Wichtige Transformationen

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Wichtige Transformationen

• Referentin Yvonne Schindler

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Wichtige Transformationen

• FFT Fast Fourier Transformation
• DCT Diskrete Cosinus Transformation
• Wavelets

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Transformationen

• Transformationen sollen gegeben Daten so
• umwandeln, dass
• eine Bearbeitung weniger aufwendig ist,
• eine eindeutige Wiederherstellung durch
  Rücktransformation möglich ist

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Transformationen

• Transformation und Rücktransformation sind
• aufwendig
• Aber
• Berechnungen im transformierten Raum
• sind meist wesentlich einfacher

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Transformationsbeispiel
Lösen der Gleichung XY / Z ohne Taschenrechner
X Y / Z Hoher Aufwand Durch
Division Lösung
log(X) log (Y) log (Z) Geringer
Aufwand Durch Subtraktion Lösung
Transformation
Rücktransformation
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Transformation

• Durch Rechnergenauigkeit kommt es aber doch
• schon bei der Transformation zu Datenreduktion.
• Bsp. Die Zahl Pi 3,141595265359...
• wird vom Rechner auch nur gerundet genutzt

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Fouriertransformation

• 1822 Jean-Baptiste-Joseph Fourier
• ,,Die analytische Theorie der Wärme
• Man kann Funktionen durch die Summe
• von Sinus- und Cosinusfunktionen darstellen

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1-dim. Fouriertransformation
n Daten
Fouriermatrix
C
R
Normierungsfaktor
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n-te Einheitswurzel
n-te Einheitswurzel

• xn hat in C n Lösungen

Bsp. x8 hat 8 Lösungen
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Fouriermatrix

• Def.
• Sei n ? N und ?n n-te Einheitswurzel in C. Die
• nxn-Matrix F mit Fk,l ?nkl für alle k, l   
• 0, ..., n-1, heißt Fouriermatrix.

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1-dim. Fouriertransformation
n Daten
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Inverse Fouriermatrix

• Für eine Rücktransformation braucht man eine
• inverse Fouriermatrix

F ist unitär gt F-1 Ft transponiert konjugiert
für alle k,l  0, ..., n-1
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Beweis für inverse Fouriermatrix 1
kl gt1 k?l gt c(k-l)
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Beweis für inverse Fouriermatrix 2
geometrische Reihe
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Beweis für inverse Fouriermatrix 3
gt Ft F-1
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2-dim. Fouriertransformation
Inverse
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Fast Fouriertransformation
Idee Einzelne Berechnungen der
Matrix-Vektor- Multiplikation in bestimmter
Reihenfolge ausführen und schon berechnete
Zwischenwerte benutzen n muss dafür eine
2er-Potenz sein
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Anwendungsbeispiel
Fouriertransformation
Bearbeitung
Inverse Fouriertransformation
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Diskrete Cosinus Transformation
DCT wird bei JPEG und MPEG benutzt Bei JPEG wird
die DCT auf 8864 Pixel angewandt
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DCT - Idee
Gerade Funktion, d.h. f(x) f(-x) Fouriertransfo
rmation anwenden Dabei wird der imaginäre Anteil
0
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DCT Herleitung 1

• Gerade Funktion durch Verdoppelung der Werte
• 2n
• f(-n1), f(-n2), ... f(-1), f(0), f(1), ...
  ,f(n)
• n1

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DCT Herleitung 2
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DCT Herleitung 3
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DCT Herleitung 4
Fertig!!!
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Wavelets
Funktionen können auch durch die Summe
von anderen Funktionen (Basisfunktionen)
dargestellt werden.
Die Transformation geht schrittweise
voran Wavelets werden z.B. bei JPEG2000
benutzt und beim FBI um Fingerabdrücke zu
speichern
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Basisfunktion
Als Basisfunktion kann jede orthogonale Funktion
genommen werden, für die gilt
Daher auch die Bezeichnung Wavelet engl. Wave
Welle
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Haar-Wavelet
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Weitere Wavelet - Beispiele
Daubechies 6
Daubechies 8
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Grundprinzip

• Berechnung des Mittelwertes und der Differenz
• Tiefpass und Hochpassanteile werden gespeichert.
  - Der Tiefpassanteil wird weiter analysiert. -
  durch immer kleiner werdender Hochpassanteile und
  
• einen einzigen Tiefpassanteil gekennzeichnet

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Beispiel

• 13 13 5 5 9 13 17 21
• 13 5 11 19 0 0 -2 -2
• 9 15 4 -4 0 0 -2 -2
• 12 -3 4 -4 0 0 -2 -2

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Grundprinzip Grafik 1
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Grundprinzip Grafik 2
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Vergleich DCT - Wavelet Original
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Vergleich Kompression 125
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Vergleich Kompression 150
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Quellen weiterführende Literatur

• E-Kreide-Vorlesungen - FFT, DCT, Wavelets
• Internet Studien- und Diplomarbeiten
• Elbert Oran Brigham (1995) Schnelle Fourier
  Transformation
• Josef Hoffmann (1991) Bildkompression mit DCT und
  anderen Transformationen
• Daubechies I. (1992) Ten Lectures on Wavelets