CC30A Algoritmos y Estructuras de Datos

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CC30A Algoritmos y Estructuras de Datos
Universidad de Chile Facultad de Ciencias Físicas
y Matemáticas Escuela de Ingeniería y Ciencias

• Dividir para reinar
• Tabulación

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Dividir para reinarMultiplicación de dos
polinomios

• Problema multiplicar dos polinomios de grado
  n-1.
• A(x)a0a1xa2x2an-1xn-1
• B(x)b0b1xb2x2bn-1xn-1
• CA(x)B(x).

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Dividir para reinarMultiplicación de dos
polinomios

• Solución trivial O(n2)
• float cnew float2n-1
• // inicializar ck en 0
• for (i0 iltn i)
• for (j0 jltn j)
• cijaibj

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Dividir para reinarMultiplicación de dos
polinomios

• Algoritmo más eficiente separar cada polinomio
  en 2 partes.
• Ejemplo

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Dividir para reinarMultiplicación de dos
polinomios

• En general
• El grado de cada polinomio de la suma es (n/2)-1.

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Dividir para reinarMultiplicación de dos
polinomios

• Por lo tanto
• Esto se puede implementar con 4 multiplicaciones
  de polinomios de tamaño n/2, más kn sumas (para
  algún k).

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Dividir para reinarMultiplicación de dos
polinomios

• El número total de operaciones T(n) se puede
  escribir como
• Qué complejidad temporal tiene el algoritmo?

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Dividir para reinarMultiplicación de dos
polinomios

• Se resolverá la ecuación
• Desenrollando la ecuación

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Dividir para reinarMultiplicación de dos
polinomios

• En general
• Si pgtq (nuestro caso)

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Dividir para reinarMultiplicación de dos
polinomios

• Escoger j tal que qjn (o sea, jlogqn)
• Pero

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Dividir para reinarMultiplicación de dos
polinomios

• Por lo tanto, el algoritmo demora
• Aplicando el resultado a nuestra ecuación, donde
  p4 y q2
• El resultado no es muy interesante

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Dividir para reinarMultiplicación de dos
polinomios

• PERO si se calcula
• Entonces
• Requiere 3 multiplicaciones recursivas.

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Dividir para reinarMultiplicación de dos
polinomios

• Por lo tanto
• Ejercicio demostrar T(n) en los casos
• pltq O(n)
• pq (n log n)

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Recursividad y tabulación

• No siempre la recursividad es eficiente.
• Ejemplo cálculo de números de Fibonacci.

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Recursividad y tabulación

• Tabla de valores

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Recursividad y tabulación

• Solución recursiva
• int F(int n)
• if (nlt1)
• return n
• else
• return F(n-1)F(n-2)

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Recursividad y tabulación

• Esto resulta muy ineficiente. Si T(n) representa
  el número de sumas ejecutadas para calcular fn,
  se tiene
• T(0)0
• T(1)0
• T(n)1T(n-1)T(n-2)

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Recursividad y tabulación

• Tabla de valores para T(n)
• T(n)fn-1? Si. (Ejercicio demostrarlo).

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Recursividad y tabulación

• Luego, el tiempo crece de manera exponencial (muy
  lento).
• El problema es que se está recalculando una y
  otra vez los mismos valores (ver dibujo en
  pizarra).
• Una forma de evitar esto es anotar los valores
  calculados en un arreglo.

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Recursividad y tabulación

• El arreglo debe llenarse de manera ordenada
• int F(int n)
• int fibn1
• fib00
• fib11
• for (i2 iltn i)
• fibifibi-1fibi-2

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Recursividad y tabulación

• Tiempo del nuevo algoritmo O(n).
• Esta idea se llama programación dinámica cuando
  se usa para resolver problemas de optimización.
• Es posible calcular fn más rápido que O(n)?
  Respuesta Si.

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Recursividad y tabulación

• Se tiene que
• Se define una función auxiliar g tal que

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Recursividad y tabulación

• Con esto se plantea el siguiente sistema de
  ecuaciones

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Recursividad y tabulación

• An-1 se puede calcular por el método eficiente gt
  Tiempo O(log n).