PREZENTACJA W RAMACH mgp temat ,, konstrukcje cyrklem

1
(No Transcript)
2
PREZENTACJA W RAMACH mgp
temat ,, konstrukcje cyrklem

• PRZY WSPÓLPRACY
• ZESPOLU SZKÓL PONADGIMNAZJALNEGO
• W BIALOGARDZIE
• ORAZ
• ZESPOLU SZKÓL CHEMICZNYCH
• W POZNANIU.

3
Dane INFORMACYJNE

• Nazwa szkoly
• ZSP w Bialogardzie
• ID grupy 97/22_MF_G1
• Opiekun Renata Karczewska - Siudowska
• Kompetencja
• Matematyczno - fizyczna
• Temat projektowy
• Konstrukcje cyrklem.
• Semestr/rok szkolny III 2010/2011

4
Ogólne zagadnienia

• Wzajemne polozenie prostej i okregu.
• Styczna do okregu.
• Symetralna odcinka.
• Dwusieczna kata.
• Pieciokat foremny.
• Kwadrat.
• Trójkat równoboczny.
• Szesciokat foremny.

5
Ogólne zagadnienia c.d.

• Twierdzenie Talesa.
• Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa.
• Wzajemne polozenie trójkatów.
• Okrag wpisany w trójkat.
• Okrag opisany na trójkacie.

6
Wzajemne polozenie prostej i okregu . Wlasciwosci
wielokatów
7

• W zaleznosci od polozenia prostej wzgledem okregu
  mamy
• odleglosc srodka okregu od prostej
  jest wieksza od dlugosci promienia.
• odleglosc srodka okregu od prostej
  jest równa dlugosci promienia.
• odleglosc srodka okregu od prostej
  jest mniejsza od dlugosci promienia.

8
Styczna do okregu
Styczna do okregu nazywamy prosta, która ma z
okregiem tylko jeden punkt wspólny.
A - punkt stycznosci
9
Styczna do okregu jest prostopadla do promienia
poprowadzonegodo punktu stycznosci.
Jezeli odleglosc prostej od srodka okregu jest
wieksza od dlugosci promienia, to prosta
lezy calkowicie poza okregiem
10
Jezeli odleglosc prostej od srodka okregu
jest mniejsza od dlugosci promienia to prosta ma
dokladnie dwa punkty wspólne.Taka prosta
nazywamy sieczna okregu
11
STYCZNA DO OKREGU
Opis konstrukcji -mamy dany dowolny okrag o
promieniu w srodku S i punkt A na
okregu -rysujemy pólprosta o poczatku w punkcie S
przechodzaca przez punkt A -na pólprostej ISAI
zaznaczamy punkt B spelniajacy warunek ISBI2
ISAI -kreslimy symetralna odcinka ISBI -otrzymana
symetralna jest styczna do okregu
S
A
B
12
SYMETRALNA ODCINKA
Opis konstrukcji -mamy dane dowolny odcinek -w
koncach odcinka wbijamy cyrkiel i kreslimy luki
promieniem wiekszym niz polowa odcinka -przez
punkty przeciecia prowadzimy symetralna
13
DWUSIECZNA KATA
Opis konstrukcji -mamy dany dowolny kat -na
ramionach kreslimy luki o srodku w wierzcholku
kata i dowolnym promieniu -w punktach przeciecia
luków z ramionami kreslimy przecinajace sie luki
o dowolnym promieniu -kreslimy pólprosta o
poczatku w wierzcholku kata i przechodzaca przez
punkt przeciecia luków
14
Pieciokat foremny
C
Opis konstrukcji -kreslimy dwie proste
prostopadle i z punktu przeciecia S zataczamy
dowolnym promieniem okrag -z punktu K bedacego
srodkiem promienia SB, zataczamy luk promieniem
KC -odcinek LA jest bokiem pieciokata wpisanego w
okrag
D
L
K
B
S
A
15
KWADRAT
C
Opis konstrukcji -mamy dany okrag -kreslimy
srednice i symetralna tej srednicy -punkty
przeciecia symetralnej i srednicy z okregiem
wyznaczaja wierzcholki kwadratu
B
D
A
16
TRÓJKAT RÓWNOBOCZNY
C
Opis konstrukcji -mamy dany odcinek AB -w
punkcie A i w punkcie B kreslimy luki o promieniu
IABI -punkt przeciecia luków jest wierzcholkiem
trójkata
A
B
17
SZESCIOKAT FOREMNY
Opis konstrukcji -kreslimy okrag o dowolnym
promieniu -na okregu odmierzamy szesc odcinków
rozwartoscia cyrkla równa promieniowi
18
Twierdzenie Talesa
19
Jezeli ramiona kata przetniemy dwiema prostymi
równoleglymi, to dlugosci odcinków wyznaczone
przez te proste na jednym ramieniu kata sa
proporcjonalne do dlugosci odpowiednich odcinków
wyznaczonych przez te proste na drugim ramieniu
kata.
Jezeli k  l, to  a b  c d ,   a c  b d , 
  a ab  c cd  x y
20
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa.
Jesli odcinki wyznaczone przez dwie proste na
jednym ramieniu kata sa proporcjonalne do
odpowiednich odcinków wyznaczonych przez te
proste na drugim ramieniu kata, to proste te sa
równolegle
21
Wzajemne polozenie trójkatów
22
Cechy podobienstwa trójkatów, to warunki
konieczne i wystarczajace na to, aby dwa trójkaty
byly podobne. Podobienstwo trójkatów oznaczamy
symbolem
I cecha podobienstwa trójkatów
b'b  a'a  c'c  k k - skala podobienstwa?ABC 
?A'B'C' 
Jezeli boki jednego trójkata sa proporcjonalne do
odpowiednich boków drugiego trójkata, to trójkaty
sa podobne.
23
II cecha podobienstwa trójkatów
a a'ß ß'?ABC  ?A'B'C' 
Jezeli miary dwóch katów jednego trójkata sa
równe miarom odpowiednich dwóch katów drugiego
trójkata, to trójkaty sa podobne.
24
III cecha podobienstwa trójkatów
a a'b'b  a'a ?ABC  ?A'B'C'
Jezeli dwa boki jednego trójkata sa
proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkata,
a katy miedzy nimi zawarte sa przystajace, to
trójkaty sa podobne.
25
OKRAG WPISANY W TRÓJKAT
Opis konstrukcji -mamy dany dowolny
trójkat -konstruujemy dwusieczne dwóch
katów -punkt przeciecia dwusiecznych oznaczamy
litera S -kreslimy prosta przechodzaca przez
punkt S -rysujemy okrag o promieniu ISLI
s
26
OKRAG OPISANY NA TRÓJKACIE
Opis konstrukcji -dany jest dowolny trójkat
-kreslimy symetralne boków -punkt przeciecia
oznacza srodek okregu
27
Dane INFORMACYJNE

• Nazwa szkoly
• Zespól Szkól Chemicznych w Poznaniu
• ID grupy 97/39_MF_G1
• Opiekun Karolina Grzesinska
• Kompetencja
• Matematyczno-fizyczna
• Temat projektowy
• Konstrukcje cyrklem
• Semestr/rok szkolny
• Trzeci/ 2010-2011

28
Ogólne zagadnienia

• Zasady konstrukcji
• Twierdzenie Mohra-Mascheroniego
• Rektyfikacja okregu
• Konstrukcja Kochanskiego
• Slimak Teodorosa
• Konstrukcje niewykonalne

29
Zasady konstrukcji

• Obydwa narzedzia sa wyidealizowane cyrkiel moze
  byc rozwarty na dowolna szerokosc, a linijka jest
  jednostronna (tj. nie wolno korzystac z drugiej
  krawedzi) i ma potencjalnie nieskonczona dlugosc.
  Jedyne dozwolone wykorzystanie cyrkla to
  kreslenie okregów o srodkach w punktach, które
  juz sa dane i promieniach równych odcinkom
  wyznaczonym przez dane lub juz skonstruowane
  punkty jedyne dozwolone wykorzystanie linijki to
  rysowanie (lub przedluzanie) odcinków
  wyznaczonych przez dane lub juz skonstruowane
  punkty.
• Poza tym majac dane
• dwie proste
• prosta i okrag
• dwa okregi
• mozna znalezc ich punkty wspólne, lub stwierdzic
  ze ich nie ma.
• Inne czynnosci sa niedozwolone.

30
Zasady konstrukcji c.d.
Mozliwe operacje przy konstrukcjach klasycznych
31
Konstrukcje samym cyrklem

• Jezeli dana konstrukcja geometryczna jest
  wykonalna za pomoca cyrkla i linijki, to jest
  wykonalna za pomoca samego cyrkla, pod warunkiem,
  ze ograniczymy sie do wyznaczania punktów
  konstrukcji, a pominiemy rysowanie linii
  (twierdzenie Mohra-Mascheroniego).

32
Twierdzenie
Mohra - Mascheroniego

• Mówi, ze jezeli dana konstrukcja geometryczna
  jest wykonalna za pomoca cyrkla i linijki, to
  jest wykonalna za pomoca samego cyrkla, pod
  warunkiem, ze ograniczymy sie do wyznaczania
  punktów konstrukcji, a pominiemy rysowanie linii.
  Wynik ten zostal opublikowany w roku 1672 przez
  Georga Mohra, byl jednak nieznany az do roku
  1928. Niezaleznie od Mohra twierdzenie zostalo
  odkryte przez Lorenzo Mascheroniego w roku 1797.

33
Rektyfikacja okregu czyli wyprostowanie
okregu

• Zadanie polegajace na skonstruowaniu przy
  uzyciu cyrkla i linijki bez podzialki, odcinka,
  którego dlugosc jest równa obwodowi danego
  okregu. Konstrukcja ta jest niewykonalna, co
  wynika z faktu, iz p jest liczba przestepna.
  Znanych jest wiele konstrukcji przyblizonych,
  jedna z nich zostala podana w 1685 roku przez
  nadwornego matematyka króla Jana III Sobieskiego,
  Adama Adamandego Kochanskiego.

34
Konstrukcja Kochanskiego

• Nastepujaca konstrukcja daje mimo swej
  prostoty, stosunkowo dokladne przyblizenie liczby
  ?.
• dany jest okrag i styczna w punkcie A.
• Z punktu A promieniem okregu zakreslamy luk,
  który przecina okrag w punkcie C.
• Z punktu C promieniem okregu zakreslamy luk oba
  luki przecinaja sie w punkcie D.
• Prosta OD przecina dana styczna do okregu w
  punkcie E.
• Od E odkladamy trzy dlugosci promienia OA w
  kierunku punktu A i otrzymujemy punkt F.
• Odcinek FB laczy F z koncem srednicy okregu
  wyznaczonej przez OA. Jego dlugosc jest w
  przyblizeniu równa polowie obwodu okregu.
• Obliczona dla tej konstrukcji wartosc p jest
  równa 3,14153334..., podczas gdy dokladna wynosi
  3,14159265..., zatem blad obliczen jest równy
  zaledwie ok. 0,002.

35
Slimak Teodorosa

• W matematyce, konstrukcja geometryczna,
  pozwalajaca stworzyc odcinek o dlugosci równej
  pierwiastkowi z liczby naturalnej. Pomysl
  konstrukcji opiera sie na twierdzeniu Pitagorasa.
  Nazwa konstrukcji pochodzi od imienia greckiego
  matematyka i filozofa, Teodorosa z Cyreny.

36
Slimak Teodorosa c.d.

• Szczególy konstrukcji
• Budujemy równoramienny trójkat prostokatny o
  ramieniu równym 1. Przeciwprostokatna trójkata
  daje
• Konstruujemy kolejny trójkat prostokatny, którego
  jednym z ramion jest przeciwprostokatna trójkata
  z pkt. 1., a drugie ramie ma dlugosc 1.
  Przeciwprostokatna otrzymanego trójkata ma
  dlugosc .
• Kontynuujemy konstrukcje tworzac kolejny trójkat
  prostokatny, której jeden z boków jest zarazem
  przeciwprostokatna trójkata z poprzedniego
  punktu, a drugi bok ma dlugosc 1.

37
Konstrukcje niewykonalne

• To tradycyjne okreslenie zadan
  konstrukcyjnych, których nie mozna wykonac za
  pomoca linijki i cyrkla. Przykladami konstrukcji
  niewykonalnych sa trzy slawne zadania
  konstrukcyjne sformulowane w starozytnej Grecji
• Podwojenie szescianu Wielki problem starozytnej
  matematyki greckiej, polegajaca na zbudowaniu
  szescianu o objetosci dwa razy wiekszej niz dany
  szescian
• Trysekcja kata - Polega ona na podziale kata na
  trzy równe czesci jedynie przy uzyciu cyrkla i
  linijki. W roku 1837 Pierre Wantzel udowodnil, ze
  konstrukcja taka w ogólnym przypadku jest
  niewykonalna
• Kwadratura kola - problem polegajacy na
  skonstruowaniu kwadratu, którego pole równe jest
  polu danego kola przy uzyciu wylacznie cyrkla i
  linijki bez podzialki.

38
Podwojenie szescianu
39
Trysekcja kata
40
Kwadratura kola
41
Koniec i dziekujemy za uwage
42