Le cours de Mathmatiques : autour du raisonnement et des dmonstrations

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Le cours de Mathématiques autour du
raisonnement et des démonstrations
1. Le vocabulaire dans les énoncés et les
démonstrations
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• 1. Le vocabulaire des énoncés et des
  démonstrations
• Références
• Introduction générale pour le collège (B.O.
  Hors-série n4 du 9 septembre 2004)
• Composition des textes scientifiques,
  recommandations de lInspection générale
• (accessible sur le serveur académique Euler).

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1. Le vocabulaire des énoncés et des
démonstrations
Dans les énoncés (de théorèmes ou dexercices)
Soit, étant donné, on considère Présenter des
objets. Données, hypothèses Termes utilisés
pour parler de lénoncé. Consécutifs, respectifs,
successifs Ces mots ne sont pas forcément
connus des élèves à lentrée au
collège. Quelconque Désigne lélément générique
dun ensemble. Attention, un triangle quelconque
est un triangle sur lequel on ne fait aucune
hypothèse (ce nest pas nécessairement un
triangle scalène). Quel que soit, quels que
soient, quelle que soit, tout, tous Conditions
dutilisation à préciser. La... de... du...
Bien expliciter comment lire un enchaînement de
compléments de noms . Le ou un ? Le rayon, un
rayon du cercle ?. Une ou des ? Il y a un
pluriel de précaution  léquation a-t-elle des
solutions ? Certains adjectifs employés au
singulier ou au pluriel nappellent pas la même
syntaxe  parallèle, perpendiculaire, colinéaire,
etc
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1. Le vocabulaire des énoncés et des
démonstrations
Dans les énoncés (de théorèmes ou dexercices)
Dessiner, tracer, placer, représenter, construire
Expliciter et respecter la hiérarchie de ces
verbes. Vérifier que, expliquer pourquoi, prouver
que, montrer, démontrer Les deux premiers
appellent moins de formalisation que les trois
derniers. En déduire Montrer sur des exemples
cette démarche intellectuelle. Factoriser,
développer, effectuer Les deux premiers
renvoient à des gestes techniques. Comparer,
classer Renvoient à une définition. Déterminer,
calculer Renvoient à autre chose que des
mesures. Résoudre Renvoie à des gestes
techniques. Conjecturer Invite à formuler un
énoncé. Vrai, faux Sapplique à des phrases
dont on veut savoir si elles sont des propriétés
(des théorèmes).
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1. Le vocabulaire des énoncés et des
démonstrations
Dans les démonstrations
Soit Introduction dun objet utile à la
démonstration. Données, hypothèses Termes
utilisés pour parler de lénoncé. Donc, car,
parce que, puisque, or Bien expliciter leurs
conditions dutilisations. Donc..., donc...,
donc.... Marquent les étapes de conclusions
partielles à la conclusion définitive (ne
concluent pas au même niveau).
La logique est toujours présente même si elle
nest pas explicitée
Condition nécessaire, condition suffisante,
condition nécessaire et suffisante Dans une
formulation du type  si... alors... , ce qui
vient après  alors  est la condition
nécessaire. Propriété caractéristique Pourrait
remplacer la définition, à condition den avoir
donné une. Si... alors.... utilisé dans les
énoncés, plutôt que dans la rédaction dune
démonstration. Dans les démonstrations, on
utilise  on sait que, , donc , ou toute
formulation analogue. Réciproque La réciproque
du théorème  Si A alors B  sénonce  Si B
alors A . Elle est vraie ou fausse.
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2. a) Différentes utilisations du signe (égale)
Deux noms pour un même objet 21 3 ? 7 deux
écritures dun même nombre, (AB) (CA) deux
noms pour une même droite
Identité Légalité k(a b) ka kb a lieu
quels que soient les nombres désignés par a, b et
k. Dans ce cas, il vaut mieux écrire   Pour
tous nombres a, b et k, k(a b) ka kb .
Définition Lécriture   pour tout réel x, f (x)
ax b  sert à définir la fonction f. Pour
montrer certaines propriétés de la fonction f,
dans lequel la variable figure, on utilise des
expressions quantifiées.
Équation Le signe sert à poser un problème.
Lactivité consistant à  tester une égalité 
renvoie au paragraphe 1.
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• 2. b) Quelques usages illicites
• Utiliser le signe dans des calculs enchaînés 3
  4 7?8 56 9 47.
• Mieux vaut ne pas écrire des chaînes dégalités.
  
• Si on veut écrire des égalités successives, on
  peut nommer lobjet à calculer.

• 2. c) Démontrer une égalité A B
• Sil sagit dune identité, toutes les écritures
  doivent être quantifiées.
• Exemple pour tous nombres a et b, (a b)²
  a² 2ab b².
• Toutes les façons de faire correspondent à des
  transformations décritures 
• de A en B ou de B en A ou de A et B en C.
• On peut aussi montrer que (A B) 0.
• Cest la logique du calcul qui importe  ne pas
  trouver, en un temps fini, de contradiction au
  fait que A B (et obtenir par exemple 0 0) ne
  constitue pas une preuve.

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3. Les démonstrations au collège
Des démonstrations aussi bien en géométrie que
dans le domaine numérique pour

• donner du sens aux notions abordées
• structurer, renforcer les connaissances, les
  décloisonner
• introduire de nouveaux outils pour démontrer
• articuler les notions entre elles
• acquérir des compétences dans le domaine du
  raisonnement

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3. Les démonstrations au collège

• Réserver le mot  démonstration  à de vraies
  démonstrations mathématiques, ne pas lutiliser
  pour des illustrations de raisonnements.
• Qualifier systématiquement les énoncés
  (définition, propriété, théorème) à distinguer
  des  méthodes  ou  illustrations .
• Signaler systématiquement un énoncé admis.
• La progression choisie détermine les
  démonstrations possibles.
• Il ne sagit pas de faire toutes les
  démonstrations de la liste mais de déterminer en
  équipe pédagogique celles qui seront faites par
  toutes les classes.

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4. Différents types de raisonnements

• Différents types de raisonnements rencontrés au
  collège
• raisonnement déductif
• raisonnement par disjonction de cas
• infirmation par production dun contre-exemple
• raisonnement par labsurde

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Un exemple de bibliothèque de démonstrations en
4ème
bibdemo4
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En quatrième
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4. Travailler le sens, décloisonner, introduire
des outils,
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4. Travailler le sens, décloisonner, introduire
des outils,
Théorème de Pythagore
Le calcul littéral permet détablir que BC²
AB² AC²
Réciproque du théorème de Pythagore
On suppose que AB² AC² BC². On construit le
triangle ACE rectangle en A tel que AE AB, E
et B de part et dautre de la droite (AC).
Les triangles sont isométriques (théorème de
Pythagore) donc (AC) est la médiatrice du segment
EB, donc (AE) (EB), donc (AB) est
perpendiculaire à (AC).
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4. Travailler le sens, décloisonner, introduire
des outils,
Droite des milieux (1) Soit un triangle ABC et
les points I et J milieux (respectifs) des
segments AB et AC. Alors les droites (IJ) et
(BC) sont parallèles.

• Avec les aires Une médiane dans un triangle
• partage celui-ci en deux triangles de même aire

G
Des triangles de même aire BIJ et AIJ, puis
AIJ et CIJ, puis BIJ et CIJ. BK CL donc (IJ) et
(BC) sont parallèles.
Droite des milieux (2) Soit un triangle ABC et le
point I milieu du segment AB. Alors la droite
passant par I et parallèle à la droite (BC) coupe
la droite (AC) au point J milieu du segment AC.
Remarque Démonstration possible de la
propriété de concours des médianes, par des
considérations sur les aires.
On retrouve les hypothèses du théorème 1 en
plaçant J milieu de AC. Donc les (IJ) et
(IJ) sont confondues. (IJ) (IJ) Les
propriétés de lune sont des propriétés de
lautre et réciproquement. Donc J est le milieu
du segment AC.
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4. Travailler le sens, décloisonner, introduire
des outils,
On se place dans le cas où a, b, a, b sont
positifs. Deux applications successives du
théorème de Thalès conduisent au résultat.
Coefficient directeur, vecteurs colinéaires,
vecteurs directeurs
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4. Travailler le sens, décloisonner, introduire
des outils,
Indépendance des longueurs des côtés de langle
aigu pour le calcul du cosinus dun angle aigu
Le théorème de Thalès permet de justifier que le
cosinus ne dépend que de la mesure de langle.
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5. Démontrer en produisant un contre-exemple
Pour une proposition mathématique, la production
de plusieurs exemples non contradictoires
napporte pas la preuve que la proposition soit
toujours vraie Mais un seul contre-exemple peut
apporter la preuve quune proposition est fausse.
Linverse dun produit de deux nombres non nuls
est égal au produit des inverses de ces deux
nombres
Mais la proposition  si la somme de deux
nombres non nuls nest pas nulle, alors linverse
de cette somme est égal à la somme des inverses
des deux nombres  est fausse
Un élément de logique difficile. Bien distinguer
de la production dexemples proposés pour
proposer des conjectures.
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6. Initiation au raisonnement par labsurde
Si un triangle ABC est tel que BC² ? AB² AC²,
alors ce triangle nest pas rectangle en A
Soit un triangle ABC tel que BC² ? AB² AC². Le
triangle ABC ne peut pas être rectangle en A,
car sil létait, on aurait légalité BC² AB²
AC², qui est en contradiction avec lhypothèse.
Donc  si BC² ? AB² AC² alors le triangle ABC
nest pas rectangle en A .
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7. Raisonnement par disjonction de cas
Ordre de deux nombres de même signe et de leurs
carrés
Soient a et b deux nombres de même signe, tels
que a lt b.
1er cas a et b sont tous les deux positifs.
Alors, a lt b et a gt 0, donc a?a lt b ?a
a lt b et b gt 0, donc b?a lt b ?b Donc par
transitivité de la relation  dordre, a² lt b²
2ème cas a et b sont tous les deux négatifs.
Alors, a lt b et a lt 0, donc a?a gt b ?a
a lt b et b lt 0, donc b?a gt b ?b Donc par
transitivité de la relation  dordre, a² gt b²
Conséquence Soient a et b deux nombres positifs
si a² lt b² alors a lt b.
Application dans tout triangle rectangle il
existe un côté dont la longueur est plus grande
que celle de chacun des deux autres, et le côté
ayant la plus grande longueur est lhypoténuse.
BC² AB² AC². Donc BC² gt AB², donc BC gt AB. De
même, BC gt AC.