Diapositive 1

1
Initiation aux statistiques inférentielles

• Chapitre 1 les échantillons
• Chapitre 2 la loi normale première loi
  déchantillonnage
• Chapitre 3 lestimation ponctuelle et par
  intervalle de confiance
• Chapitre 4 linitiation aux tests dhypothèse

2
CHAPITRE 1 LES ECHANTILLONS
INTRODUCTION
A. Les indicateurs des échantillons 1) Exemple
1. 2) Exemple 2. 3) Exemple 3.
B. Les fluctuations déchantillonage. 1)
Objectif . 2) Exemple.
C. Les sondages classiques 1) Les sondages
aléatoires. 2) les sondages empiriques. Mises en
garde.
3
CHAPITRE 1 LES ECHANTILLONS
Les objectifs

• Premier objectif Connaître les propriétés de la
  population dont est extrait l échantillon.

• Deuxième objectif Vérifier si la production est
  conforme aux attentes ou spécifications.

• Troisième objectif comparer deux (ou plus)
  traitements différents en ressources humaines,
  peut-on affirmer que depuis la création de la
  crèche d entreprise, le taux d absentéisme a
  baissé en marketing, les ventes réalisées
  sont-elles différentes avec ce nouvel emballage ?

• Le comportement des échantillons est incertain

• Par exemple, si le poids moyen des paquets de
  la production est de 250 grammes, il est possible
  de trouver un échantillon de poids moyen 249
  grammes

• Si dans un échantillon de 1 000 personnes, 200
  votent pour A alors est-on vraiment certain que A
  réalisera un score de 20 lors de l élection ?

4
Incertain et Aléatoire
CHAPITRE 1 LES ECHANTILLONS

• Par exemple, si le poids moyen des paquets de la
  production est de 250 grammes, il est possible de
  trouver un échantillon de poids moyen 249 grammes
  mais avec quelle probabilité ?

• Autre exemple si dans un échantillon de 1 000
  personnes, 200 votent pour A alors est-on
  vraiment certain que A réalisera un score de 20
  lors de l élection ? Avec quelle certitude ?

• On peut penser que, si le sondage est bien fait,
  A réalisera un score autour de 20 mais la
  question devient alors

• entre 19 et 21 ?

• entre 17 et 23 ?

• entre 10 et 30 ?

• il va peut-être pleuvoir et il y a une
  probabilité de 30 quil pleuve

• Si je connais cette probabilité, jadapte mon
  comportement et je prends ou pas mon parapluie

5
CHAPITRE 1 LES ECHANTILLONS
Echantillon Gaussien

• Lutilisation de la loi normale dont la
  caractéristique principale est sa forme de
  courbe en cloche est fondamentale

• Parmi ces trois échantillons qui suivent, y en
  a-t-il qui sont manifestement gaussiens ?

• Parmi ces trois échantillons, y en a-t-il qui
  sont manifestement gaussiens ?

6
Gaussien ?
CHAPITRE 1 LES ECHANTILLONS
Oui !
7
Gaussien ?
CHAPITRE 1 LES ECHANTILLONS
Non !
8
Gaussien ?
CHAPITRE 1 LES ECHANTILLONS
?? ?
9
A. Les indicateurs des échantillons
CHAPITRE 1 LES ECHANTILLONS

• 1) Exemple 1
• Dans une PME, durant les 25 derniers jours
  ouvrés, on a relevé chaque jour le nombre de
  salariés en arrêt de travail

Nombre de personnes en arrêt 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Nombre de jours 3 4 3 5 3 2 3 1 0 1
la variable est numérique est il est bien
difficile de savoir si la représentation est
proche dune courbe en cloche
10
A. Les indicateurs des échantillons
CHAPITRE 1 LES ECHANTILLONS

• 2) Exemple 2
• Une entreprise a étudié son chiffre d affaires
  sur les derniers jours

Chiffre daffaires 0,1 1,2 2,3 3,4 4,5 5,6 6,7 7,8
Nombre de journées 2 12 40 88 65 35 5 3
On rappelle que dans le cas dune série continue,
les xi représentent alors les centres de classe
la variable est numérique et la représentation
est proche dune courbe en cloche
11
CHAPITRE 1 LES ECHANTILLONS
12
A. Les indicateurs des échantillons
CHAPITRE 1 LES ECHANTILLONS

• 3) Exemple 3
• Dans ce groupe de 135 étudiants, il y a 80 filles
  51 de moins de 21 ans et 29 de plus de 21 ans
  et 55 garçons 25 de moins de 21 ans et 30 de
  plus de 21 ans.

Quelle est la proportion de filles ? Elle est de
Quelle est la proportion d étudiants de moins de
21 ans ? Elle est de
Quelle est la proportion de filles parmi les
étudiants de moins de 21 ans ? Elle est de

• Les variables étudiées sont
• le sexe, variable qualitative
• lâge, variable quantitative mais comme
  léchantillon est séparé en deux groupes , jeunes
  et moins jeunes, la variable est devenue
  qualitative.

13
Urne 180 blanches et 20 noires
CHAPITRE 1 LES ECHANTILLONS
B. Les fluctuations déchantillonage.

• On en tire 10 .

Quelle est la probabilité davoir 1 noire ?
Quelle est la probabilité davoir au moins 3
noires ?
Ceci est le point de vue probabiliste .
14
Urne 1000 boules
CHAPITRE 1 LES ECHANTILLONS
B. Les fluctuations déchantillonage.

• On en tire 15

par exemple on en obtient 3 noires soit 20
Peut-on en déduire le nombre de noires dans
lurne ?
Cest le point de vue du sondeur
15
Urne beaucoup de boules
CHAPITRE 1 LES ECHANTILLONS
B. Les fluctuations déchantillonage.

• On en tire 15

par exemple on en obtient 3 noires soit 20
Peut-on en déduire le nombre de noires dans
lurne ?
Peut-on en déduire la proportion de noires dans
lurne ?
Cest le point de vue du sondeur
16
Plage avec beaucoup de grains de sable
CHAPITRE 1 LES ECHANTILLONS
B. Les fluctuations déchantillonage.

• On maffirme 10 de grains noirs et je prends un
  échantillon de 80 grains.

Je trouve non pas 8 grains noirs comme attendu
mais 9. Que décider ?
Cest le point de vue du contrôleur
17
B. Les fluctuations déchantillonage
CHAPITRE 1 LES ECHANTILLONS

• 2) Exemple
• On considère les 5 notes obtenues par un étudiant
  7 8 10 11 14
• a) la moyenne

la variance
lécart-type
et parmi ces 5 notes la proportion p de notes
supérieure à 12 est
Attention Si on considère que ces 5 notes
constituent la population, les indicateurs de la
population sont notés
On va prélever dans cette population de 5 notes
des échantillons de taille 2
18
CHAPITRE 1 LES ECHANTILLONS
Les 25 échantillons possibles
Echantillon n note 1 note 2 Moyenne Variance Ecart-type proportion de notes supérieures à 12
1 7 7 7 0 0 0
2 7 8 7,5 0,25 0,5 0
3 7 10 8,5 2,25 1,5 0
4 7 11 9 4 2 0
5 7 14 10,5 12,25 3,5 0,5
6 8 7 7,5 0,25 0,5 0
7 8 8 8 0 0 0
8 8 10 9 1 1 0
9 8 11 9,5 2,25 1,5 0
10 8 14 11 9 3 0,5
11 10 7 8,5 2,25 1,5 0
12 10 8 9 1 1 0
13 10 10 10 0 0 0
14 10 11 10,5 0,25 0,5 0
15 10 14 12 4 2 0,5
16 11 7 9 4 2 0
17 11 8 9,5 2,25 1,5 0
18 11 10 10,5 0,25 0,5 0
19 11 11 11 0 0 0
20 11 14 12,5 2,25 1,5 0,5
21 14 7 10,5 12,25 3,5 0,5
22 14 8 11 9 3 0,5
23 14 10 12 4 2 0,5
24 14 11 12,5 2,25 1,5 0,5
25 14 14 14 0 0 1
pour le premier échantillon moyenne
variance
proportion
pour le cinquième échantillon moyenne
variance
proportion
Attention Si on considère que ces 2 notes
constituent un des échantillons, les indicateurs
de cet échantillon sont notés
Remarque si la population était de N7 notes et
que l'on s'intéressait aux échantillons de taille
3, on aurait obtenu 73 échantillons !
19
CHAPITRE 1 LES ECHANTILLONS
On ne retrouve pas dans ces échantillons les
indicateurs de la population. Des outils de
probabilité apparaissent rapidement La moyenne
observée, la variance observée et la proportion
observée sont aléatoires (elles dépendent de l
échantillon pris au hasard). Par convention, on
conserve les majuscules pour ces variables
aléatoires.
moyenne de léchantillon 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 10,5 11 12 12,5 14 total
pi 0,04 0,08 0,04 0,08 0,16 0,08 0,04 0,16 0,12 0,08 0,08 0,04 1
nombre d observations 1 2 1 2 4 2 1 4 3 2 2 1 25
L espérance est
On retrouve une propriété bien pratique pour la
suite la moyenne observée dans un échantillon
est une variable aléatoire. cette variable
aléatoire a pour espérance la moyenne de la
population
le même travail fait pour la variance de
léchantillon montre que la variance est aussi
aléatoire mais son espérance nest pas la
variance de la population il faut y apporter
une correction qui dépend de la taille de
léchantillon
20
CHAPITRE 1 LES ECHANTILLONS

• C. Les sondages classiques
• 1) Les sondages aléatoires
• Les sondages aléatoires simples on prend au
  hasard dans la population un échantillon (c est
  facile sur une fabrication en série ou sur un
  ensemble de chèques mais c est moins facile sur
  une population humaine si on réalise un sondage
  dans les rues piétonnes le samedi après-midi, je
  risque de louper des tranches considérables de la
  population et de ne trouver que des jeunes et
  étudiants).
• Les sondages par strates chaque catégorie de la
  clientèle est considérée comme une population
  on étudiera par exemple la population classée
  suivant son âge ou bien la population classée
  suivant son sexe.
• 2) les sondages empiriques
• La méthode des quotas on essaie de conserver
  dans notre échantillon les proportions de la
  population si la population-mère contient 25
  de femmes de moins de 25 ans, on gardera 25 de
  femmes de moins de 25 ans dans notre échantillon.
• Avantages la précision est aussi bonne que
  dans les échantillon aléatoires simples, le coût
  est faible.
• Inconvénient il demande beaucoup de dextérité
  et d expérience pour bien relever les variables
  importantes le sexe ? l âge ? la CSP ? le
  milieu rural ou urbain ? le niveau d études ? la
  religion ? le nombre d enfants ? les revenus
  annuels ? le nombre de salles de cinémas dans un
  rayon de 20 km ? (c'est une variable importante
  si vous réalisez un sondage sur la fréquentation
  des cinémas !).
• En cette période post-électorale, on pourra se
  demander quelles sont les variables (ou critères)
  utilisées pour les sondages politiques et
  pourquoi celles-là. On pourrait aussi faire une
  enquête sur la taille des échantillons utilisés.

21
CHAPITRE 1 LES ECHANTILLONS
Mises en garde 1) On ne s intéresse dans
la suite quaux sondages aléatoires simples où la
taille de l échantillon est inférieure au
dixième de la taille de la population (ce qui
permet de négliger la correction d exhaustivité
et de pas tenir compte du sondage avec ou sans
remise) . 2) Les sondages ne peuvent s
appliquer que sur des processus stabilisés
certains voulaient estimer une moyenne à venir
alors que l on connaissait les ventes des 4 mois
précédents. Oui, pourquoi pas ? Quand j'ai su que
l on comptait lancer une campagne promotionnelle
sur ce produit, tout était fortement
déstabilisé. Quand de plus j'ai appris que ce
produit était le CD d'un groupe de musique
régional (et donc soumis aux effets de mode) j'ai
renoncé!
22
CHAPITRE 2 LES LOIS DE LECHANTILLONNAGE
On suppose que XNOR(33 5), calculer puis
représenter les probabilités p(X 38)
Méthode 1 383315 donc p(X38)?(1)0,8413
Méthode 2 p(X38)?((38-33)/5)?(1)0,8413
1 écart-type au dessus de la moyenne
On suppose que XNOR(33 5), calculer puis
représenter les probabilités p(X 27)
Méthode 1 2733-1,25 donc p(X27)?(-1,2)1-?(1
,2)1-0,88490,1151
Méthode 2 p(X27)?((27-33)/5)?(-1,2)0,1151
1,2 écart-type en dessous de la moyenne
23
CHAPITRE 2 LES LOIS DE LECHANTILLONNAGE
Cas d un intervalle unilatéral
Déterminer un intervalle du type -8 a qui
contienne 80 de la population
La table de la page 46 donne 0,80?(0,840) donc
a 330,840537,2 Lintervalle est donc -8
37,2
15 de la population
La table de la page 46 donne 0,15?(-1,040) donc
a 33-1,040527,8 Lintervalle est donc -8
27,8
Les pourcentages classiques
La table de la page 46 donne 0,95?(1,96)
La table de la page 46 donne 0,90?(1,65)
La table de la page 46 donne 0,05?(-1,96)
24
CHAPITRE 2 LES LOIS DE LECHANTILLONNAGE
Cas d un intervalle bilatéral

• On suppose que XNOR(33 5), calculer puis
  représenter les probabilités
• p(28 X 38)

On remarque que 2833- 1 5 et que 3833 1
5. cet intervalle est centré sur la moyenne et
il y a un écart-type de part et dautre de la
moyenne p(28 X 38) 2?(1)-120,8413-10,6826

• p(23 X 43)

On remarque que 2333-2 5 et que 3833 2
5. cet intervalle est centré sur la moyenne et
il y a deux écarts-type de part et dautre de la
moyenne p(23 X 33) 2?(2)-120,9772-10,954

• p( 30 X 42)

On remarque que 3033-0,65 et que
42331,85. cet intervalle nest pas centré sur
la moyenne et il faut revenir aux outils
classiques
25
CHAPITRE 2 LES LOIS DE LECHANTILLONNAGE

• 2) Les propriétés de la loi normale
• Théorème 1

1. Théorème 2 la somme de 2 lois normales
   indépendantes est une loi normale dont la moyenne
   est la somme des moyennes et la variance est la
   somme des variances.

Exemple Une entreprise vend quotidiennement
deux produits A et B. Les ventes de A et B sont
indépendantes et suivent des lois normales de
moyennes respectives 100 et 120 et décarts-type
respectifs 30 et 40. Quelle est la loi suivie par
Q, quantité de produits vendues quotidiennement ?
Quelle est la probabilité que Q soit supérieure à
250 ?
26
CHAPITRE 2 LES LOIS DE LECHANTILLONNAGE
Corollaire La somme de lois normales
indépendantes de mêmes moyennes et de mêmes
écarts-type est une loi normale dont la moyenne
est la somme des moyennes et la variance est la
somme des variances.
Exemple Les ventes quotidiennes pour un certain
produit sont indépendantes et peuvent être
approchées par une loi normale de paramètre 120
et 30. On dispose d un stock de 2500
objets. a) Quelle est la probabilité que le
stock soit épuisé en 20 jours ? Les ventes
totales en 20 jours est bien une variable
aléatoire notée VT. VT est la somme de 20 lois
normales de même moyenne (120) , de même
écart-type (30) et indépendantes. Daprès le
théorème
Le stock est épuisé si les ventes VT ont dépassé
ce stock
27
CHAPITRE 2 LES LOIS DE LECHANTILLONNAGE
b) Si on ne tolère la rupture de stock
quavec une probabilité inférieure à 1 , au bout
de combien de jours doit-on réapprovisionner ce
stock ? On cherche le stock inconnu (que lon va
noter x) tel que la probabilité que les ventes
soient supérieures aux stocks soit inférieure à
1. ou par événement contraire tel que la
probabilité que les ventes soient inférieures aux
stocks soit supérieure à 99
La table de la page 46 donne 0,99?(2,330)
On prévoira un stock de 2713 objets
28
CHAPITRE 2 LES LOIS DE LECHANTILLONNAGE
2) Les propriétés de la loi normale
c) Théorème 3 la différence de 2 lois normales
indépendantes est une loi normale dont la moyenne
est la différence des moyennes et la variance est
la somme des variances.
Exemple Une entreprise vend quotidiennement
deux produits A et B. Les ventes de A et B sont
indépendantes et suivent des lois normales de
moyennes respectives 100 et 120 et décarts-type
respectifs 30 et 40. Quelle est la probabilité,
un jour fixé, de vendre plus de A que de B ? On
cherche la probabilité que VA soit supérieure à
VB cest à dire p(VAVB) Cest aussi
p(VA-VB0) Notons DVA-VB alors, daprès le
théorème
29
CHAPITRE 2 LES LOIS DE LECHANTILLONNAGE
3) Théorème central limite a) Le Théorème
La somme de beaucoup de lois indépendantes de
mêmes moyennes et de mêmes écarts-type peut être
approchée par une loi normale dont la moyenne est
la somme des moyennes et la variance est la somme
des variances Ce théorème est un des théorèmes de
référence des statistiques inférentielles
cependant il faut bien noter les nuances
(importantes) par rapport au théorème vu
précédemment Les lois utilisées ne sont pas
nécessairement normales. Il faut que lon
additionne beaucoup de lois ( au moins 30) On a
seulement une approximation
b) Exercice de référence Sur un site internet,
on sait que le nombre de visites par minute a
pour moyenne 20 et pour écart-type 30. 1) Quelle
est la loi suivie par le nombre de visites sur
une journée de 24 heures soit 1440 minutes ? On
peut considérer que les minutes sont
indépendantes alors le théorème central limite
donne
30
CHAPITRE 2 LES LOIS DE LECHANTILLONNAGE
3) Théorème central limite

• 2) On considère une journée de 1440 minutes qui
  est la base (ou léchantillon) pour réaliser une
  étude statistique sur le nombre de visites par
  minute. et en particulier sur le premier
  indicateur classique la moyenne.
• Pourquoi la moyenne par minute est-elle une
  variable aléatoire ?
• La moyenne observée dépend de léchantillon (qui
  est pris au hasard), elle est donc aléatoire
• et se note avec une majuscule.
• Pour calculer une moyenne, il suffit de tout
  additionner et de diviser par le nombre
  dobservations donc

Donner un intervalle bilatéral qui contienne 90
des valeurs de cette moyenne.

• Si on cherche un intervalle centré sur la
  moyenne qui contient un pourcentage ß de la
  population alors cet intervalle sera du type
  Im-a.s ma.s avec 2?(a)-1ß
• Ici ß0,90 donc 2?(a)-10,9 et
  ?(a)0,95.
• La table donne a1,65
• Lintervalle sera donc I 20-1,65.0,79
  201,65.0,79
• Linterprétation est intéressante dans 90
  des échantillons dune durée dune journée, le
  nombre moyen de visiteurs par minute sera compris
  entre 18,70 et 21,30.

31
CHAPITRE 2 LES LOIS DE LECHANTILLONNAGE
3) Théorème central limite
c) Un corollaire approximation d une loi
binomiale par une loi normale

• Exemple dans une région de 100 000 habitants,
  20 des personnes votent pour A.
• On prend un échantillon de 852 personnes et X est
  la variable aléatoire qui prend pour valeurs le
  nombre de personnes qui votent pour A.
• X est une loi hypergéométrique

• Première approximation de X
• Comme la taille de la population est au moins 10
  fois supérieure à la taille de léchantillon (
  N10n), on peut approcher X par une loi binomiale
  

• Deuxième approximation de X
• Comme n852 est supérieur ou égal à 30 et
  np8520,20170,4 est supérieur ou égal à 5,
  cette loi binomiale peut être approchée par une
  loi normale

32
CHAPITRE 2 LES LOIS DE LECHANTILLONNAGE
3) Théorème central limite

• Soit F la variable aléatoire qui prend pour
  valeurs le pourcentage observé de personnes qui
  votent pour A dans l échantillon. Quelle est la
  loi de F ?
• F est la proportion observée donc cest bien le
  rapport entre le nombre de cas favorables dans
  léchantillon (X) et le nombre de personnes dans
  léchantillon donc

Calculer p(F0,22) et interpréter le résultat
trouvé

• On a donc environ 7,2 de chances de trouver un
  échantillon de 852 personnes qui contiendra plus
  de 22 pour A alors que ce pourcentage nest que
  de 20 dans la population.

33
CHAPITRE 2 LES LOIS DE LECHANTILLONNAGE
B. Loi suivie par la moyenne d un échantillon
prélevé dans une population décart-type s connu.
Démonstration

• En utilisant le théorème central limite, si
  n30,

• Remarque si léchantillon est de taille
  inférieure à 30 mais chacune des lois est
  normale, alors le corollaire sur la somme de lois
  normales sapplique

• Attention
• Il faut que lécart-type de la population soit
  connu.
• Si léchantillon est de taille inférieure à 30
  et si nous ne savons pas si cet échantillon est
  gaussien, le théorème ne peut sappliquer

34
CHAPITRE 2 LES LOIS DE LECHANTILLONNAGE
Exercice 1 Dans une population de moyenne 85 et
d écart-type 12, on prélève un échantillon de
taille 50. Quelle est la probabilité dobserver
un échantillon de moyenne inférieure à 82 ?

• Daprès le théorème précédent, léchantillon est
  de taille supérieure à 30, la population est
  décart-type connu donc

• Déterminer un intervalle de centre 85 qui
  contienne 95 des moyennes des échantillons de
  taille 50.
• On cherche un intervalle centré sur la moyenne
  qui contienne un pourcentage a95 alors
• 2?(a)-10,95 et ?(a)0,975 donc a1,96.
• Cet intervalle sera

• Déterminer un intervalle du type -8 a qui
  contienne 95 des moyennes des échantillons de
  taille 50.
• On a alors ?(a)0,95 et la table donne a1,65
• Cet intervalle sera

35
CHAPITRE 2 LES LOIS DE LECHANTILLONNAGE
C. Loi suivie par la fréquence d un grand
échantillon.

• Démonstration
• La fréquence observée (dans léchantillon) est
  bien le nombre de cas favorables divisé par la
  taille de léchantillon.
• Cette fréquence, notée F, est aussi une variable
  aléatoire
• Appelons X la variable aléatoire qui prend pour
  valeurs le nombre de cas favorables observé dans
  léchantillon.
• X est une loi hypergéométrique de paramètres N,
  n et p.
• X peut être approchée par une loi binomiale de
  paramètres n et p
• X peut être approchée par une loi normale car on
  a supposé que léchantillon est grand.

36
CHAPITRE 2 LES LOIS DE LECHANTILLONNAGE

• Exercice 1 Dans une population, 20 des
  individus sont de type B. On prélève un
  échantillon de taille 210. Est-il possible d
  observer un échantillon où la fréquence observée
  d individus de type B est inférieure à 15 ?
• Pourquoi pas !
• Si oui, avec quelle probabilité?

• Déterminer un intervalle de centre 20 qui
  contienne 95 des fréquences observées dans des
  échantillons de taille 210.
• Nous avons vu précédemment que lintervalle
  centré sur la moyenne qui contient 95 de la
  population pour une loi normale était obtenu avec
  1,96 écart-type donc

• Interprétation nous savons (avant de prélever
  léchantillon) que, dans 95 des échantillons,
  le pourcentage observé sera compris entre 14,5
  et 25,5

Déterminer un intervalle du type -8 a qui
contienne 95 des fréquences observées dans des
échantillons de taille 210.

• Comme précédemment, lintervalle sera

37
CHAPITRE 3 LESTIMATION
PRESENTATION DU PROBLEME
Bien entendu, on ne pourra pas donner des
probabilités sur ces valeurs car ce ne sont pas
des variables aléatoires, elles sont fixes et
dépendent de la population. On définira alors
des intervalles de confiance. ATTENTION On
distinguera nettement les indicateurs de l
échantillon et les indicateurs de la
population Nos conventions sont résumées par le
schéma suivant
38
CHAPITRE 3 LESTIMATION
A. Estimations ponctuelles Quelques exemples de
biais statistiques Un premier biais
statistique est connu par les sondeurs politiques
lexpérience a montré que lors de sondages,
certains électeurs nosent pas avouer leur
préférence. Ainsi, à laide de lexpérience, les
sondeurs corrigent ce biais en ajoutant environ 3
à ce parti politique Si dans léchantillon,
ce parti est à 11 alors les instituts de
sondage laffichent à 14 !. Dautres
biais statistiques apparaissent dans les
sondages, ces biais statistiques peuvent être
corrigés de deux façons à la louche comme au
dessus ou bien à laide de définitions
mathématiques 1) Usage si g est un indicateur
que l on veut connaître par sondage, on note g
la meilleure estimation de g. Cette estimation s
appuie sur la valeur observée dans l
échantillon.
39
CHAPITRE 3 LESTIMATION
A. Estimations ponctuelles
Exemple Dans une production de paquets de café,
on prélève un échantillon de taille 50. Dans cet
échantillon de taille 50, la moyenne observée est
248 grammes, lécart-type observé est de1,2
gramme et un paquets sur les 50 pèsent moins de
245 grammes. Donner des estimations ponctuelles
de la masse moyenne dun paquet de café, de
lécart-type de la masse dun paquet de café et
de la proportion de paquets de café pesant moins
de 245 grammes

• Daprès les formules précédentes , on a

40
CHAPITRE 3 LESTIMATION
A. Estimations ponctuelles

• Problème de fiabilité
• Illustration Supposons que dans la production,
  la proportion de paquets de café défectueux soit
  de 4 . Prenons un lot de 50 paquets de café et X
  est la variable aléatoire qui prend pour valeurs
  le nombre de défectueux dans le lot.
• X suit une loi hypergéométrique XHYP(N 50
  0,04)
• X peut être approchée par une loi binomiale
  XBIN(50 0,04)
• X peut être approchée par une loi de Poisson
  XPOI(2) en effet n est grand ( 30) et np est
  petit (5)
• A laide de la table de la loi de Poisson de
  paramètre 2, comparons les probabilités davoir
  dans ce lot 1 défectueux, puis 2.

k 0 1 2 3 4 5
p(Xk) 0,1353 0,2707 0,2707 0,1804 0,0902 0,0361
p(X1)0,2707 p(X2)0,2707
Conclusion il y avait autant de chances davoir
1 paquet défectueux que davoir 2 paquets
défectueux. Réciproquement, supposons que la
proportion dans la population nest pas connue (
cest bien le principe de lestimation) et que le
sondeur ait la même probabilité davoir 1
défectueux que 2 alors lestimation ponctuelle
peut prendre plusieurs valeurs dans le premier
cas jaurais dit que la proportion estimée est de
1 sur 50 soit 2 dans le deuxième cas, jaurais
dit que la proportion estimée est de 2 sur 50
soit 4 Enfin p(X5)0,0361 Enfin, il était
possible davoir 5 paquets défectueux
(probabilité de 0,036) et dans ce cas , jaurai
déclaré que la proportion estimée est 5 sur 50
soit 10 .
41
CHAPITRE 3 LESTIMATION
B) Estimation par intervalle de confiance d un
indicateur statistique
Stratégie On a vu dans le chapitre précédent,
les indicateurs statistiques des échantillons
sont aléatoires (ils dépendent de l échantillon
pris au hasard) et suivent les lois d
échantillonnage. Appelons l indicateur Ge de l
échantillon correspondant à l indicateur gp de
la population. On sait que Ge est une variable
aléatoire. Si gp est connu, alors il y a une
probabilité a que l indicateur Ge soit dans un
intervalle de centre gp cest à dire
Cest à dire que la distance entre gp et Ge est
inférieure à ? avec une probabilité a.
Et donc, on peut mesurer la distance entre gp et
Ge.
On obtient donc un encadrement du type
La stratégie de l'estimation par intervalle de
confiance est de remplacer la variable aléatoire
Ge par la valeur observée dans l'échantillon
notée ge.
a n est plus une probabilité car gp nest pas
aléatoire, a est appelé niveau de confiance
42
CHAPITRE 3 LESTIMATION
B) Estimation par intervalle de confiance d un
indicateur statistique
Comment faire en pratique ? L énoncé donne les
caractéristiques de l échantillon sa taille,
sa moyenne, son écart-type et la proportion
observée
Dans une population normale décart-type 9, on a
prélevé un échantillon de taille 51 et de moyenne
observée 30 . Donner un intervalle de confiance
de la moyenne de la population au niveau de
confiance 82
Première étape On donne les estimations
ponctuelles.
Deuxième étape On construit lintervalle de
confiance a) On donne la loi suivie par
lindicateur de léchantillon.
m est inconnue
b) On donne, sous forme d encadrement, un
intervalle centré qui contienne un pourcentage a
82 des indicateurs de l échantillon. 2?(a)-10,
82 2?(a)1,82 ?(a)0,91 a1,340
On permute dans cet encadrement lindicateur de
la population et celui de léchantillon avec les
propriétés des encadrements

1. Enfin on remplace dans cet intervalle la
   variable aléatoire de léchantillon par la valeur
   estimée.

Interprétation la valeur de m cherchée est
comprise entre 28,29 et 31,71 avec une méthode
fiable à 82
43
CHAPITRE 3 LESTIMATION
B) Estimation par intervalle de confiance d un
indicateur statistique
Exercice 1 Dans une population normale d
écart-type 38, on a prélevé un échantillon de
taille 15, de moyenne observée 30. Donner un
intervalle de confiance de la moyenne de la
population au niveau de confiance 98
. Estimation ponctuelle
m est inconnue
b) 2?(a)-10,98 2?(a)1,98 ?(a)0,99 a2,33

1. Enfin on remplace dans cet intervalle la
   variable aléatoire de léchantillon par la valeur
   estimée.

• Commentaires pourquoi un intervalle aussi large
  
• A cause de lécart-type de la population (grand)
• A cause du niveau de confiance élevé
• A cause de la taille de léchantillon ( petite)

44
CHAPITRE 3 LESTIMATION

• Exercice 2 Dans une population, on a prélevé un
  échantillon de taille 200, et parmi ces 200
  individus, 48 possède une caractéristique notée
  C. Donner un intervalle de confiance de la
  proportion d individus présentant la
  caractéristique C dans la population au niveau de
  confiance 94 .
• Estimation ponctuelle

• Intervalle de confiance de p au niveau de
  confiance 94
• Loi suivie par F

b) Intervalle de centre p qui contient 94 des
valeurs de F
2?(a)-10,94 2?(a)1,94 ?(a)0,97 a1,88
Par permutation

• la deuxième remplace la valeur de p par son
  estimation ponctuelle c'est la méthode
  fréquemment utilisée

c) Intervalle de confiance de p

• Premier cas

• Deuxième cas

45
CHAPITRE 3 LESTIMATION
Exercice 3 où il y danger Dans une population
normale, on a prélevé un échantillon de taille
300, de moyenne 51 et d écart-type 9. Donner un
intervalle de confiance de la moyenne de la
population au niveau de confiance 95 .
Estimation ponctuelle
Intervalle de confiance de m au niveau de
confiance 95 a) Loi suivie par
Attention lécart-type de la population nest
pas donné, on donne lécart-type de léchantillon
!
b) 2?(a)-10,95 2?(a)1,95 ?(a)0,975 a1,96
Par permutation

1. Enfin on remplace dans cet intervalle la
   variable aléatoire de léchantillon par la valeur
   estimée.

Si léchantillon est grand et si lécart-type de
la population est inconnu, on démontre que l on
peut utiliser lestimation ponctuelle de cet
écart-type.
46
CHAPITRE 3 LESTIMATION
L'estimation par intervalle de confiance sous un
aspect pédagogique Dans la dernière minute du
cours d'amphi, demander aux 140 étudiants
présents le travail suivant pour la prochaine
fois Lancer 100 fois une pièce de monnaie (la
même, par exemple de 1) et de noter la série de
résultats obtenus sous la forme P, F, P, F,
F.... Lors du cours suivant, vérifier que tout le
monde l' a fait (et faire confiance), passer un
léger savon à ceux qui ont recopié ou fait
ensemble (Comme il y avait 2100 1,261030 séries
possibles, quelle est la probabilité d'avoir le
même résultat que le voisin ?) Demander aux
étudiants de compter le nombre de piles obtenus,
puis de calculer la fréquence de piles obtenus
noté f) Calculer les bornes de l'intervalle
Attention aux parenthèses ! J'affirme alors
que 90 des étudiants ont la valeur 0,5 dans cet
intervalle et donc que 10 n'ont pas la valeur
0,5 dans cet intervalle. Je demande aux 14
attendus (soit 10 de 140) de lever la main.
Je constate que je ne suis pas loin des
14. Remarques je n'ai pas travaillé avec les
2100 échantillons mais avec seulement 140 (mais
statistiquement, ces deux nombres sont
grands). Définition Je constate que 90 des
intervalles construits de cette façon contiennent
la vraie valeur de p j'ai construit un
intervalle de confiance de p avec un niveau de
confiance de 90 . Enfin, on peut recommencer
avec les 50 premiers lancers (on divise par 50)
et constater que les résultats restent vrais mais
l'amplitude de l'intervalle est plus
large. L'expérience a montré que cela reste
valable avec des effectifs plus petits ( on peut
même descendre à 20 étudiants, en prenant un peu
de marge entre 1 et 3 n'auront pas la vraie
valeur de p dans leur intervalle).
47
CHAPITRE 4 LINITIATION AUX TESTS DHYPOTHESES
48
CHAPITRE 4 LINITIATION AUX TESTS DHYPOTHESES
Premier exercice de référence Un médecin sait
que chez les personnes en bonne santé, le taux X
de .. suit une loi normale de paramètre 1,5 et
0,4. Dans sa pratique, il a décidé que si le taux
observé chez un patient est inférieur ou égal à
2,2 alors il déclare ce patient non
malade. Question 1 Un patient en bonne santé se
présente, quelle est la probabilité que le
médecin ne le déclare pas malade ?
Quelle est la probabilité quil soit déclaré
malade ?
En rendant sa décision, le médecin a commis un
risque dit de 1 espèce noté a cest la
probabilité que le médecin le déclare malade
alors quil ne lest pas ( le patient est en
bonne santé)
49
CHAPITRE 4 LINITIATION AUX TESTS DHYPOTHESES
En fait, ce médecin ne sait pas que pour un
malade, ce taux suit une loi normale de paramètre
2,5 et 0,4. Question 2 Un patient malade se
présente. quelle est alors la probabilité que le
médecin le déclare non malade ?
En rendant sa décision, le médecin a commis une
erreur dite erreur de 2 espèce notée ß cest
la probabilité de le déclarer pas malade alors
quil lest. La puissance du test est 1-ß77
50
CHAPITRE 4 LINITIATION AUX TESTS DHYPOTHESES
Codage des informations
Décision Etat de santé inconnu Pas de symptôme symptôme
pas malade OK a probabilité de rejeter H0 alors que H0 est vraie
malade ß probabilité daccepter H0 alors que H1 est vraie OK
En fait, si linformation initiale pour un
patient non malade est correcte, laffirmation
pour un malade est sujette à caution et dautres
affirment que pour un malade, ce taux suit alors
une loi normale de paramètres 2,8 et 0,3. Quelle
est alors le risque de 2 espèce ? Quelle est
la puissance du test ?
Le risque de 2 espèce est de 2 La puissance du
test est de 98
51
CHAPITRE 4 LINITIATION AUX TESTS DHYPOTHESES
Deuxième exercice de référence Une pièce mest
affirmée bien équilibrée. Je décide de la lancer
100 fois et si elle tombe entre 45 et 55 fois sur
pile, jaccepte laffirmation. X est la variable
aléatoire qui prend pour valeurs le nombre de
fois où pile apparait sur les 100 lancers. Quelle
est la loi de X ?
Donner une approximation de X.
Quelle est la probabilité que jaccepte
laffirmation ?
Quel est le risque de 1 espèce ? Cest la
probabilité de rejeter laffirmation alors
quelle est vraie cest-à-dire si le nombre de
pile obtenus nest pas compris entre 45 et 55
a 1- 0,680,32
52
CHAPITRE 4 LINITIATION AUX TESTS DHYPOTHESES
La personne qui m a donnée cette pièce sait que
en fait la probabilité quelle tombe sur pile est
1/3. Y est la variable aléatoire qui prend pour
valeurs le nombre de fois où pile apparait sur
les 100 lancers. Quelle est la loi de Y ?
Donner une approximation de Y.
Le risque de 2 espèce est 0,007 La puissance du
test est 0,993
La pièce nest pas truquée la pièce est truquée
Codage des informations
Décision Etat de la pièce Pas truquée Truquée
Pas truquée OK a0,32
Truquée ß0,007 OK
53
CHAPITRE 4 LINITIATION AUX TESTS DHYPOTHESES

• Généralisation
• Le risque de 1 espèce est donné par énoncé en
  général 10 , 5 ou 1.

• Lhypothèse nulle notée H0 est celle qui permet
  de faire les calculs et de construire un
  intervalle de décision I.

La phrase-type associée est alors Si H0 est
vraie alors dans 90 (ou 95 ou 99) des
échantillons l'indicateur statistique observé
est dans I

• Je décide
• Soit la valeur observée dans léchantillon est
  dans I et jaccepte H0 ( avec un risque ....
• Soit la valeur observée dans léchantillon nest
  pas dans I et je rejette H0 (avec un risque a)
• En réalité, nous n'avons qu'une seule envie
  celle de rejeter H0 mais parfois l'échantillon ne
  me permet pas de la rejetter alors, contraint et
  forcé, j'accepte H0
• Bien souvent, lhypothèse alternative H1 nest
  pas explicite et on se contentera de la négation
  de H0 et en ce cas, on n'étudiera plus le risque
  de seconde espèce ni la puissance du test.

54
CHAPITRE 4 LINITIATION AUX TESTS DHYPOTHESES
B. Deux exercices classiques 1) Test bilatéral
ou unilatéral ? Le test bilatéral teste une
égalité contre une différence mais il peut
présenter certaines difficultés Si par
exemple, on me promet dans une production moins
de 8 de défectueux, je serai contraint avec bon
sens d accepter toutes les livraisons avec un
pourcentage inférieur à 8 (et même 0 qui est
très loin de laffirmation !) et je devrai même
accepter les livraisons où le pourcentage est
légèrement supérieur à 8 . Ou bien, cette
étiquette

• Ce qui est écrit nest pas la valeur exacte
  cest une valeur promise pour la moyenne par le
  fabricant, cependant, si à des fins de contrôle,
  un échantillon affiche une moyenne de 800 g, je
  ne vais pas me fâcher !
• On se souviendra que légalité doit se trouver
  dans lhypothèse nulle.
• On se souviendra aussi que si on veut tester
  laffirmation lécart-type est inférieur à 8,
  il faut entendre lécart-type est
  significativement inférieur à 8 (au risque de
  ...)

55
CHAPITRE 4 LINITIATION AUX TESTS DHYPOTHESES
Le sens statistique de significatif Première
approche Un hypermarché a étudié les ventes
quotidiennes d'un produit et a on a observé une
moyenne quotidienne de 50 produits. Le
fournisseur décide de changer l'emballage (dans
quel but ?) et lors des 30 jours suivants, la
moyenne quotidienne observée est de 52
produits. On peut se demander si 52 est vraiment
loin de 50 et on pourrait en déduire que la
différence n'est pas significative. Si par
contre, la moyenne de ces 30 jours était passée à
94, on pourrait penser qu'elle l'est.
Cependant On sait qu'une moyenne est souvent un
outil insuffisant et qu'il faut lui associer
l'écart-type. On travaille sur un échantillon de
30 jours et les clients n'étaient peut être pas
d'humeur et un autre échantillon aurait pu donner
une autre moyenne observée que 52. On sait que le
comportement des indicateurs des échantillons est
aléatoire, que l'on peut y associer des lois et
donc calculer des probabilités ( et des risques)
56
CHAPITRE 4 LINITIATION AUX TESTS DHYPOTHESES
2) Exercice 1 Une étude a été réalisée auprès
de quelques stations-services sur des pleins de
30 litres et dans l une delle, on a réalisé 10
pleins de 30 litres et on a relevé sur ces pleins
une moyenne de 29,95 litres. On sait que
lécart-type est de 0,1 litre. On sait que le
volume distribué suit une loi normale. On veut
tester différentes affirmations au risque de 5
a) Le gérant de la station service affirme que la
moyenne est de 30 litres. Sur quel indicateur
statistique est posée la question ?

• La question est posée sur la moyenne des pleins.

Ecrire les deux hypothèses H0 et H1.

• H0 m30 H1 m?30

Donner la loi suivie par cet indicateur
statistique en rappelant les conditions
dapplication.

• Léchantillon nest pas de taille supérieure à
  30 mais la population est supposée normale.
• Lécart-type de la population est connu.

Schéma
Le risque est 5 et lhypothèse alternative
contient le signe ? donc lintervalle est
bilatéral 2?(a)-10,95 donc 2?(a)1,95 donc
?(a)0,975 et a1,96 Dans 95 des échantillons,
la moyenne observée vérifie
Lintervalle de décision est donc I29,938
30,062
Décision la moyenne observée (de 29,95 l) est
dans I et jaccepte H0 avec un certain risque ß
que H0 soit fausse. En fait j'accepte H0 parce
que je ne peux pas la rejetter !
57
CHAPITRE 4 LINITIATION AUX TESTS DHYPOTHESES
2) Exercice 1

• b) Une association de consommateurs affirme que
  la moyenne est inférieure à 30 litres.
• Ecrire les deux hypothèses H0 et H1.
• H0 mlt30 H1 m30
• Une difficulté apparait ici le signe doit se
  trouver dans H0
• On est obligé de permuter les hypothèses
• H0 m30 H1 mlt30
• H0 m30 (et mgt30) H1 mlt30

Le risque est 95 et lhypothèse alternative
contient le signe lt donc lintervalle est
unilatéral il contient une borne
infinie. Laquelle ? 8 ou -8 Ici, cest 8 car on
accepte ?(a)0,95 donc a1,65 Dans 95 des
échantillons, la moyenne observée vérifie
Lintervalle de décision est donc I29,947 8
Décision la moyenne observée (de 29,95 l) est
dans I et jaccepte H0 m30 (ou plus exactement,
je ne peux pas la rejetter). Je ne peux pas
accepter le point de vue des consommateurs qui
déclaraient mlt30
58
CHAPITRE 4 LINITIATION AUX TESTS DHYPOTHESES

• c) les textes prévoient que la moyenne soit
  supérieure ou égale à 30 litres.
• Ecrire les deux hypothèses H0 et H1.
• H0 m30 H1 mlt30
• H0 m30 (et mgt30) H1 mlt30
• Les hypothèses sont inchangées par rapport au b)
  et lintervalle de décision aussi
• Lintervalle de décision est donc I29,947 8
• Décision la moyenne observée (de 29,95 l) est
  dans I et jaccepte H0 m30. ( en fait, je ne
  peux rejetter H0)
• Commentaire avec une moyenne sur léchantillon
  de 29,95 litres, le gérant ne peut être pénalisé
  il est conforme au texte (au risque de 5 ).
• Certaines enseignes réussissent ainsi à gagner
  0,05 litre par plein
• (et 150 000 pleins par an !)

d) Pour conclure On constate que le choix de
l'hypothèse nulle n'est pas sans conséquence et
l' association de consommateurs pourraient
émettre l'hypothèse H0 m 29,9 et le calcul
montre que H0 est acceptée (ou plus exactement,
je ne peux pas la rejeter) Le cas le plus
classique est donné par l'usine de traitement de
déchets radioactifs de la Hague Pendant de
nombreuses années, cette usine a rejeté de l'eau
en bas de la falaise et les riverains et les
écologistes l'ont soupçonné de favoriser le
développement de certains types de cancers (il y
en avait plus dans la région que dans d'autre
régions) mais au sens statistique, la différence
n'était pas significative (au risque de 1
souvent utilisé en médecine). Depuis, cette usine
a construit un long tuyau de plus d'un kilomètre
lui permettant de rejeter ses effluents beaucoup
plus loin en mer ...
59
CHAPITRE 4 LINITIATION AUX TESTS DHYPOTHESES

• 3) Exercice 2 Ce nouveau procédé de
  fabrication va nous permettre de modifier la
  proportion d objets défectueux qui est
  aujourdhui de 3
• Sur 300 nouveaux objets testés, 10 sont
  défectueux. Décider au risque de 5 suivant les 3
  points de vue
• le point de vue de linstallateur de la machine
  qui prévoit une diminution.
• le point de vue du sceptique gestionnaire de
  lentreprise qui prévoit une augmentation
• le point de vue de lindifférent.
• Sur quel indicateur statistique est posée la
  question ?
• La question est bien posée sur une proportion de
  pièces défectueuses
• Ecrire les deux hypothèses H0 et H1.

a) H0 plt0,03 H1 p0,03 H0 p0,03 H1 plt0,03 b) H0 pgt0,03 H1 p0,03 H0 p0,03 H1 pgt0,03 c) H0 p0,03 H1 p?0,03
Unilatéral avec pour borne 8 Unilatéral avec pour borne -8 Bilatéral
risque 0,05 donc ?(a)0,95 donc a1,65 risque 0,05 donc ?(a)0,95 donc a1,65 risque 0,05 donc 2?(a)-10,95 donc a1,96
On rappelle que pour la fréquence observée dans
un échantillon de taille supérieure à 30
60
CHAPITRE 4 LINITIATION AUX TESTS DHYPOTHESES
3) Exercice 2
Décision la fréquence observée est de 10 sur
300 soit f 0,033
jaccepte H0 jaccepte H0 jaccepte H0
Là encore, l'écritue de l'hypothèse nulle n'est
pas sans effet car tout le monde a raison (ou
plus exactement, je ne sais pas prouver que
quelqu'un à tort). Mais a) l'installateur
connait-il vraiment les tests statistiques et qui
lui permettraient de sortir de l'épineuse
situation ? Une phrase du type on va refaire
une série car l'échantillon est vraiment mauvais
serait du plus mauvais goût b) le gestionnaire
fera-t-il confiance si l'échantillon affiche plus
que promis ?
61
CHAPITRE 4 LINITIATION AUX TESTS DHYPOTHESES

• C. Un exercice sur les tests de comparaison
  déchantillons indépendants
• On a prélevé dans deux fabrications différentes
  et supposées normales, d écarts types respectifs
  5 et 8, deux échantillons de tailles respectives
  50 et 80 et de moyennes observées 248 et 261. Au
  risque de 5 , la différence des moyennes
  est-elle significative ?
• Ecriture des hypothèses
• On rappelle que lhypothèse nulle doit contenir
  légalité, on va donc supposer que les moyennes
  sont égales.
• H0 m1m2 H1 m1?m2
• H0 m1-m20 H1 m1-m2?0

Donner la loi suivie par la moyenne observée dans
le premier échantillon. La population est normale
et lécart-type est connu donc
De même, la moyenne du deuxième échantillon suit
Rappeler le théorème sur la différence de 2 lois
normales
c) Théorème 3 la différence de 2 lois normales
indépendantes est une loi normale dont la moyenne
est la différence des moyennes et la variance est
la somme des variances.
62
CHAPITRE 4 LINITIATION AUX TESTS DHYPOTHESES
C. Un exercice sur les tests de comparaison
déchantillons indépendants
Donner la loi suivie par la différence des
moyennes.
Mais on a supposé que m1-m20 et par
simplification
Lintervalle est bilatéral, le risque est de 5
donc la valeur de a est 1,96 et lintervalle de
décision est
Interprétation si H0 est vraie alors dans 95
des cas, la différence des moyennes observées
dans les échantillons se trouve dans l
intervalle de décision. Décision ici la
différence des moyennes observées est 261-24813
qui nappartient pas à I. Je rejette H0 et
jaccepte H1 avec un risque inférieur à 5 que
H0 soit vraie.
63
CHAPITRE 4 LINITIATION AUX TESTS DHYPOTHESES
D. Tests de comparaison de moyennes d
échantillons appariés. On veut évaluer les
différences de notation sur deux correcteurs
ayant corrigé les mêmes copies
n de la copie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
note A 13 12 10 11 10 9 8 6 8 5 3 10 9 6 10 12
note B 14 11 10 12 12 8 7 5 9 4 2 12 10 6 11 12
n de la copie 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
note A 15 16 9 3 5 11 4 10 9 8 10 11 13 15 16 11
note B 16 18 8 4 5 10 5 8 11 11 9 12 13 15 17 12

• Au risque de 5 , la différence des moyennes
  est-elle significative ?
• On travaille sur un seul échantillon mais on
  évalue sur cet échantillon deux traitements
  différents on parle déchantillons appariés.
• Si il n y a pas de différence de notation alors
  la différence observée entre A et B doit être
  nulle en moyenne.
• Ecrire les hypothèses
• H0 la différence est nulle en moyenne H1
  la différence nest pas nulle en moyenne
• ou bien
• H0 la moyenne de la différence est nulle H1
  la moyenne de la différence nest pas nulle

n de la copie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
note A 13 12 10 11 10 9 8 6 8 5 3 10 9 6 10 12
note B 14 11 10 12 12 8 7 5 9 4 2 12 10 6 11 12
différence -1 1 0 -1 -2 1 1 1 -1 1 1 -2 -1 0 -1 0
n de la copie 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
note A 15 16 9 3 5 11 4 10 9 8 10 11 13 15 16 11
note B 16 18 8 4 5 10 5 8 11 11 9 12 13 15 17 12
différence -1 -2 1 -1 0 1 -1 2 -2 -3 1 -1 0 0 -1 -1
64
CHAPITRE 4 LINITIATION AUX TESTS DHYPOTHESES
?note A-note B -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
effectifs 0 1 4 11 6 9 1 0 0
Calculons la moyenne, la variance et lécart-type
de cet échantillon
Donner la loi suivie par la moyenne de la
différence.
Léchantillon est de taille supérieure à 30 donc
la normalité de ? nest pas nécessaire.
Lécart-type de ? nest pas connu mais comme
léchantillon est de taille supérieure à 30, on
peut utiliser son estimation ponctuelle
On a supposé dans H0 que m? 0 donc
Lintervalle est bilatéral, le risque est de 5
donc la valeur de a est 1,96 et lintervalle de
décision est
Interprétation si il n y a pas de différence
de notation des copies alors dans 95 des
échantillons, la différence des notes présente sa
moyenne dans I. Décision dans notre
échantillon, la moyenne observée est -0,34375 qui
appartient à I jaccepte H0 et je ne peux pas
conclure à une différente de notation.