SAMPLING

1
SAMPLING QUANTIZATION

• Hendrawan
• hend_at_telecom.ee.itb.ac.id

2
Sampling Quantization

• Resolusi spatial (sampling)
• Menentukan detail citra terkecil yg masih
  perceivable
• Berapa frekuensi sampling terbaik?
• Resolusi gray-level (quantization)
• Perubahan visible/noticeable harga graylevel
• Apakah ada quantizer optimal?

3
Resolusi Spatial (Sampling)
4
Resolusi Gray-Level (Quantization)
5
Resolusi Gray-Level (Quantization)
6
Sampling Kuantisasi Citra
7
1-D
8
2-D Comb Function
9
Sampling Citra
10
Spektrum Sampling
11
Contoh Spektrum Hasil Sampling
12
Citra Bandlimited

• Fungsi f(x,y) dikatakan band limited jika Fourier
  transform
• F(u,v) 0 untuk u gt u0, v gt v0
• u0, v0 ? Bandwidth dari citra pada arah x- dan y

13
Frekuensi Foldover

• Frekuensi sampling
• Mis us dan vs frekuensi sampling
• maka us gt 2u0 vs gt 2v0
• atau ?x lt 1/2u0 ?y lt 1/2v0
• Frekuensi di atas setengah frekuensi sampling
  dikatakan foldover frequencies

14
Teorema Sampling

• Citra bandlimited f(x,y) dg F(u,v) sbg Fourier
  transformnya dan F(u,v) 0 utk u gt u0, v gt
  v0 dan disampling uniform pada grid rectangular
  dg spacing ?x dan ?y, dp di recover tanpa error
  dari harga-harga sampel f(m ?x ,n ?y) asalkan
  kecepatan sampling lebih besar drpd Nyquist rate
• 1/ ?x us gt 2u0, 1/ ?y vs gt 2v0

15
Rekonstruksi
16
Aliasing

• Jika us dan vs lebih kecil Nyquist rate,
  replikasi periodik akan overlap, menghasilkan
  spektrum yang terdistorsi
• Overlapping ini menyebabkan foldover frequencies
  muncul pada citra original sbg frekuensi di bawah
  us/2, vs/2 pada citra tersampel ? aliasing

17
Contoh Aliasing

• Citra original dan hasil recovery dari sampel

18
Kuantisasi

• Uniform quantizer
• Optimal quantizer

19
Scalar Quantizer
Kadang digunakan konvensi ini
20
Contoh Gelombang Terkuantisasi
21
Lloyd-Max Scalar Quantizer(Non Uniform Quantizer)

• Problem Utk suatu sinyal x dg pdf fx(x) yg
  diketahui, cari quantizer dg M representative
  level shg
• Solusi Lloyd-Max quantizer Llyod, 1957, Max,
  1960
• M-1 decision threshold setengah
• antara level-level representatif
• M level representatif pd pd centroid
• pdf antara dua decision threshold
• berturutan
• ? kondisi utk optimal scalar quantizer

22
Disain Iterative Lloyd-Max Quantizer

1. Pilih satu set initial level representatif
2. Kalkulasi decision threshold
3. Kalkulasi level-level representatif baru
4. Ulangi 2 dan 3 sampai tdk ada reduksi distorsi

23
Lloyd-Max Quantizer untuk Distribusi Uniform

• Misalkan X adalah uniform pd a,b)
• Lloyd-Max quantizer mempartisi a,b) secara rata
  ke dlm M interval
• Nilai representatif adalah pusat dari
  interval
• Quantizers jenis ini dikenal sbg uniform scalar
  quantizers

24
Contoh Disain Lloyd-Max Scalar Quantizer

• Disain 2-bit Lloyd-Max scalar quantizer utk suatu
  sumber yg mempunyai pdf berikut
• 2-bit quantizer output ? 4 nilai representatif ?
  M 4

25
Contoh Disain Lloyd-Max Scalar Quantizer

• Llyod-Max quantizer
• Kalkulasi decision threshold optimum utk nilai
  rekonstruksi yg diberikan
• Kalkulasi nilai rekonstruksi optimum
• Stop jika d(MSE) lt ?
• 1. Inilisasi uniform quantization
• 2. Kalkulasi decision threshold pertengahan
  antara nilai representatif

26
Contoh Disain Lloyd-Max Scalar Quantizer
27
Contoh Disain Lloyd-Max Scalar Quantizer

• Kalkulasi distorsi

28
Contoh Disain Lloyd-Max Scalar Quantizer

• 3. Kalkulasi nilai representatif baru

29
Contoh Disain Lloyd-Max Scalar Quantizer
30
Contoh Disain Lloyd-Max Scalar Quantizer

• Kalkulasi distorsi

31
Contoh Disain Lloyd-Max Scalar Quantizer

• Cari decision threshold baru
• Update distorsi
• Dst

32
Uniform Quantizer vs Lloyd-Max Quantizer
33
Contoh Optimum Nonuniform Quantizer

• Algoritma Llyod-Max utk 4 level dg distribusi
  probabilitas (a) uniform
  (b) Gaussian (c) Laplacian

34
Vector Quantization

• Statistical coding mengeksploitir prob
  kemunculan non-uniform dari simbol yg
  dibangkitkan sumber data ? huffman coding
• Codeword pendek utk simbol sering muncul
• Codeword panjang utk simbol jarang muncul
• Pdf dari citra/video uniform ? statistical
  coding/ quantisasi non-linier tidak berguna
• Situasi akan berbeda untuk grup dari pixel yang
  berdekatan ? korelasi lokal
• Kuantisasi langsung MxN blok sampel ? sbg sampel
  sbg vektor dg dimensi MxN

35
Joint Distribution

• Contoh distribusi dari pasangan 256 level yg
  berdekatan secara horizontal

36
Efek Dimensi Vektor pada Occupancy Ratio dan
Entropi
37
Vektor Representatif

• Ada redundancy statistical dari citra jika grup
  dari elemen-elemen diperlakukan sbg vektor (krn
  ada korelasi lokal)
• Pada implementasi praktis VQ, kompresi datang
  dari pengalokasian satu set vektor representatif
  ? dg distorsi diminimumkan

38
Vector Quantization

• Tiap blok image memp. N pixel
• Anggap tiap blok image sbg vektor x N-D
• Kuantisasi (Quantization)
• yk codewords atau code vectors
• Set dari yk disebut codebook

39
Vector Quantization

• Jika jumlah codewords K, maka jumlah bit yg
  diperlukan utk mengirimkan satu vektor adalah
  log2K
• Distosi D
• diberikan probability density function p(x) dan
  ukuran distorsi d (x,y), rata-rata distorsi

40
Vector Quantization

• Diberikan yk, Rk harus dipilih shg
• set dari x dimana yk adalah titik
  terdekat
• Diberikan yk, Rk harus dipilih
• Dlm kasus diskrit, optimal yk, adalah rata-rata
  dlm Rk

41
Generalized Lloyd Algorithm(LBG Algorithm,
K-means Algorithm)

• Linde, Buzo, dan Gray, 1980
• Diberikan p(x), atau diberikan satu set training
  vectors
• (1) Mulai dg set initial yk, yaitu, initial
  codebook
• (2) Dg yk saat ini, kalkulasi Rk
• (3) Ganti tiap yk dg centroid of Rk
• (4) Jika distorsi overall D lebih kecil dari
  suatu threshold, stop. Kalau tdk go to (2)
• Hanya memberikan local optimum. Pemilihan yg
  tepat dari initial codebook sangat penting

42

• Pemilihan initial codebook
• Subset representatif dari training vectors
• Scalar quantization dlm tiap dimensi
• Splitting
• Nearest Neighbor (NN) algorithm Equitz, 1984
• Mulai dg keseluruhan training set
• Gabung dua vectors terdekat, representatif dg
  mean
• Ulangi sampai jumlah vecor yg diinginkan tercapai

43
Image Coding
44
Coding

• Setelah code-word dibangkitkan, coding dilakukan
  dg membandingkan input vektor yg akan dikodekan
  dg keseluruhan code-book
• Quantized vektor adalah code-book terdekat dari
  input vektor
• VQ coding incoming vektor dinyatakan dg index
  code-book terdekat
• VQ decoding incoming index dikonversikan ke
  vektor representatif

45
Tugas

1. Perhatikan suatu deretan sampel-sampel berikut 7
   6 5 9 10 6 7 9 2 12 13 10 2 8 8 5 4 2 1 35.
   Untuk N2, disain codebook dg k-means algorithm
   dg jumlah codebook 3. Lakukan sampai iterasi ke
   3, nyatakan masing-masing vektor representatifnya
   (codebook) dan berapa distorsinya?