Universidad de los Andes-CODENSA

1
Métodos de Búsqueda basados en el Gradiente y el
Gradiente Conjugado.Métodos de Búsqueda Directa.

• Universidad de los Andes-CODENSA

2
Algoritmos de Optimización sin Restricciones

• Los métodos para obtener la solución de un PPNL
  se basan en obtener una sucesión de puntos tales
  que su límite sea una solución óptima del
  problema que se considera. Para asegurar la
  convergencia debe suponerse que el PPNL es un
  problema convexo diferenciable. Sin embargo,
  estos algoritmos se aplican aún cuando no se
  satisfacen estas condiciones.
• El criterio de parada se basa en las CKKT. Cuando
  éstas se satisfacen con una cierta tolerancia, se
  para el proceso iterativo y se toma como mínimo
  el punto correspondiente.
• Considere el problema
• Minimizar
• donde y es una función
  diferenciable para cada .

3

• Los métodos se dividen en dos categorías
• Los que usan información sobre las derivadas. Se
  basan en aplicar métodos numéricos para resolver
  las condiciones necesarias de KKT
• donde x es la solución que se busca.
• Los que sólo usan evaluaciones de la función
  objetivo.
• Utilizan fórmulas de interpolación para estimar
  iterativamente el mínimo de un problema
  unidimensional.
• Si f es convexa, el problema de obtener un óptimo
  es equivalente al de resolver la anterior
  ecuación. Pueden usarse métodos de búsqueda de
  raíces para resolverlo.

4
Búsquedas Lineales con Derivadas Método de Newton

• Puesto que se tiene
• Si se quiere que sea cero se obtiene
• Considerando que obtenemos
• Que utiliza las derivadas primera y segunda de f.

5
Método quasi-Newton o de la Secante

• Reemplazando en la expresión anterior
  por la aproximación
• Se llega a
• Con lo que
• Que solo requiere derivadas primeras.

6

• Ejemplo Método de Newton/Método quasi-Newton
• Minimizar
• Realizando el análisis mediante el método de
  Newton tenemos
• Las derivadas primera y segunda son
• y la sucesión asociada al método de Newton
  resulta
• Nótese que si la sucesión converge al punto
  entonces, tomando límites en ambos lados de la
  relación se obtiene , y
  esta ecuación tiene como su única solución
  .

7

• Si realizamos el análisis mediante el método
  quasi-Newton obtenemos
• El método de Newton requiere sólo un punto
  inicial, pero el quasi-Newton necesita dos puntos
  para comenzar. La siguiente tabla muestra las
  algunas iteraciones de ambos métodos, cuando se
  utiliza como punto inicial x1 0, para el método
  de Newton, y x1 0 y x2 1/3 para el
  quasi-Newton.

8

• Tabla 1. Resultados de los Métodos de Newton y
  quasi-Newton.

9
Búsquedas Lineales sin Derivadas Ajuste Cuadrático

• Figura 1. Función objetivo a minimizar junto a
  una parábola interpolante.
• El método de ajuste cuadrático usa una
  interpolación parabólica de f, basada en tres
  puntos. Supóngase que se trata de minimizar una
  función convexa f(x), y que se tienen tres puntos
  a lt b lt c tales que

10

• Sin pérdida de generalidad se puede suponer que
  una de las desigualdades es estricta.
  Seguidamente se ajusta una parábola pasando por
  los tres puntos (a, f(a)), (b, f(b)) y (c, f(c)).
  Su vértice es
• Si los tres puntos están alineados, el
  denominador degenera a cero y la expresión
  anterior no es válida. Sin embargo, esto no
  ocurre si se cumple al menos una de las
  condiciones f(a)gtf(b) y f(b)ltf(c).
• Ahora se tiene un conjunto de cuatro puntos (a,
  b, c, v) para elegir los tres nuevos puntos
  necesarios para continuar con el proceso. El
  criterio de selección de estos tres puntos se
  basa en satisfacer la condición inicial.
• Hay tres casos a considerar
• Caso 1 v lt b. Hay dos posibilidades Si
  el mínimo de f está en el intervalo (a,
  b), entonces el nuevo conjunto de tres puntos es
  . Por otra parte, si
  f(b)ltf(v), el mínimo de f está en el intervalo
  (v, c), por ello, el nuevo conjunto de tres
  puntos resulta .

11

• Figura 2. Ilustración de los casos 1a y 1b de la
  búsqueda lineal mediante interpolación cuadrática
• Caso 2 v gt b. Similarmente,
  , se elige , y
  si
• , se elige
  .
• Caso 3 v c. En este caso se recobran los tres
  puntos iniciales, y no se puede decidir cuál es
  el nuevo intervalo reducido. Para evitar este
  problema, se reemplaza b por (a b)/2 y se
  repite el proceso de nuevo, con la garantía de
  que la nueva situación estará en los Casos 1 ó 2.

12
Optimización Multidimensional sin Restricciones

• Sea el problema
• Minimizar
• Donde y es
  diferenciable. Este problema se puede resolver
  por el método de descenso, que genera un sucesión
  de puntos tales que
• 
  hasta que se satisface una condición de
  parada.
• El método consiste en iterar las etapas
• Problema de generación de una dirección de
  descenso Dado x(t), el problema consiste en
  obtener una dirección d(t) tal que un ligero
  desplazamiento a partir de x(t) en tal dirección
  disminuya el valor de la función objetivo. d es
  una dirección descendente de f en x si existe un
  número positivo tal que

13

• Problema de búsqueda lineal Una vez obtenida la
  dirección descendente d(t) de f en el punto x(t),
  el problema consiste en decidir el tamaño del
  desplazamiento, , tal que el nuevo punto
  tenga un valor asociado de la
  función objetivo menor que el del punto
  original x(t), es decir, elegir
• tal que
  para generar el
  nuevo punto
• . En muchos
  casos, el desplazamiento se calcula de forma
  que se minimice la función objetivo en esa
  dirección d(t).
• Lema 1 Sea diferenciable en
  . Sea d un vector de . Si
• , entonces d es una
  dirección de descenso de f en x.
• Figura 3. Ilustración de las direcciones de
  descenso en R2.

14

• Los algoritmos que se basan en direcciones
  descendentes tienen la siguiente estructura
• Algoritmo 1 (Dirección descendente)
• Etapa 1 (Valor inicial). Elegir un punto inicial
  , y hacer t 1.
• Etapa 2 (Generación de la dirección de
  búsqueda). Obtener una dirección descendente
  d(t).
• Etapa 3 (Comprobación de la Optimalidad). Si
  d(t) 0, entonces parar (x(t) es un punto KTT
  del problema). En otro caso, continuar.
• Etapa 4 (Búsqueda lineal). Encontrar el salto,
  ,que resuelve el problema unidimensional
• Minimizar
• sujeto a

15

• Etapa 5 (Actualizar el punto). Hacer
• Etapa 6 (Criterio de parada). Si
  , entonces parar. En otro caso, hacer t
  t 1, e ir a la Etapa 2.
• Algoritmo 2 (Regla de Armijo)
• Figura 4. Ilustración gráfica de la regla de
  Armijo.

16

• Etapa 1 (Valor inicial). Elegir
  y . Valores típicos son
• y ó . Se toma .
• Etapa 2 Si ir a la Etapa
  3. En otro caso, ir a la Etapa 4.
• Etapa 3 Si parar, y
  hacer . En otro caso, hacer
  
• e ir a la Etapa 2.
• Etapa 4 Si parar.
  En otro caso, hacer e ir a la
  Etapa 3.

17
Determinación de las Direcciones de Descenso

• El criterio de parada suele ser
  , que se basa en la condición necesaria de
  optimalidad y en la
  continuidad de .
• Los métodos más importantes para seleccionar la
  dirección de descenso son
• Método de la máxima pendiente. Este método usa ,
  como dirección de
  descenso en x(t). Si se
  cumple
• Método de Newton. Este método usa
• Si es definida positiva y
  su inversa también lo es, y
  entonces d(t) es descendente

18

• Métodos quasi-Newton. La dirección de búsqueda
  del método de Newton resulta indefinida si la
  matriz hesiana es singular. Además, el esfuerzo
  computacional puede resultar muy grande para
  problemas de dimensión modesta. Para resolver
  este problema se aproxima por una
  matriz definida positiva B(t),que se actualiza
  sucesivamente para que converja a la matriz
  hesiana en el punto solución.
• La dirección de búsqueda se calcula así
• Un ejemplo es la fórmula de Davidon-Fletcher-Powe
  ll (DFP), que actualiza mediante
• donde p(t) x(t1)-x(t),
  , y H(1) es la matriz
  identidad In, y la de Broyden- Goldfarb-Shanno
  (BFGS) que actualiza mediante
• donde .

19

• Un Método general. Los métodos anteriores son
  casos particulares de considerar una
  transformación del gradiente cambiado de signo
  mediante una matriz definida positiva A(t), es
  decir, para todo x?0.
• Sea ,entonces
• Método del gradiente conjugado. Este método
  utiliza
• que es descendente, ya que, si
  ,se puede demostrar que
• Hay varias variantes de este método La de
  Fletcher-Reeves, que usa la fórmula

20

• El método de Polak-Ribière define este parámetro
  como

21

• Ejemplo Método de la Máxima Pendiente
• Minimizar
• Etapa 1 (Punto inicial). Se toma x(1) (0, 0)T.
• Etapa 2 (Generación de la dirección de
  búsqueda). En la iteración t, se usa la dirección
  de búsqueda
• En la primera iteración
• Etapa 3 (Comprobación de optimalidad). Como
  d(1)?0 se trata de una dirección de descenso.
• Etapa 4 (Búsqueda lineal). Para calcular el
  salto, se resuelve el problema
• Minimizar

22

• Puesto que
  , la función objetivo
  de este problema es
  . Como
  es convexa, la condición suficiente
  de optimalidad es . Por tanto, se
  resuelve y
  se obtiene a11/4.
• Etapa 5 (Actualización). Sea
• Figura 5. Progreso del método del gradiente.
• Etapa 6(Comprobación de convergencia). Puesto
  que es grande, se repite con
  , y t2.

23

• Etapa 2 (Generación de la dirección de
  búsqueda).
• Etapa 3 (Comprobación de optimalidad). Como
  d(2)?0 se trata de una dirección de descenso.
• Etapa 4 (Búsqueda lineal). Como
• se tiene
  , y el
  problema lineal es
• Minimizar
• Como es
  convexa, se resuelve
  y se obtiene .
• Etapa 5 (Actualización). Se hace t 3,
  entonces

24

• Ejemplo Método de Newton
• La matriz hesiana y su inversa son
• Etapa 1 (Punto inicial). Se toma x(1) (0, 0)T
  .
• Etapa 2 (Generación de la dirección de
  búsqueda). Puesto que
• 
  resulta
• Etapa 3 (Comprobación de optimalidad). Como
  d(1)?0 y f es estrictamente convexa, se trata de
  una dirección de descenso.

25

• Etapa 4 (Búsqueda lineal). El problema lineal
  es
• Minimizar
• Puesto que
  se obtiene
  y el óptimo se alcanza en
  .
• Etapa 5 (Actualización). Se hace
  
  .
• Etapa 6 (Comprobación de convergencia). Puesto
  que se trata del óptimo.

26

• Ejemplo Método quasi-Newton
• Etapa 1 (Punto inicial). Se toma
• Por tanto coincide con el método de la máxima
  pendiente, resultando t 2 y
• .
• Etapa 2 (Generación de la dirección de
  búsqueda). Para usar la fórmula de DFP se
  necesitan los vectores y matrices

27

28

• Ejemplo Método del Gradiente Conjugado.
• Etapa 1 (Punto inicial). Se toma x(1) (0, 0)T.
  De nuevo, la dirección de búsqueda es
  , por lo que no se repite, y se
  hace
• t2 y x2 (0,1/2)T.
• Etapa 2 (Generación de la dirección de
  búsqueda). Se obtiene
• y se calcula la dirección de búsqueda como

29

• Etapa 3 (Comprobación de optimalidad). Como d(2)
  ?0, se trata de una dirección de descenso.
• Etapa 4 (Búsqueda lineal). Para calcular el
  salto, se resuelve el problema
• Minimizar
• puesto que
• Se obtiene
• el valor óptimo de la búsqueda lineal es a21 gt
  0.
• Etapa 5 (Actualización). Se hace

30

• Etapa 6 (Comprobación de optimalidad). Puesto
  que x(3) satisface
• se ha alcanzado el óptimo, y el algoritmo para.
• Para el caso de funciones cuadráticas convexas,
  el óptimo se alcanza tras un número de
  iteraciones igual a la dimensión de la matriz
  hesiana.

31
Algoritmos para la Optimización con Restricciones

• El problema de la optimización con restricciones
  puede resolverse mediante los siguientes métodos
• Métodos duales Resuelven el problema dual en vez
  del problema primal.
• Métodos de penalización Transforman el problema
  restringido en uno nuevo en el que las
  restricciones e incorporan a la función objetivo
  por medio de una selección adecuada de parámetros
  de penalización. Estos algoritmos transforman el
  problema restringido en una sucesión de problemas
  sin restricciones.
• Métodos de linealización parcial Extienden los
  algoritmos de dirección descendente al caso de
  restricciones. Ahora se fuerza a que las
  direcciones sean admisibles.
• Método de los multiplicadores o del lagrangiano
  aumentado Son métodos de penalización cuadrática
  que usan el lagrangiano aumentado como función
  objetivo.

32

• Métodos de programación secuencial cuadrática
  Resuelven una secuencia de problemas de
  programación cuadrática que aproximan el problema
  original. Cuanto mayor sea el número de
  iteraciones mayor será la aproximación obtenida.

33
Métodos Duales

• La principal razón para usar los métodos duales
  es que en la mayoría de los casos resulta una
  función cóncava en un conjunto convexo muy
  sencillo, por lo que no tiene máximos locales no
  globales. Deben plantearse dos cuestiones
• Cómo obtener la solución del primal tras
  resolver el dual.
• Cómo resolver el problema dual.
• Sea el problema
• Minimizar
• Sujeto a
• Donde
  son continuas.

34

• El problema dual es
• Maximizar
• Donde la función dual es
• Con dominio de definición
• Para evaluar la función dual para ?(t) y µ(t) es
  necesario resolver el problema
• que se llama Problema lagrangiano.
• Para discutir la primera cuestión, se define el
  conjunto

35

• Si no existe la holgura dual, es decir, ,
  y somos capaces de resolver el problema dual y
  obtener como valores óptimos ,
  entonces cualquier punto factible
  resuelve el problema primal. El teorema
  que sigue justifica que para los problemas
  convexos no existe la holgura dual, y que se
  puede obtener una solución primal basándose en
  las soluciones del problema dual.
• Teorema 1 (Condición suficiente para una solución
  primal basada en la dual.)
• Sea una solución del problema dual
  y supóngase que es diferenciable en
  . Entonces, cualquier elemento
  resuelve el problema primal.

36
Métodos de Penalización

• Los métodos de penalización transforman el
  problema restringido original en una secuencia de
  problemas sin restringir mediante funciones de
  penalización. La idea de convertirlos en
  problemas no restringidos es muy atractiva, pues
  éstos se resuelven muy fácil y eficientemente.
• Puesto que todos los métodos tratan las
  igualdades de la misma forma, éstos se clasifican
  por la forma de tratar las desigualdades. Hay dos
  tipos de métodos
• Métodos del punto exterior. La secuencia de
  soluciones de los problemas sin restricciones
  contiene sólo puntos no factibles (exteriores a
  la región factible).
• Métodos del punto interior o métodos barrera. La
  secuencia de soluciones de los problemas sin
  restricciones contiene sólo puntos factibles
  (interiores a la región factible). Un caso
  particular interesante es el método del punto
  interior que se analiza posteriormente.

37
Método del Punto Exterior

• En el método del punto exterior la penalización
  impuesta al punto x aumenta cundo éste se desvía
  de la región factible.
• De nuevo, al actualizar los parámetros de
  penalización, la sucesión correspondiente de
  puntos mínimos de los problemas penalizados
  converge a la solución óptima del problema
  inicial. En este caso los puntos de la sucesión
  están fuera de la región factible.

38

• Ejemplo Método del Punto Exterior
• Considere el problema
• Minimizar
• Sujeto a
• Donde
  son continuas. La función
  de penalización exterior es
• donde r es el parámetro de penalización y
  es la función de
  penalización que satisface

39

• Teorema 2 (Convergencia del método del punto
  exterior.)
• Sea una sucesión divergente de números
  positivos, y
• una función de penalización continua exterior.
  Se define la secuencia
• y se supone que para cada rt, existe una
  solución óptima de este problema. Todo punto
  límite de la sucesión generada por este
  método exterior es un mínimo global del problema
  original con restricciones. En particular, si el
  problema original tiene una única solución
  óptima, entonces es el punto límite de .
• La función de penalización mas común es
• Donde . Dos casos
  particulares son

40

• Algoritmo 3 (Método del punto exterior)
• Etapa 1 (Iniciación). Hacer x(0), r1 gt 0 y t
  1. Sea e gt 0 una tolerancia dada, y ? gt 1 un
  número dado.
• Etapa 2 (Sub-problema). Resolver por un método
  de descenso, con x(t-1) como punto inicial, el
  problema
• Minimizar
• cuya solución es x(t).
• Etapa 3 (Criterio de parada). Si
  , parar y salir. En otro caso, ir a la
  Etapa 4.
• Etapa 4 Hacer rt1 ?rt, t t 1, e ir a la
  Etapa 2.

41

• Los métodos de penalización tienen las siguientes
  propiedades
• , donde x(r)
  minimiza P(x,r), son funciones no decrecientes en
  r.
• es una función no creciente en
  r.
• Se cumplen las siguientes condiciones límites

42

• Ejemplo Método de Penalización Exterior
• Considere el problema
• Minimizar
• Sujeto a
• Nótese que en la iteración t, el problema a
  resolver para obtener x(t) es
• La siguiente tabla resume los cálculos realizados
  para ß1 y ß2. El punto de partida es x(0)
  (0,0). El valor inicial del parámetro de
  penalización se ha tomado como r1 0.001 y ?
  10.

43

• Tabla 2. Resultados del ejemplo Método de
  penalización exterior.

44
Método Interior o Barrera

• Sea el problema
• Minimizar
• Sujeta a
• donde
  son funciones continuas, y
  es la región factible. Se supone que
  es no vacía, y el cierre de
  S- es el conjunto S.
• Se considera la función objetivo
• donde r es el parámetro de penalización y f es la
  función de penalización. Esta función forma una
  barrera infinita a lo largo del contorno de la
  región factible, que favorece la selección de los
  puntos factibles frente a los que no lo son.

45

• Las funciones de penalización son funciones
  definidas en
  ,
• que satisfacen las condiciones siguientes
• Son positivas en el interior de la región
  factible
• Tienden a 8 en la frontera de la región factible
• Ejemplos del término de penalización válidos para
  la región factible g(x) 0, son
• La barrera logarítmica
• La barrera inversa

46

• Teorema 3 (Convergencia de los métodos barrera)
• Sea una sucesión de números positivos que
  convergen a cero, y sea
• una función de penalización interior, se define
• Todo punto límite de una sucesión
  generada por un método barrera por medio de la
  anterior ecuación es un mínimo global del
  problema original con restricciones. En
  particular, si el problema original tiene una
  única solución óptima, entonces es el punto
  límite de .

47

• Algoritmo 4 (Método de Barrera)
• Etapa 1 (Iniciación). Elegir un punto inicial
  x(0) tal que , un parámetro de
  penalización inicial r1 gt 0 y hacer t 1. Sean e
  gt 0, un número pequeño, y dados.
• Etapa 2 (Solución del problema sin
  restricciones). Resolver por un método de
  descenso, con x(t-1) como punto inicial, el
  problema
• Minimizar
• sujeto a
• cuya solución óptima es x(t).
• Etapa 3 (Criterio de parada). Si
  , parar y salir. En otro caso, se va a
  la Etapa 4.
• Etapa 4 Se hace rt1 ?rt, t t 1, se va al
  paso 2.

48

• Ejemplo Método Interior o de Barrera
• Considere el problema
• Minimizar
• Sujeto a
• La función barrera logarítmica es
• Los puntos estacionarios de P(x,r), como
  funciones de r, son

49

• lo que conduce a .
  Por lo tanto
• que es equivalente a
• La solución del anterior sistema da los puntos
  estacionarios como una función de r

50

• donde las otras dos raíces has sido rechazadas
  porque son no factibles. La figura muestra las
  curvas de nivel de la función objetivo, así como
  la región factible. Nótese que la solución óptima
  se alcanza en la frontera de la región factible,
  y que la trayectoria hacia el óptimo está
  contenida en la región factible.
• Nótese también que

51
El Método del Punto Interior

• Sea el problema
• Minimizar
• sujeta a
• Donde
  . Su dual es
• Maximizar
• sujeta a
• que usando variables de holgura equivale a

52

• Maximizar
• sujeta a
• con variables .
  Usando barreras logarítmicas, resulta
• Maximizar
• sujeta a
• Debe notarse que Zj nunca es cero, por lo que el
  problema está bien planteado.
• El método del punto interior aborda la solución
  del problema anterior para diferentes valores del
  parámetro barrera µ, de forma tal que
• µ0gtµ1gtµ2gtgtµ8 0.

53

• Teorema 4 (Convergencia)
• La sucesión de parámetros genera una
  secuencia de problemas como el mostrado
  anteriormente, tal que la sucesión de las
  soluciones , de éstos converge a la
  solución de las ecuaciones.
• El lagrangiano del problema tiene la forma
• Nótese que los multiplicadores de Lagrange, x,
  son las variables del problema original (primal).
  Utilizando dicho lagrangiano, las condiciones de
  optimalidad de primer orden del problema son
• Donde
• y la dimensión de e es nx1.

54

• Ejemplo del Método del Punto Interior
• Considere el problema primal
• Minimizar
• Sujeto a
• La región factible del problema se da en la
  siguiente figura.

55

• Figura 6. Progreso del método del gradiente.
• Su dual es
• Maximizar
• Sujeto a

56

• La función Lagrangiana es
• y las condiciones de optimalidad son

57

• Para resolver el sistema por el método de Newton,
  se sustituyen x, y y z por x?x, y? y z?z,
  respectivamente, que despreciando términos de
  segundo orden conducen al sistema incremental
• Las direcciones de búsqueda primales-duales se
  obtienen resolviendo el anterior sistema de
  ecuaciones en ?x, ?y y ?z, es decir
• donde v(µ)µe-Xze.

58

• Se procede a una iteración de Newton para obtener
  el punto
• Donde son
  los saltos primales y duales, respectivos. El
  salto primal se aplica a las variables primales
  x, mientras que el salto dual, a las duales y y
  z. La selección de ap y ad se hace de forma tal
  que x y z permanezcan estrictamente positivas (y
  no tiene por qué ser positiva). Se usa el
  parámetro s(0 ltslt 1) para asegurar la
  positividad. Por tanto
• donde es una tolerancia (e.g. 0.0001) y
  s 0.999959.

59

• Holgura Dual
• Para x e y factibles, la holgura dual es
• que se usa para medir la cercanía al óptimo.
• Infactibilidad inicial.
• Si el punto inicial no es factible, aplicando el
  método de Newton al sistema (condiciones de
  primer orden) se obtiene el sistema incremental
• Cuya solución es

60

• donde
• son los residuos primales y duales,
  respectivamente. Factibilidad y optimalidad se
  obtienen simultáneamente (residuos y holgura dual
  tienden a cero simultáneamente).
• Actualización del parámetro barrera.
• Una posible selección de µ es la que sigue. De
  las condiciones de optimalidad se obtiene
• Para conseguir un camino central, es decir,
  para evitar un aproximación prematura a la
  frontera, se introduce el parámetro ?. Entonces
• Los valores del parámetro ? se ajustan
  experimentalmente por prueba y error.

61

• Una elección razonable es
• Si , la solución óptima ha sido
  encontrada.
• Criterio de parada.
• El algoritmo para cuando la holgura dual es
  suficientemente pequeña, es decir, cuando
• donde e es una tolerancia en tanto por uno.
• El numerador de esta fracción representa la
  holgura dual en curso, mientras que el
  denominador es el máximo entre 1 y el valor de la
  función objetivo primal. Esta forma de
  denominador evita la división por cero.

62

• Cotas.
• Considérese un problema primal que incluya cotas
  inferiores y superiores de las variables x, es
  decir,
• Minimizar
• Sujeto a
• donde algunas de las componentes de u pueden ser
  infinitas y algunas de las de l pueden ser nulas.
  Con variables de holgura, s y v, el problema
  puede escribirse
• Minimizar
• Sujeto a

63

• Y usando barreras logarítmicas
• Minimizar
• Sujeto a
• Y su lagrangiano tiene la forma
• donde las variables duales asociadas a las
  restricciones Ax b son y, las variables duales
  asociadas a las restricciones x s u son w, y
  las variables duales asociadas a las
  restricciones x-v l son z.

64

• Las condiciones de optimalidad son
• Para el caso usual en que l 0, que implica x
  v, se tiene
• Las direcciones de búsqueda (método de Newton)
  son

65

• donde
• Selección del punto inicial.
• Si no se dispone de un punto factible, el método
  de Vanderbei suministra un buen
• punto de comienzo. Primero se calcula el vector
  mediante
• donde Ai es la columna j de la matriz de
  restricciones A, y es la norma cuadrática.

66

• Después, se calcula el escalar ß mediante
• y se corrige el vector inicial x(0) con
• Si alguna componente del vector x es mayor que la
  mitad de su cota superior, se fija a ese valor.
  El vector de las variables duales y se hace cero.
  El vector de las variables duales z se inicia
  como una función del vector x, como sigue.
• Si xj tiene una cota superior finita, se hace
• Si, por otra parte, la cota superior de xj es
  infinita, se hace

67

• Algoritmo 5 (Barrera logarítmica primal-dual)
• Entrada Un problema de programación lineal.
• Salida Su solución o un mensaje indicando que es
  no acotado o no tiene solución.
• Etapa 0. Hacer t0 y seleccionar un punto inicial
  .Calcular el vector de holgura
  dual .
• Etapa 1. Calcular las matrices
  diagonales
• .
• Etapa 2. Calcular el vector
  , y los residuos
• . Si el punto es
  factible primal y dual, los residuos son cero.
• Etapa 3. Resolver el sistema de Newton
  para encontrar las direcciones
• .

68

• Etapa 4. Calcular los saltos .
• Etapa 5. Actualizar las variables primales y
  duales.
• Etapa 6. Si la holgura dual es suficientemente
  pequeña, parar, se ha encontrado un e- óptimo. En
  otro caso, hacer t? t 1 y continuar.
• Etapa 7. Actualizar el parámetro barrera µt e ir
  a la Etapa 1.

69
Bibliografía

• Formulación y Resolución de Modelos de
  Programación Matemática en Ingeniería y Ciencia,
  Enrique Castillo, Antonio J. Conejo, Pablo
  Pedregal, Ricardo García, Natalia Alguacil, 2002.