Transformation

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Transformation

• Grafische Bildverarbeitung
• Vortrag Kenny Schlör
• 29.11.1999

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TheorieEinführung in die zwei- und
drei-dimensionalen Transformation.

• Transformation ist ein Teilgebiet in der
  linearen Algbra.
• Siehe LAII.
• Die Transformationen kommen direkt in
  Anwendungsprogrammen und innerhalb vieler
  Graphikpakete zum Einsatz.Eine Applikation zur
  Stadtplanung würde mit einer Translation die
  Symbole für Gebäude und Bäume an die richtigen
  Stellen bringen ,die Symbole mit einer Rotation
  ausrichten und sie durch Skalierung auf die
  richtige Größe bringen.Im allgemeinen benutzen
  viele Applikationen die geometrische
  Transformation,um Position,Orientierung und Größe
  von Objekten in einer Zeichnung zu ändern.

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Formen der Transformationen in Graphikpaketen

• Translation(Verschiebung)
• Punkte werden mittels der Translation in einer
  Ebene (zweidimensionale Transformation) mittels
  eines gewünschten Betrages der Verschiebungen zu
  den Koordinaten addiert.
• Ein Punkt beispielsweise P(x,y) wird um dx
  Einheiten parallel zur X-Achse und um dy
  Einheiten parallel zur Y-Achse auf den neuen
  Punkt P(x,y)verschoben. x x dx
  , y y dy
  P P T
• Um eine Linie zu verschieben brauchen wir nur die
  Endpunkte zu verschieben.Dies gilt auch für die
  Skalierung(Vergrößerung oder Verkleinerung) und
  Drehung.

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Formen der Transformationen in Graphikpaketen

• Skalieren (dehnen oder strecken)
  Es
  gibt zwei Skalierungsarten
• die uniforme oder gleichmäßige Skalierung,wo die
  Skalierungsfaktoren gleich sind,also sx sy.Die
  Proportionen bleiben beim Objekt erhalten.
• Skalierung mit unterschiedliche
  Skalierungsfaktoren sx? sy x
  sx x ,ysy y

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Formen der Transformationen in Graphikpaketen

• Drehung Punkte können um einen Winkel 0 um den
  Ursprung gedreht werden(Rotation). Einen Drehung
  wird mathematisch definiert durch die
  Gleichungen x x cos q -ysin q,
  y x sin q y cos q
• oder P R P, wobei R die Drehungsmatrix in
  Matrixgleichung ist.Wie die Skalierung bezieht
  sich auch die Drehung auf den Ursprung.
• Positive Winkel werden gegen den Uhrzeigersinn
  von x nach y gemessen.Für negative Winkel(Also im
  Uhrzeigersinn) können wir die Gleichungen mit
  Hilfe der Identitäten cos(-q)cos q und
  sin(-q)-sinq umschreiben.

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Formen der Transformationen in Graphikpaketen

• Wir können bei einer Überführung von P(x,y) um
  Winkel p in den Punkt P(x,y) leicht ableiten.
  Da wir um den Ursprung drehen, sind die Abstände
  von P und P zum Ursprung gleich. x
  rcos p, y r sin p und xrcos(p
  q)r cos q cos p - rsin qsin p yrsin
  (p q)r cos qsin p rsin qcos p
  

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Homogene Koordinaten und Matrizen-darstellung von
2D-Transformationen

• Die Translation wird im vergleich zu Skalierung
  und Rotation auf eine andere Weise
  dargestellt.Man strebt zu einer einheitlichen
  Behandlung aller Transformationen,damit sie
  leichter kombiniert werden können.
• Dafür werden die Punkte in homogene Koordinaten
  ausgedrückt.Die Transformationen können über die
  Multiplikation behandelt werden.
• Homogene Koordinaten wurden zuerst in der
  Geometrie dargestellt und dann später auf die
  Graphik angewandt.
• Jeder Punkt bekommt eine dritte
  Koordinate. P(x,y,W) ein Tripel

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Homogene Koordinaten und Matrizen-darstellung von
2D-Transformationen

• Homogene Punkte (x,y,W) und (x,y,w) sind genau
  dann gleich, wenn der eine Punkt das Vielfache
  des anderen ist. Ein Punkt hat daher viele
  Verschieden Darstellungen in homogenen
  Koordinaten.Sie stehen für Punkte im
  zweidimensionalen Raum.
• Eine der Koordinaten muss ungleich null
  sein.(0,0,0) ist nicht gültig.
• Wenn W ungleich null ist , so wird durch W
  normalerweise dividiert.
• Die Zahlen x/W und y/W sind die kartesischen
  Koordinaten des homogenen Punktes.
• Die Punkte mit W 0 heissen Punkte im
  Unendlichen.

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Homogene Koordinaten und Matrizen-darstellung von
2D-Transformationen

• Mit der Form (tx,ty,tW) mit t ? 0 erhalten Wir
  eine Gerade im 3D-Raum, daher steht jeder
  homogene Punkt für eine Gerade .
• Homogenisieren wir den Punkt(Division durch W)
  erhalten wir (x,y,1).Dieser Punkt bildet eine
  Ebene mit W1 im (x,y,W)-System.
• Punkte im unendlichen werden auf dieser Ebene
  nicht dargestellt.
• Die Punkte sind jetzt also dreielementige
  Spaltenvektoren. Die Transformationsmatrizen ,die
  bei der Multiplikation mit einem Punktvektor
  einen anderen Punktvektor liefern, haben die
  Grösse einer 3x3-Matrix.

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Konventionen Transformationsmatrizen

• Um Zeilenvektoren von links an die Matrix zu und
  Spaltenvektoren von rechts zu an die Matrix zu
  multiplizieren werden die Matrizen
  transponiert. (PM)T MT
  PT oder P(T(dx,dy) P
• TranslationWenn ein Punkt P mit der
  Translationsmatrix T(dx1,dy1) nach P verschoben
  wird und anschliessend mit T(dx2,dy2) setzt
  sich das Matrizenprodukt als Komposition additiv
  zusammen.
• Aufeinander folgende Skalierung sind
  multiplikativ.
• Aufeinander folgende Rotation sind additiv.

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Betrachtung der linken oberen 2x2-Teilmatrix bei
der Rotation

• Jede der beiden Zeilen werden asl Vektor drei
  Eigenschaften zugewiesen.
• 1. Beide sind Einheitsvektoren.
• 2. Die beiden Vektoren stehen senkrecht
  aufeinander.
• 3. Rotiert man die beiden Vektoren um R(P), so
  kommen sie auf die positive x- bzw y-Achse zu
  liegen(zusammen mit den Eigenschaften 1 und 2 ist
  dies äquivalent dazu, dass die Determinate der
  Teilmatrix den Wert 1 hat).
• Eine Matrix mit diesen Eigenschaften nennt man
  spezielle orthogonale Matrix.

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Ähnlichkeitstransformationen und
affine Transformationen

• Diese Matrix erhält Längen und Winkel,sie werden
  Ähnlichkeitstransformationen genannt,da sie das
  Transformierte Objekt nicht verzerren.
• Durch eine beliebige Folge von Rotations- und
  Transformations-matrizen entsteht eine Matrix
  dieser Form
• Platz für die Matrixsiehe Tafel!!
• Ein Produkt einer beliebigen Folge von
  Rotations-,Translations- und Skalierungsmatrizen
  liefert eine affine Transformation.
• Parallelität von Linien werden erhalten jedoch
  nicht die Längen und Winkel.
• Zustäzliche Rotation,Skalierung und Translation
  erhalten die Parallelität.

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Die speziele affine TransformationScherung

• Der Term a bei SHx und der Term b bei SHy sind
  die Proportionaltätskonstanten.

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Zusammengesetzte zweidimensionale Transformationen

• Zusammengesetzte Transformationen sind
  effektiver, als wenn wir einzelne
  Transformationen nacheinander ausführen.
• Die Basismatrizen R,S und T werden kombiniert.
• Beispiel(Rotation)
• Verschiebe P1 zum Ursprung.
• Rotiere.
• Verschiebe so, dass der Punkt im Ursprung zu P1
  zurückkehrt.
• Beispiel(Skalierung )
• Verschiebe P1 zum Ursprung.
• Skalieren
• Verschiebe zurück zu P1

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Effizienz

• Die allgemeinste Komposition von
  Rotation,Skalierung und Translation ergibt eine
  Matrix der Form
• Siehe Tafel
• Die obere 2x2 Teilmatrix ist die zusammensetzung
  von Rotation und Skalierung und tx und ty sind
  die Komponenten der Translation.
• Da die letzte Zeile der Gleichung konstant ist,
  sind nur folgende Operationen nötig
• x xr11yr12 tx,
• y xr21 yr22 ty

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Effizienz

• Diese Matrix brauch also nur vier
  Multiplikationen und vier Additionen .
• Dies ist einen beträchtliche Beschleunigung,wenn
  man bedenkt, dass diese Operation pro Bild auf
  Hundert oder gar Tausende von Punkten angewandt
  wird.

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Umsetzung in Java Die Klasse AffineTransform

• Konstruktor
• AffineTransform()
• AffineTransform(AffineTransform Tx)
• Erzeugt ein neues Objekt AffineTransform ,dass
  eine Kopie von der allgemeinen Matrix ist.
• AffineTransform(double flatmatrix) Erzeugt
  ein neues AffineTransform-Objekt mit einem Feld
  von Doublewerten. 4 Einträgen repräsentieren die
  Transformation ohne Translation oder alle 6 die
  allgemeine Transformationsmatrix.
• AffineTransform(double m00,double m10,double
  m01,double m11, double m02,double
  m12) Erzeugt ein neues Objekt AffineTransform
  von 6 spezifischen Doubelwerten,die die 6
  Einträge in die allgemeinen Form
  darstellen.(Anlog mit Float)

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Methoden von AffineTransform

• public void getMatrix(double flatmatrix)
• Übergibt 6 Werte in die 3x3-Matrix und plaziert
  sie in einem DoubleFeld.
• public static AffineTransform getRotateInstance
  (double theta)
• Gibt eine Rotationstransformation zurück.
• public static AffineTransform getRotateInstance(d
  ouble theta, double x,doubel y)
  
• Gibt eine Rotationstransformation um einen
  beliebigen festen Punkt zurück
• public static AffineTransform(double sx,double
  sy)
• Gibt eine Skalierungstransformation zurück.

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Methoden von der Klasse AffineTransform

• public doubel getScaleX()
• Gibt den Skalierungsfaktor in Richtung der
  X-Koordinate zurrück.Der Faktor steht bei der
  allgemeinen Transformationsmatrix an der Stelle
  (m00). (Analog Y-Koordinate)
• public static AffineTransform getTranslateInstance
  (double tx, double ty)
• Gibt die Transformation für die Translation
  zurück.
• public double getTranslateX()
• Gibt die X-Koordinate der Translation ,das
  Element (m02) von der allgemeinen
  Transformationsmatrix zurück.(Analog
  Y-Koordinate)

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Methoden der Klasse AffineTransform

• void transform(double scrPts, int scrOff,
  double dstPts, int dstOff, int numPts)
• Diese Methode transformiert ein Feld von
  Koordinaten.Diese Methode sichert ,das keine
  Quell-Daten von einer früheren Operation
  überschrieben wird,bevor die Quell-Daten
  transformiert sind.
• Die Parameter
• scrPts Dieses Feld beinhaltet die
  UrsprungsKoordinate.
• dstPts Dieses Feld beinhaltet die
  Zielkoordinaten
• srcOff Der Anfang des ersten Punktes der
  Quelle, der transformiert wird.
• dstOff Der Anfang des ersten Punktes des Zieles
  zu dem transponiert wird.
• numPts- Die Nummer des transformierenden Punktes.

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Methoden der Klasse AffineTransform

• public void transform(double srcPts, int
  srcOff, float dstPts,int dstOff,int
  numPts)
• Diese Methode transformiert ein Double-Feld und
  speichert das Ergebnis in ein Float-Feld.
• public void transform(float srcPts, int
  srcOff, double dstPts,int dstOff,int
  numPts)
• Diese Methode transformiert ein Float-Feld und
  speichert das Ergebnis in ein Double-Feld.
• public void transform(float srcPts, int
  srcOff, float dstPts,int dstOff,int
  numPts)