carrés à enlever
  afin de trouver le volume maximal.