Espace et gomtrie au cycle 2

1
Espace et géométrie au cycle 3 
2
Selon les programmes de 2002, les compétences
devant être acquises à la fin du cycle 3 relèvent
de cinq familles

• Repérage, utilisation de plans, de cartes,
  (connaissances spatiales).
• Les relations et propriétés  alignement,
  perpendicularité, parallélisme égalité de
  longueurs, symétrie axiale.
• Figures planes  triangle, triangle rectangle,
  triangle isocèle, triangle équilatéral ou
  régulier, carré, rectangle, losange, cercle.
• Solides  cube et parallélépipède rectangle
• Agrandissement, réduction.

3
Lobjet de cette synthèse

• préciser quelques lignes directrices données par
  les IO pour ces cinq familles en utilisant les
  situations analysées.
• apporter quelques réflexions didactiques servant
  de repères pour enseigner lespace et la
  géométrie au cycle 3.

4
A) Quelques lignes directrices
5
1-Importance donnée aux connaissances spatiales 

• Connaissances spatiales
• et connaissances géométriques ce quil faut
  savoir.
• Des exemples de situations permettant la maîtrise
  des connaissances spatiales au cycle 3.

6
Les connaissances spatiales

• Ce sont celles qui sont nécessaires pour
  maîtriser les rapports usuels à lespace comme
  par exemple 
• communiquer la position dun objet
• déplacer un objet selon des informations
• trouver un objet connaissant sa position
• reconnaître, décrire, construire ou transformer
  un espace de vie
• décrire un déplacement
• se déplacer, se repérer
• savoir changer de point de vue
• reconnaître, décrire, fabriquer, transformer des
  objets.

7
Les connaissances géométriques

• renvoient au savoir savant (définitions
  caractéristiques, propriétés, théorèmes, axiomes,
  raisonnement hypothético-déductif).
• Les connaissances spatiales interviennent avant
  tout enseignement alors que les connaissances
  géométriques ont besoin dêtre enseignées pour
  exister.

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Le vocabulaire spatial sacquiert essentiellement
au travers de situations de communication voici
quelques exemples tout au long du cycle 3

• La classe est divisée en deux équipes  une
  équipe A et une équipe B  un élève de léquipe
  A effectue un parcours sous le regard attentif
  dun seul autre enfant de léquipe B. Et ensuite
  un élève de léquipe B .
• Ici le vocabulaire spatial est outil de
  résolution de problème

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• Recherche de trésor dans la classe (une équipe a
  placé le trésor quelque part dans la classe la
  contrainte 3 informations spatiales doivent
  suffire pour le localiser de façon certaine ou 4
  instructions de déplacement et dactions doivent
  suffire pour aller le chercher).
• Recherche dun trésor dans la cour, dans
  lécole(plan,schéma, codages).

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• Recherche dun objet caché dans une boîte, il y a
  plusieurs boîtes identiques ...
• Avec des variables didactiques qui vont permettre
  la manipulation dun vocabulaire spécifique

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Il est conseillé tout au long de lécole primaire
de proposer aux élèves des situations spatiales
utilisant ou non lécrit comme par exemple

• des solides de différentes tailles sont placés
  sur une table visible de loin par tous les
  élèves  il faut
• décrire ce que lon voit lorsque lon est
  positionné à un endroit précis autour de cette
  table lil au niveau de la table ou bien
• aller se placer à lendroit où une photo donnée a
  été prise.
• Il est possible de travailler dans le micro
  espace  feuille, maquette, écran dordinateur
  (tout est visible en même temps) ou dans le méso
  espace (lespace est visualisable dans sa tête en
  une seule fois  cour, classe, éventuellement
  école lorsquil ny a pas beaucoup de classes).

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2- Les problèmes proposés doivent prendre place
dans des situations finalisées

• Ces problèmes sont caractérisés par quelques
  verbes 
• Pour la structuration de lespace il sagit de 
   observer, situer, repérer, guider, donner des
  informations 
• Dans le cadre de la géométrie, il sagit
  de   comparer, reproduire, construire, décrire,
  représenter des objets géométriques .

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Reproduire un objet cest en réaliser une copie
conforme

• La reproduction peut être réalisée à léchelle 1
  ou à une autre échelle. (les mailles
  triangulaires CE2)
• Pour les objets de dimension 2, le calque est
  certes un outil de validation mais ce nest pas
  le seul
• Pour les objets de dimension 3, cest la
  comparaison ..

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La production finale peut être matériellement
erronée alors que la stratégie de reproduction a
été correcte

• Phénomène dimprécision liée au mesurage ou au
  tracé, phénomène constitutif des rapports
  quentretiennent géométrie et réalité quelle
  permet de décrire 
• Important de confronter les élèves assez tôt avec
  ce phénomène. Le maître accepte une marge de
  tolérance discutée avec les élèves.
• Travail systématique au cycle 3 débats
  organisés par le maître pour apprendre à
  distinguer production non conforme à cause dune
  difficulté de mesurage et de tracé et production
  non conforme à cause dune erreur de stratégie
  (angle droit non perçu par exemple..).

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Au cycle 3, les élèves peuvent reproduire un
modèle donné selon différents dispositifs 

• Lobjet à reproduire est disponible et
  manipulable.
• Lobjet à reproduire nest disponible quavant
  lexécution de la tâche (il faut prélever..)
• le modèle peut être fixé sur une table éloignée
  de la table de lélève. 
• la forme de groupement.

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La reproduction de figures sur papier blanc
(tâche essentielle en géométrie) est amorcée dès
le cycle 2 mais concerne surtout le cycle 3

• une observation de la figure à reproduire,
• un repérage de ses propriétés,
• lutilisation dinstruments pour vérifier les
  conjectures liées à la perception visuelle,
• lutilisation dinstruments pour le tracé
  effectif,(figures à reproduire)
• parfois la nécessité de construire des sur ou
  sous figures pour effectuer des conjectures.

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Construire un objet cest réaliser cet objet sans
lavoir sous les yeux mais en disposant
dinformations géométriques permettant de le
reconnaître.

• Ces informations peuvent être données (oralement
  ou par écrit) 
• sous la forme dune suite dinstructions
  (algorithme ou programme), (concerne davantage le
  cycle 3 surtout lorsque sy ajoute des
  expressions langagière spécifiques..)
• Sous la forme dun texte descriptif,(Pareil, pas
  pareil ? Phase 1 CM2)
• Sous la forme dun schéma éclairé avec codages
  (concerne le cycle 3).

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Il est conseillé dutiliser les différents types
de papier (pointé, quadrillé, blanc, calque) pour
faire construire des figures.

• Notons que la construction dun triangle à partir
  de la donnée des trois longueurs et en utilisant
  le compas nest pas une compétence exigible du
  cycle 3.
• En revanche, seront proposés les problèmes
  suivants  placer rapidement le plus possible de
  points situés à une distance donnée dun point
  donné (même distance à coup sûr CM1)  localiser
  des points dont les distances respectives à deux
  points donnés sont données.(le trésor est dans la
  cour CM1)

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Décrire un objet cest utiliser un vocabulaire
géométrique permettant à un interlocuteur de le
construire ou lidentifier.

• Cette tâche suppose la mise en place de
  situations de communication  les émetteurs
  voient lobjet et donnent des informations aux
  récepteurs pour que ceux-ci lidentifient ou le
  construisent.(pareil pas pareil? CM2 phase2)
• (Y boue CM2)
• Les jeux de portrait, de kim se prêtent bien à
  cette tâche.

20
Représenter un objet cest lévoquer à laide de
procédés graphiques conventionnels.

• A lécole lobjet dont il est question est
  dabord et surtout un objet de dimension 2.
• Ce nest pas un objectif de lécole primaire de
  réaliser une perspective dun solide donné 
  lélève peut toutefois réaliser les empreintes
  des faces pour un polyèdre ou différentes vues du
  solide (intéressant pour des assemblages de cubes
  par exemple).

21
La représentation dobjets du plan concerne
surtout le cycle 3

• Le travail à main levée y occupe une place
  importante.
• Les élèves y découvrent lintérêt des
  codages (présence dangle droit et égalité des
  longueurs) qui donnent les informations utiles à
  sa construction.

22
3-le concept dangle droit est abordé au cycle
2,celui de droites perpendiculaires au cycle 3.

•  Langle droit  présenté au CE1 sous la forme
  dune expression globale et non dune
  juxtaposition de deux termes (qui laisserait
  alors entendre quil sagit dun angle
  particulier)
• est associé à des  coins  particuliers  ceux
  dun rectangle, dun carré , dune feuille de
  papier ordinaire.
• Le travail sur le concept dangle (classement,
  rangement dangles, prise de conscience que les
  longueurs des côtés nont aucune incidence sur le
  résultat de la comparaison des angles) concerne
  le cycle 3.
• Lutilisation du rapporteur pour mesurer des
  angles relève de la sixième.

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Dans la continuité CE1/CE2 voici une manière
daborder langle droit au CE1

• les élèves doivent reproduire sur une feuille
  blanche un carré découpé dans du carton sans
  lutiliser comme gabarit.
• Les élèves tentent de construire un quadrilatère
  ayant 4 côtés de même longueur et sont étonnés de
  constater que le quadrilatère construit et le
  carré en carton ne sont pas superposables.
• En débattant, comparant leurs productions, les
  élèves découvrent que les  coins  ne vont pas.
• Le maître peut alors introduire le gabarit
  dangle droit comme outil de résolution de
  problème et le terme  angle droit  pour
  remplacer le terme  coin .

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On peut se limiter au cycle 2 à lutilisation
dun gabarit dangle droit

• coin dune feuille ou feuille pliée en quatre 
• lutilisation de léquerre traditionnelle peut
  engendrer des représentations erronées de langle
  droit avec confusions avec le triangle
• Lutilisation de ce type de matériel ne sera
  exigée quau cycle 3 .

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Au cycle 2, on apprend à reconnaître des angles
droits mais apprendre à les tracer nest pas un
objectif de ce cycle.

• Ce qui nexclut pas des tracés dans certaines
  situations avec laide du maître.
• Il en résulte quen général les carrés,
  rectangles ou tout autre polygone ayant un ou
  plusieurs angles droits seront tracés sur papier
  quadrillé ou papier pointé (qui contiennent
  implicitement un réseau de droites parallèles
  entre elles et un ensemble de droites
  perpendiculaires à celles-ci).(ça ma tout lair
  dêtre un rectangle CE2)

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Pour aborder la perpendicularité au CE2, on peut
partir de la situation suivante

• Le maître distribue à chaque élève une feuille à
  bords non rectilignes sur laquelle est
  représentée une droite D quelconque (le domaine
  ne présente aucune symétrie) ainsi quun point
  (matérialisé par un rond vert) sur cette droite.
• Il sagit de tracer la droite passant par ce
  point vert telle que si lon plie la feuille
  selon cette droite alors deux parties de la
  droite D se superposent. (Lélève est en
  situation danticipation du pliage).

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Voici les différentes étapes de la tâche de
lélève 

• Il fait un premier tracé. 
• La validation se fait par le pliage effectif.
• Lélève observe son tracé et leffet de celui ci
  sur la droite D pour effectuer ensuite un nouvel
  essai sur une autre feuille jusquà obtention
  dun résultat qui lui semble convenable.

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Une phase de mise en commun permet de

• Mettre en évidence les procédures apparues dès le
  premier essai et les différentes stratégies
  utilisées par les élèves pour obtenir la droite
  souhaitée (nombre dessais).
• Didentifier les procédures valides cest à dire
  celles qui permettent dobtenir la droite
  souhaitée en un seul essai  lutilisation dun
  gabarit dangle droit est reconnue comme une
  procédure experte.
• Au terme de cette situation, lexpression
   droite perpendiculaire à une autre droite 
  sera introduite et le lien avec léquerre
  explicitée.

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Autres situations permettant dapprofondir la
connaissance de langle droit

• Pavage au CM1
• La situation met en évidence que 4 droits
  correspondent à un plein et que ces quatre droits
  permettent de construire 2 droites
  perpendiculaires
• Puzzle CM2
• La situation met en évidence que deux angles
  droits adjacents forment un angle plat

30
4- lutilisation dinstruments de tracés divers
usuels ou non doit faire lobjet dun
entraînement

• Il est essentiel de développer chez les élèves
  une habileté dans lutilisation dinstruments
  lors dactivités spécifiques au cours desquelles
  lélève apprend à bien tenir le crayon dune main
  et la règle de lautre, à régler et poser le
  compas, à contrôler la position dun gabarit pour
  comparer des longueurs, vérifier quun angle est
  droit ou out simplement en faire le contour.

31
La règle

• usuelle avec ses multiples fonctions 
• souligner,
• tracer un segment,
• joindre deux points,
• vérifier quun point est aligné avec deux autres
  points,
• prolonger un segment,
• placer un point aligné avec deux autres points,
• mesurer la longueur dun segment ,
• tracer un segment de longueur donnée.

32
La règle non usuelle

• toute règle obtenue par découpage (bande
  cartonnée avec ou sans graduation ou surface
  quelconque avec un côté segment)

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• La règle usuelle et la règle non
  conventionnelle ont été utilisées et manipulées
  depuis la GS.

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Léquerre

• pour le cycle 2, celle préconisée par les IO est
  le gabarit dangle droit (obtenu par double
  pliage ou coin dune feuille ordinaire),
• léquerre traditionnelle pouvant entraîner des
  confusions entre angle et triangle 
• il est possible aussi dutiliser un disque évidé
  dun quart de disque pour reconnaître les angles
  droits de lextérieur.

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Au cycle 3, léquerre du commerce pourra être
utilisée avec deux fonctions

• vérifier que deux droites sont perpendiculaires
  ou quun angle est droit.
• construire la droite perpendiculaire à une droite
  donnée passant par un point donné appartenant ou
  non à la droite.

36

• La règle et léquerre pour construire la
  parallèle à une droite donnée passant par un
  point donné et vérifier que deux droites sont
  parallèles.

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Le compas

• Au cycle 2, les élèves ont utilisé le compas pour
  tracer des cercles et des rosaces.
• Au cycle 3, les élèves utilisent le compas pour
  comparer des longueurs, vérifier que deux
  segments ont la même longueur, reporter une
  longueur, tracer un segment de même longueur
  quun segment donné.

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• Lutilisation du compas pour trouver le milieu
  dun segment ou pour construire deux droites
  perpendiculaires relève du collège.
• Léquerre, le compas et la règle sont les trois
  instruments clés de la géométrie au cycle 3.

39
5-Sur la symétrie ce qui est important cest de
confronter les élèves à des situations utilisant
différentes techniques (pliage, calque, miroir,
gabarit) mettant en évidence des phénomènes de
déplacement avec ou sans retournement.

• La manipulation dobjets occupe une place
  importante et essentielle au cycle 3 à condition
  dêtre accompagnée systématiquement(pareil, pas
  pareil? CE2)
• Favorise le déplacement mental des figures et
  donc lanticipation..
• Le recours à différentes techniques puis la
  découverte de leur équivalence
• La construction du symétrique dune figure sur
  papier quadrillé occupe une place très limitée
  dans le travail sur la symétrie au cycle3.

40
Au cycle 3, les trois procédés  pliage, calque
et miroir sont privilégiés.

• Sur papier quadrillé, laxe de symétrie choisi
  est soit une des lignes du quadrillage soit une
  des diagonales  dans quelques cas seulement la
  figure coupera laxe de symétrie.
• La construction du symétrique dun point à la
  règle et à léquerre relève du collège.

41

• Bien distinguer ce qui relève dune seule figure
• avec les deux types de question  admet-elle ou
  non axe de symétrie ? cette droite est-elle axe
  de symétrie pour la figure ?
• et ce qui relève a priori de deux figures avec la
  tâche de construire le symétrique dune figure
  par rapport à droite.
• Les deux approches se rejoignent à travers la
  tâche de compléter une figure pour que telle
  droite soit axe de symétrie de la figure globale.

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Dire quune figure présente un axe de symétrie
cest dire

• lorsque lon plie la figure selon cet axe les
  deux parties de la figure se superposent,
• que la figure est superposable à elle-même après
  retournement,
• que si lon place un miroir sur laxe, ce que
  lon voit dans le miroir se superpose à la
  seconde partie de la figure.

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6- Les figures planes correspondent certes à des
empreintes de faces de solides mais existent
aussi indépendamment des solides.

• Démarche 1 partir de qui est le plus simple
  mathématiquement c'est-à-dire la dimension 0  le
  point, pour passer à la dimension 1 avec tout
  dabord le segment, la demi-droite, la droite,
  puis la dimension 2 avec les formes planes
  (triangle, quadrilatère), pour passer enfin à la
  dimension 3 (polyèdre, non polyèdre).
• Démarche 2 partir des objets pour en arriver aux
  solides puis aux formes planes par empreintes des
  faces puis enfin aux segments, droites et
  demi-droites

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Aujourdhui, le concept didactique de dialectique
a permis de mettre en évidence

• Les objets de lespace et du plan ont certes des
  liens mais ils ont aussi des spécificités et
  considérer quil y a un ordre dapproche est un
  leurre.
• Tantôt travailler sur les objets du plan sans se
  préoccuper des objets de lespace,
• Tantôt travailler ceux de lespace sans se
  préoccuper des objets du plan en tant que tels
  (seules les relations dincidence sont alors
  étudiées),
• Tantôt établir des liens entre espace et plan
  (empreinte patron, perspectives) correspondent
  aux directives actuelles.

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Une situation de reproduction de solide  les
élèves ont sous les yeux un solide et doivent et
réaliser une copie conforme 

• Si les élèves disposent dun catalogue de formes
  planes et doivent dabord réaliser une
  commande  la situation pose le problème du
  choix et du nombre de formes planes qui
  constituent le solide.
• Si les élève ne disposent pas du catalogue, se
  pose en plus le problème de la désignation et des
  propriétés des formes planes quil leur faut
  commander.

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• Si les élèves nont pas à réaliser de bons de
  commande, le problème est centré sur la méthode
  qui permette de trouver le nombre de formes
  planes dont ils ont besoin exactement, celles-ci
  sobtenant pas empreinte des faces.
• Si les élèves doivent reproduire le solide avec
  les faces déjà prédécoupées, se pose le problème
  de lagencement de celles-ci pour réaliser le
  solide.
• Lactivité de reproduction de solides selon les
  contraintes apportées permet de faire travailler
  ou non la spécificité des formes planes qui
  constituent les faces.

47
7-Lutilisation de tracés à main levée joue un
rôle important

• dans la mise en place dimages mentales relatives
  au parallélisme à la perpendicularité et à la
  symétrie.
• Ainsi très souvent on demandera aux élèves
  danticiper la position du symétrique dune
  figure par rapport à un axe donné, la position de
  la droite perpendiculaire à une droite donnée
  passant par un point donné
• Ou de donner son avis sur des positions à main
  levée.
• Aide à la reconnaissance des figures usuelles
  lorsque celles-ci ne sont pas dans leur position
  prototypique.
• Aide à la distinction dessin/figure.

48
8-Si lenseignant utilise les notations
géométriques, quil ne les exige pas des élèves
mais quil utilise les notations conventionnelles.

• Notations spécifiques pour désigner point,
  droite, segment, longueur de segment.

49
9-Les activités qui permettent dacquérir les
compétences sur le cube et le pavé concernent
dautres solides  prisme, pyramide, sphère,
cylindre, cône.

• Classement, description, reconnaissance à partir
  dempreintes ou de prises de vue..
• Le travail sur la perspective cavalière relève du
  collège  au cycle 3 seules des activités de
  lecture de telles représentations sont
  envisagées  reconnaissance de certains solides
  ou mise en correspondance du solide réel avec une
  représentation en perspective.

50
9-Lagrandissement et la réduction.

• concernent la réalisation de maquettes et de
  plans
• mais il peut sagir aussi dagrandir ou réduire
  une figure connaissant le coefficient de
  proportionnalité ou connaissant les longueurs des
  deux côtés qui se correspondent.

51
B)Quelques réflexions didactiques
52
Quelques résultats de recherche

• Limites dun enseignement par ostention qui
  laisse peu de place à lexpérience.
• La leçon de choses transposée en cours de maths
  (de lobservation guidée, un peu de manipulation
  et un rôle hypertrophié de la définition).
• Rupture entre dessin et figure (objet de lespace
  physique ou représentation dun objet idéal).

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Les différentes conceptions sous jacentes à un
même concept

• Exemple de la perpendicularité 
• droites qui font un angle droit,
• deux côtés de léquerre, 
• horizontale/verticale du quadrillage,
• diagonales dun losange,
• plus courte distance dun point à une droite
  (juste en face),
• droites qui se coupent et faisant apparaître 4
  angles égaux. 

54
Angle droit 

• coins de la feuille,
• coins ou angles du rectangle,
• feuille pliée en quatre,
• équerre,
• passage dun angle aigu à un angle obtus,
• 4 droits font un plein

55
Parallélisme 

• les deux côtés de la règle,
• bandes, bords de la feuille,
• routes, rails de chemin de fer,
• droites  penchées pareil ,
• les perpendiculaires à une droite,
• côtés opposés de quadrilatères particuliers,
• deux droites qui nont pas de point
  dintersection,
• deux droites qui ne se rencontrent pas,
• écart constant entre deux droites,
• deux droites ayant même direction.

56
Objets de dimension 0, 1 ou 2 ?

• Quest-ce quun triangle ?
• la donnée de trois points alignés (dimension 0),
• la donné de trois segments appelés côtés qui se
  coupent deux à deux (dimension1),
• la donnée dune forme globale que lon reconnaît
  et identifie parmi dautres et qui sapparente à
  un objet familier  un chapeau pointu par exemple
  (dimension 2).

57
Ce qui est demblée pour lélève est reconnu
comme un triangle (objet 2D) ne se décompose pas
perceptivement comme un réseau de figures 1D

• En maternelle ,utilisation de gabarits , les
  élèves apprennent à en faire le tour en
  développant des habiletés motrices  une main qui
  tient lobjet lautre qui tient le crayon. Cet
  apprentissage se poursuit au CP.
• Utiliser la règle pour tracer un triangle cest
  sappuyer sur le fait quune figure 2D est un
  réseau de figures 1D  cela ne va pas de soi pour
  lélève mais aucun apprentissage réel nest
  effectué. La répétition tenant lieu
  dapprentissage.

58
Assemblage par superposition ou assemblage par
juxtaposition?

• La première figure apparaît demblée comme une
  juxtaposition de figures élémentaires, la seconde
  comme une superposition de figures élémentaires.
• Rien nempêche de voir la première figure comme
  la superposition de carrés et de rectangles (les
  bras appartenant au même rectangle, les jambes
  appartenant au même rectangle) il suffirait de ..
• En revanche il y a une résistance intrinsèque à
  voir la seconde figure comme une réunion de
  figures par juxtaposition (trapèzes, triangle).

59
Lintérêt didactique

• Pour passer dun assemblage par superposition à
  un assemblage par juxtaposition, le recours à des
  pièces de puzzle manipulables ou au coloriage
  savère indispensable.
• Pour passer dun assemblage par juxtaposition à
  un assemblage par superposition,il faut prolonger
  des traits (acte graphique)
• Le prolongement de tracés joue un grand rôle dans
  le passage des figures 2D aux figures 1D.

60
Les différents instruments pour construire ou
reproduire et leur statut dans la compréhension
de la figure 2D ou 1D

• Exemple de la construction du bonhomme 
• lélève dispose dobjets matériels 
• - les pièces du puzzle qui produisent des
  figures 2D
• - des pailles qui produisent des figures 1D

61
Lélève dispose dobjets de traçage

• les gabarits des pièces du puzzle ou des pochoirs
  qui produisent des figures 2D,
• la règle non graduée et léquerre qui produisent
  des figures 1D et 2D,
• le compas qui produit des figures 1D et la règle
  qui produit des figures 1D.

62

• Les objets matériels permettent des opérations de
  retournement de pièces, dajustement des formes
  deux à deux, or ces opérations ne sont plus
  possibles avec des objets de traçage.
• Lélève passe alors dun monde où lespace
  sorganise en fonction des gestes du corps à un
  monde où lespace est déterminé uniquement en
  fonction des gestes techniques, c'est-à-dire
  déterminés par rapport aux possibilités
  productives dun instrument.

63
Les instruments que lon prend pour le reproduire
commandent la manière de le regarder.

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