Universidad de los Andes-CODENSA

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Programación Cuadrática y Sistemas
Lineales.Programación Entera y Métodos de Corte.

• Universidad de los Andes-CODENSA

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Programación Lineal Entera-Mixta

• Un problema de programación lineal entera-mixta
  (PPLEM) es un PPL en el que algunas de las
  variables toman valores enteros. Si todas las
  variables enteras son binarias (0/1) el problema
  se denomina 0/1 PPLEM. Si todas las variables son
  enteras, el problema se denomina problema de
  programación lineal entera (PPLE).
• Hay dos técnicas de resolución de este tipo de
  problemas
• La de bifurcación y acotación (BA) y la de los
  cortes de Gomory (CG). La BA es la que más se
  utiliza y la más eficiente computacionalmente.
  También hay una nueva técnica Hibrida de
  Bifurcación y Corte (BC). Las variables binarias
  son muy potentes para modelar ciertas no
  linealidades de diversa naturaleza que ocurren
  con una cierta frecuencia en Ingeniería. Algunos
  ejemplos son
• Conjuntos alternativos de restricciones.
• Restricciones condicionales.
• Funciones discontinuas.
• Funciones no convexas a trozos.

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• Un PPLEM en forma estándar es de la forma
• Minimizar
• sujeto a
• donde N se utiliza para denominar al conjunto 0,
  1,2, . Un ejemplo de la región factible en este
  caso se muestra a continuación en la figura 1
• Figura 1. Conjunto de soluciones factibles de un
  PPLEE.

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• El método de bifurcación y acotación resuelve el
  PPLEM mediante una secuencia de PPL que se
  obtiene relajando las condiciones de integralidad
  e incluyendo restricciones adicionales.
• El número de restricciones adicionales aumenta a
  medida que el método progresa. Estas
  restricciones separan la región factible en
  subregiones factibles complementarias.
• Inicialmente se fijan cotas inferiores y
  superiores de la solución óptima. La estrategia
  de bifurcación disminuye la cota superior y
  aumenta la inferior. La diferencia de ambas es
  una medida de la proximidad de la solución actual
  a la óptima, si ésta existe.
• Cuando se minimiza, se puede encontrar una cota
  inferior relajando las restricciones de
  integralidad del problema original y resolviendo
  el PPL resultante. De la misma forma, el valor de
  la función objetivo para cualquier solución del
  problema inicial es una cota superior del valor
  óptimo.
• Este método puede parar debido a tres razones
• El problema actual no es factible.
• La solución actual satisface las condiciones de
  integralidad.
• La cota inferior obtenida es mayor que la
  superior actual.
• Una bifurcación se aborta por infactibilidad,
  integralidad o acotación.

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• Para resolver un PPLEM se tienen las siguientes
  etapas
• Etapa 1 Iniciación. Fijar una cota superior (8)
  y una inferior (-8) a la solución óptima.
  Resolver el PPLEM relajando las condiciones de
  integralidad. Si este problema es infactible, el
  original también lo es y no hay solución. Si la
  solución es entera, es óptima. En otro caso, la
  cota inferior se actualiza con el valor de la
  solución óptima obtenida.
• Etapa 2 Bifurcación. Usando una variable
  candidata a entera xk que no es entera, se
  generan dos problemas, por bifurcación, a partir
  del original, tal como sigue. Si el valor de la
  variable xk es a.b, donde a y b son sus partes
  entera y fraccional, respectivamente, el primer
  problema bifurcado es el original relajado con la
  restricción xk a, y el segundo, el original
  relajado con la restricción complementaria xk a
  1. Estos problemas se sitúan en una lista de
  procesado y se consideran secuencialmente o en
  paralelo para su resolución.
• Etapa 3 Solución. Resolver el problema siguiente
  en la lista de procesado.

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• Etapa 4 Actualización de cotas. Si la solución
  del problema actual es entera y el
  correspondiente valor de su función objetivo es
  menor que la cota superior en curso, se actualiza
  ésta a éste y se almacena el problema como
  candidato a óptimo. En otro caso, si el valor de
  la función objetivo está entre ambas cotas, se
  actualiza la cota inferior con dicho valor, y se
  procede a bifurcar añadiendo los dos problemas a
  la lista de procesado.
• Etapa 5 Corte. Si la solución suministrada por
  el problema en curso es entera, no es posible la
  bifurcación, por lo que se aborta la bifurcación
  debido a la integralidad de la solución. Si la
  solución no es entera y el valor de la función
  objetivo es mayor que la cota superior actual, no
  se puede mejorar la solución por esa rama, por lo
  que se aborta el proceso por esa rama, debido a
  acotación. Si el problema en curso no es
  factible, no es posible continuar por esa rama,
  por lo que se aborta el proceso, debido a
  infactibilidad.
• Etapa 6 Optimalidad. Si la lista de procesado
  está no vacía se continúa con la Etapa 3. En otro
  caso, el proceso concluye. Si hay un candidato a
  óptimo, éste da la solución. En otro caso, el
  problema es infactible. Este algoritmo revuelve
  la solución óptima o informa sobre su no
  existencia en la Etapa 1 ó la 6.

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• Cualquier variable que no sea entera puede ser
  candidata para la bifurcación. La elección de
  cuál elegir es un problema que debe resolverse
  basándose en el conocimiento sobre el problema de
  que se trate. Los problemas de la lista de
  procesado pueden procesarse mediante las
  estrategias de anchura primero o altura
  primero o una mezcla de ambas. La figura 2
  muestra ambas alternativas.
• Figura 2. Estrategias de (a) búsqueda en
  anchura, y (b) búsqueda en profundidad.
• Una estrategia de altura primero genera
  rápidamente problemas restringidos que
  generalmente suministran buenas cotas superior e
  inferior. Además suministra rápidamente problemas
  infactibles y, por tanto, el abortado de las
  ramas. Una estrategia de anchura primero
  procesa problemas muy parecidos, lo cual puede
  explotarse convenientemente. Las técnicas de
  computación paralela pueden explotarse con ambas
  estrategias.

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El Método de Bifurcación y Acotación

• Ejemplo
• Minimizar
• sujeto a
• La región factible es la que se muestra en la
  figura 3.
• Figura 3. Estrategias de (a) búsqueda en
  anchura, y (b) búsqueda en profundidad.

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• Etapa 1 Iniciación. Las cotas son 8 y -8. El
  problema relajado, que se designa como P0, es
• Minimizar
• sujeto a
• con solución, no entera, en el punto P1 en la
  figura x1 5 x2 4.5 Z -9.5.
• Se actualiza la cota superior de -8 a -9.5.
• Etapa 2 Bifurcación. La variable x2, genera los
  dos problemas con las restricciones x24 y x25.
• Problema P1
• Minimizar
• sujeto a

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• Problema P2
• Minimizar
• sujeto a
• Etapa 3 Solución. La solución, no entera
  , del problema P1 es (Punto P2 en la figura)
• x1 4.5 x2 4 Z -8.5
• Etapa 4 Actualización de cotas. Puesto que el
  valor -8.5 está entre las dos cotas, se actualiza
  la cota inferior de -9.5 a -8.5 y se bifurca de
  nuevo.
• La variable x1, genera los problemas con las
  restricciones x14 y x15.
• Problema P3
• Minimizar
• sujeto a

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• Problema P4
• Minimizar
• sujeto a
• Etapa 5 Corte. No ocurre nada en esta etapa.
• Etapa 6 Optimalidad. Puesto que la lista de
  procesado no está vacía se va a la Etapa 3 con
  P2.
• Etapa 3 Solución. El problema P2 es infactible,
  por lo que no ocurre nada en esta etapa.
• Etapa 4 Actualización de cotas. No ocurre nada.
• Etapa 5 Corte. Puesto que el problema es
  infactible, se aborta esta rama.
• Etapa 6 Optimalidad. Puesto que la lista de
  procesado no está vacía se va a la Etapa 3 con
  P3.
• Etapa 3 Solución. La solución, entera, del
  problema P3 (punto P3 de la figura 3) es x1 4
  x2 4 Z -8

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• Etapa 4 Actualización de cotas. Por ser entera
  , y estar el valor -8 entre las
  cotas, se actualiza la cota superior de 8 a -8,
  y se almacena este problema como candidato a
  óptimo.
• Etapa 5 Corte. Por ser entera, se aborta el
  proceso en esta rama.
• Etapa 6 Optimalidad. Puesto que la lista de
  procesado no está vacía se va a la Etapa 3 con
  P4.
• Etapa 3 Solución. El problema P4 es infactible,
  por lo que no ocurre nada.
• Etapa 4 Actualización de cotas. No ocurre nada.
• Etapa 5 Corte. Por ser no factible, se aborta
  esta rama.
• Etapa 6 Optimalidad. Puesto que la lista de
  procesado está vacía, y hay candidato a óptimo,
  éste da la solución

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El Método de los Cortes de Gomory

• Una alternativa al método anterior es el método
  de los cortes de Gomory. En cada iteración de
  este método, se resuelve el problema original
  relajado incluyendo restricciones adicionales,
  que reducen la región factible sin excluir
  soluciones enteras. En cada iteración se añade
  una restricción adicional, que se denomina corte
  de Gomory. Esta técnica genera progresivamente
  una envolvente convexa de la región factible y de
  esta forma se obliga a satisfacer las condiciones
  de integralidad. La región factible del problema
  es
• Empleando la partición estándar del simplex
  obtenemos
• ó
• Despejando xB se obtiene

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• En forma matricial tenemos
• Empleando la notación estándar del Simplex
• ó
• Sea una variable básica no entera. La fila
  correspondiente a esta variable en la ecuación
  anterior es
• (1)
• Puesto que la solución en curso es básica y
  factible, las variables , al ser no básicas,
  son nulas entonces, , y puesto que
  es no entera, tiene que ser no entera. Por
  otra parte, todo elemento uij puede expresarse
  como la suma de un entero (positivo o negativo) y
  una fracción no negativa menor que 1, es decir
• (2)
• donde para todo j es entero, y para todo
  j es una fracción no negativa menor que 1.

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• Análogamente se puede descomponer como
• (3)
• donde es un entero (positivo o negativo) y
  es una fracción no negativa menor que 1.
• Algunos pueden ser nulos, pero es
  necesariamente positivo.
• Sustituyendo las ecuaciones (2) y (3) en la
  ecuación (1) obtenemos
• ó
• El término de la izquierda tiene que ser entero
  dado que todas las variables lo son, y entonces,
  el de la derecha tiene que ser también entero.
• Adicionalmente, fij para todo j, y
  para todo j son no negativos, por lo que
• es no negativo. El término
  de la derecha de la ecuación anterior
• , es simultáneamente Un
  entero, y menor que una fracción positiva,
• , menor que 1, por lo tanto este termino es un
  entero no positivo.

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• Entonces
• ó
• La última desigualdad se llama el corte de Gomory
  asociado a la variable básica .
• Cuando se quiere resolver un PPLE se utilizan los
  siguientes pasos

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• PASOS
• Cuando se quiere resolver un PPLE se utilizan los
  siguientes pasos
• Paso 1 Iniciación. Resolver el problema inicial
  relajado. Si no es acotado (infactible), parar
  el problema original es no acotado (infactible).
• Paso 2 Control de Optimalidad. Si la solución es
  entera, parar, es la óptima. En otro caso, ir a
  la Etapa siguiente.
• Paso 3 Generación de Corte. Usar una variable
  básica con un valor no entero para generar un
  corte de Gomory.
• Paso 4 Solución del Problema. Añadir un corte de
  Gomory al problema en curso, resolverlo, y
  continuar con la Etapa 2.
• Debe señalarse que el número de restricciones
  crece con el número de iteraciones, ya que se
  añade una nueva en cada una de ellas Por ello, es
  conveniente usar el MPE, ya que el problema
  original se transforma en infactible y el dual en
  no óptimo, pero factible.

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• Ejemplo
• Maximizar
• sujeto a
• cuya función admisible se muestra en la figura 4.
• Figura 4. Ilustración gráfica de los Cortes de
  Gomory.

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• El problema anterior relajado y en forma estándar
  es
• Maximizar
• sujeto a
• la solución de este problema es (punto P1 de la
  Figura)
• z 391.11
• Teniendo
• Si se usa x2 para generar corte obtenemos

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• Por tanto se obtiene
• y el corte es
• ó
• Nótese que el corte puede expresarse en función
  de variables originales x1 y x2. En efecto,
  usando las igualdades del problema relajado en
  forma estándar, x3 y x4 se expresan

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• Para obtener el primer corte (línea de trazos de
  la figura 4)
• Así se reduce la región factible sin excluir
  soluciones enteras. El problema a resolver es
  ahora
• Maximizar
• sujeto a
• Nótese que el corte de Gomory se ha introducido
  usando la variable adicional x5.
• Su solución es

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• Usando x1 para generar un nuevo corte, puesto que
• Por tanto, se puede escribir
• y el corte queda
• Este segundo corte es función de las variable
  originales x1 y x2

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• El problema ahora consiste en
• Maximizar
• sujeto a
• Cuya solución es

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• Usando x2 para generar un nuevo corte, puesto que
  tenemos
• Por ello
• y el corte resulta
• El tercer corte en función de las variables
  originales resulta

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• Finalmente el problema es
• Maximizar
• sujeto a
• con solución

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• Puesto que es entera es la solución del problema
  original buscada

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Bibliografía

• Formulación y Resolución de Modelos de
  Programación Matemática en Ingeniería y Ciencia,
  Enrique Castillo, Antonio J. Conejo, Pablo
  Pedregal, Ricardo García, Natalia Alguacil, 2002.