Diapositive 1

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Ajouts et retraits dans un arbre de connexion
Nicolas Thibault et Christian Laforest, Équipe
OPAL Laboratoire IBISC (regroupement LaMI et
LSC), Évry
8èmes journées Graphes et Algorithmes p.
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Introduction
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Sans reconstruction Avec reconstructions
Synthèse
Contraintes structurelles Évaluation
Résultats
Contraintes structurelles du modèle Sans
reconstruction
Contraintes

• À chaque étape, la structure couvrante doit être
  un arbre contrainte arbre.
• faciliter la gestion des communications
• Chaque arbre doit être inclus dans larbre
  précédent contrainte emboîtement.
• ne pas perturber les communications en cours
• ne pas reconstruire larbre (coûteux)

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Sans reconstruction Avec reconstructions
Synthèse
Contraintes structurelles Évaluation
Résultats
Évaluation de la qualité
Notations

• i le nombre de sommets ajoutés
• M0 ? M1 ? ? Mi ? les groupes successifs
• Ti larbre couvrant Mi construit à la ième étape
• CG(M) SdG(u,v) la somme des distances entre
  les sommets du groupe M
• u,v ? M

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Sans reconstruction Avec reconstructions
Synthèse
Contraintes structurelles Évaluation
Résultats
Résultats obtenus
Borne supérieure sur le rapport de compétitivité

• r est un médian de M si SdG(u,r) min?SdG(u,v)
  v ? M?
• 
  u ? M u ?
  M
• Lalgorithme médian-ajout construit un arbre de
  plus courts chemins enraciné
• en un médian r0 du groupe de départ M0.
• médian-ajout respecte les contraintes arbres et
  emboîtement.
• mais a un rapport de compétitivité en O(i).

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Définition Étape critique Médian-reconstructio
n Limites
Sans reconstruction Avec reconstructions
Synthèse
Définition du modèle Avec reconstructions
Modèle sans reconstruction (rappel)

• Contrainte arbre
• Contrainte emboîtement
• Objectif minimiser la distance moyenne entre
  les membres du groupe

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Sans reconstruction Avec reconstructions
Synthèse
Définition Étape critique Médian-reconstructio
n Limites
Étape critique
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Sans reconstruction Avec reconstructions
Synthèse
Définition Étape critique Médian-reconstructio
n Limites
Lalgorithme médian-reconstruction
Lalgorithme

• Reconstruit totalement larbre à chaque fois que
  la taille du groupe double.
• Entre deux reconstructions, connecte le nouveau
  membre par un plus court
• chemin au médian du groupe de la dernière
  reconstruction.

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Sans reconstruction Avec reconstructions
Synthèse
Définition Étape critique Médian-reconstructio
n Limites
Limites du modèle avec reconstructions
Question

• Est-ce que O(log i) étapes critiques est un bon
  résultat ?

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Sans reconstruction Avec reconstructions
Synthèse
Définition Étape critique Médian-reconstructio
n Limites
Limites du modèle avec reconstructions

• M i ? 2j2R(c1) ? 2(c1)2R(c1)
• a2bR (a,b constants)
• R ? ? (log i)

• M i ? 2j2R(c1) ? 2(c1)2R(c1)
• a2bR (a,b constants)
• R ? ? (log i)

• M i ? 2j2R(c1) ? 2(c1)2R(c1)
• ? a2bR (a,b constants)
• R ? ? (log i)

• M i ? 2j2R(c1) ? 2(c1)2R(c1)
• ? a2bR (a,b constants)
• R ? ?(log i)

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Sans reconstruction Avec reconstructions
Synthèse
Variantes Résultats
Perspectives
Variantes du problème présenté
Résultats présentés

• Pour le critère somme des distances, pour le
  problème ajout de sommets
• Sans reconstruction
• borne inférieure et supérieure en ?(i) et O(i)
  sur le rapport de compétitivité
• Avec reconstructions
• borne inférieure et supérieure en ?(log i) et
  O(log i) sur le nombre détapes critiques

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Sans reconstruction Avec reconstructions
Synthèse
Variantes Résultats
Perspectives
Résultats obtenus
Somme des distances
Sans
recons. (compétitivité) Avec recons.
(étapes critiques)
ajouts
?(i) et O(i) ?(log
i) et O(log i)
retraits
?(i)
?(log i) et O(i)
ajouts et retraits
?(i)
?(i) et O(i)
Diamètre
Sans
recons. (compétitivité) Avec recons.
(étapes critiques)
ajouts
2
0
retraits
?(i)
?(log i) et O(log i)
ajouts et retraits
?(i)
?(i) et O(i)
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Sans reconstruction Avec reconstructions
Synthèse
Variantes Résultats
Perspectives
Autres résultats et perspectives
Autres résultats pour le modèle avec
reconstructions

• Nombre de changements élémentaires moyens par
  étape constant pour
• lajout, avec comme critère la somme des
  distances et
• le retraits, avec comme critère le diamètre.

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Questions ?
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AVEC RECONSTRUCTIONS Définitions

• Soit M un ensemble de membres et T un arbre
  couvrant M.
• Nœud de liaison u est un nœud de liaison de
  larbre T ssi
• u ? M
• u est de degré supérieur ou égal à 3
• Arbre de liaison On construit larbre de
  liaison Tc associé à T en
• remplaçant chaque chemin de T ne contenant que
  des sommets de
• degré 2 par une arête.

ou
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AVEC RECONSTRUCTIONS Définitions

• Soit M un ensemble de membres et T un arbre
  couvrant M.
• Nœud de liaison u est un nœud de liaison de
  larbre T ssi
• u ? M
• u est de degré supérieur ou égal à 3
• Arbre de liaison On construit larbre de
  liaison Tc associé à T en
• remplaçant chaque chemin de T ne contenant que
  des sommets de
• degré 2 par une arête.
• Exemple

ou
Un graphe G et un sous-groupe M
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AVEC RECONSTRUCTIONS Définitions

• Soit M un ensemble de membres et T un arbre
  couvrant M.
• Nœud de liaison u est un nœud de liaison de
  larbre T ssi
• u ? M
• u est de degré supérieur ou égal à 3
• Arbre de liaison On construit larbre de
  liaison Tc associé à T en
• remplaçant chaque chemin de T ne contenant que
  des sommets de
• degré 2 par une arête.
• Exemple

ou
Un arbre T couvrant M
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AVEC RECONSTRUCTIONS Définitions

• Soit M un ensemble de membres et T un arbre
  couvrant M.
• Nœud de liaison u est un nœud de liaison de
  larbre T ssi
• u ? M
• u est de degré supérieur ou égal à 3
• Arbre de liaison On construit larbre de
  liaison Tc associé à T en
• remplaçant chaque chemin de T ne contenant que
  des sommets de
• degré 2 par une arête.
• Exemple

ou
Les nœuds de Liaison de T
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AVEC RECONSTRUCTIONS Définitions

• Soit M un ensemble de membres et T un arbre
  couvrant M.
• Nœud de liaison u est un nœud de liaison de
  larbre T ssi
• u ? M
• u est de degré supérieur ou égal à 3
• Arbre de liaison On construit larbre de
  liaison Tc associé à T en
• remplaçant chaque chemin de T ne contenant que
  des sommets de
• degré 2 par une arête.
• Exemple

ou
Larbre de liaison Tc associé à T
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AVEC RECONSTRUCTIONS Définitions

• Changement élémentaire Pour toute étape k
  dajout dun nouveau membre,
• est considéré comme un changement élémentaire
• Ajouter une arête dans Tck-1
• Retirer une arête dans Tck-1
• Pour toute étape k dajout dun nouveau membre,
  on note EC(Tkc) le nombre
• de changements élémentaires à létape k.

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AVEC RECONSTRUCTIONS Définitions

• Changement élémentaire Pour toute étape k
  dajout dun nouveau membre,
• est considéré comme un changement élémentaire
• Ajouter une arête dans Tck-1
• Retirer une arête dans Tck-1
• Pour toute étape k dajout dun nouveau membre,
  on note EC(Tkc) le nombre
• de changements élémentaires à létape k.
• Exemple

Tck-1
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AVEC RECONSTRUCTIONS Définitions

• Changement élémentaire Pour toute étape k
  dajout dun nouveau membre,
• est considéré comme un changement élémentaire
• Ajouter une arête dans Tck-1
• Retirer une arête dans Tck-1
• Pour toute étape k dajout dun nouveau membre,
  on note EC(Tkc) le nombre
• de changements élémentaires à létape k.
• Exemple

Tck-1
uk
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AVEC RECONSTRUCTIONS Définitions

• Changement élémentaire Pour toute étape k
  dajout dun nouveau membre,
• est considéré comme un changement élémentaire
• Ajouter une arête dans Tck-1
• Retirer une arête dans Tck-1
• Pour toute étape k dajout dun nouveau membre,
  on note EC(Tkc) le nombre
• de changements élémentaires à létape k.
• Exemple

Tck-1
uk
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AVEC RECONSTRUCTIONS Définitions

• Changement élémentaire Pour toute étape k
  dajout dun nouveau membre,
• est considéré comme un changement élémentaire
• Ajouter une arête dans Tck-1
• Retirer une arête dans Tck-1
• Pour toute étape k dajout dun nouveau membre,
  on note EC(Tkc) le nombre
• de changements élémentaires à létape k.
• Exemple

Tck
uk
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AVEC RECONSTRUCTIONS Définitions

• Changement élémentaire Pour toute étape k
  dajout dun nouveau membre,
• est considéré comme un changement élémentaire
• Ajouter une arête dans Tck-1
• Retirer une arête dans Tck-1
• Pour toute étape k dajout dun nouveau membre,
  on note EC(Tkc) le nombre
• de changements élémentaires à létape k.
• Exemple

Tck
uk
EC(Tkc) 13 4
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AVEC RECONSTRUCTIONS Critères à minimiser (1)

• On veut minimiser le nombre de changements
  élémentaires moyen par
• étape ECM(T0c,, Tic) définit par

• Motivations
• Chaque changement élémentaire a un coût réseau
  (en temps, en argent)
• pour lopérateur.

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Médian-reconstruction Évaluation
(reconstructions)

• Théorème Médian-reconstruction implique au plus
  20 changements
• élémentaires moyens par étapes.
• Preuve Repose sur les arguments suivants
• Une étape où larbre nest pas reconstruit
  implique au plus
• 4 changements élémentaires dans larbre de
  liaison.
• Un arbre de liaison couvrant un groupe M a au
  plus 2 M sommets.
• Le nombre de changements élémentaires maximum
  dans un tel arbre
• est donc 4 M .
• Les étapes de reconstructions sont suffisamment
  peu nombreuses
• ( O(log i) ) pour donner un nombre de
  changements moyen par étape
• constant.