Chi-i-anden Test

1
Chi-i-anden Test

• Repetition
• Goodness of Fit
• Uafhængighed i Kontingenstabeller

2
Chi-i-anden Test

• Chi-i-anden test omhandler data, der har form af
  antal eller frekvenser.
• Antag, at n observationer kan inddeles i k
  kategorier.
• Lad Oi være antallet af observationer, der falder
  i den ite kategori.
• Lad Ei være det forventede antal obser-vationer
  ite kategori under antagelse af, at en given H0
  hypotese er sand.

3
Chi-i-anden Teststørrelse

• Oi er faktiske antal observationer i ite
  kategori og Ei er det forventede antal
  observationer under H0.
• Chi-i-anden teststørrelsen er givet ved

• Når stikprøvestørrelsen vokser og k fastholder,
  så nærmer X2 sig en Chi-i-anden fordeling.
• Bemærk For at chi-i-anden approksimationen er
  god skal alle Ei være mindst 5, dvs. vi forventer
  mindst 5 observationer i hver kategori.

4
Chi-i-anden Test for Goodness of Fit

• Vi opstiller en hypotese om at data x1,,xn er en
  stikprøve fra en bestemt fordeling, fx.
  multinomial- eller normalfordelingen.
• Vi bestemmer, hvordan hvert xi tilhører en af k
  kategorier.
• Under antagelse af at H0 er sand udregner vi hvor
  mange xier vi forventer falder i den jte
  kategori, Ej.
• Via X2-teststørrelsen sammenligner vi dette med
  det faktiske observerede antal Oi.

5
Goodness of Fit Multinomial fordelingen

• Multinomial fordelingen er en udvidelse af
  binomial fordelingen.
• For multinomial fordelingen gælder
• at en observation kan falde i en af k forskellig
  kategorier.
• sandsynligheden for at en observation falder i
  den ite kategori er pi.
• summen af pierne er 1.
• Konsekvens Har vi n observationer, så er det
  forventede antal observationer i den ite
  kategori Einpi.

6
Goodness of Fit Multinomial
Nul-hypotesen og alternativ hypotesen H0
Sandsynligheden for hændelserne H1, H2...,Hk er
givet ved p1,p2,...,pk H1
Sandsynligheden for de k hændelser er ikke
specificeret ved nul-hypotesen.
H0 Antag ens sandsynligheder, p1 p2 p3 p4
0.25 og n80 Preference Tan Brown Maroon Black To
tal Observed 12 40 8 20 80 Expected(np) 20 20
20 20 80 (O-E) -8 20 -12 0 0
H0 afvises på signifikansniveau 0.01.
7
Goodness of Fit Multinomial

• SPSS Analyze ? Nonparametric Tests ? Chi-square
• Hvis de expected counts er forskellige, så kan
  de indsættrs her

8
Goodness of Fit Multinomial

• SPSS
• Observede og forventede counts
• Teststørrelse og p-værdi

9
Goodness of Fit Normalfordeling

• Hypotese Data x1,,xn, følger en en standard
  normalfordeling (N(0,s2) ).
• Ide Vi inddeler normalfordelingen i k bidder.

• Vi udregner sandsynligheden for at standard
  normalfordelt tal falder i den jte bid.
• Dernæst kan vi genbruge multinomal eksemplet.

10
Goodness of Fit Normalfordeling

• Vi anvender følgende inddeling -1, -0.44, 0,
  0.44 og 1.
• Vi har da 6 kategorier
• 1. kategori Z -1
• 2. kategori -1 lt Z -0.44
• 3. kategori -0.44 lt Z 0
• 4. kategori 0 lt Z 0.44
• 5. kategori 0.44 lt Z 1
• 6. kategori 1 lt Z
• Hvad er sandsynligheden for at Z er i 5.
  kategori?
• Det samme som P0.44 lt Z 1 Areal af 5.
  område i figuren 0,1713. (Kan findes vha.
  tabel)

11
Goodness of Fit Normalfordeling

• Vi kan bestemme sandsynligheden pi for den ite
  kategori.
• Vi har da 6 sandsynligheder
• 1. kategori p1 0,1578
• 2. kategori p2 0,1713
• 3. kategori p3 0,1700
• 4. kategori p4 0,1700
• 5. kategori p5 0,1713
• 6. kategori p6 0,1578
• Har vi n observationer, forventer vi Einpi
  observationer i den ite kategori.
• Vi kan nu udregne X2 teststørrelsen.

12
Kontingenstabeller

• Hidtil Følger en kategorisk variabel en given
  fordeling?
• Nu Er to kategoriske variable uafhængige?
• Fx uafhængighed mellem følgende to kategoriske
  variable
• Jobtype (4 kategorier, Uden, Lavt-, mellem og
  højtlønnet)
• Helbred (5 kategorier meget dårligt til meget
  godt)
• Værktøj Kontingenstabeller (cross-tabs)
• I en kontingenstabel er hver celle et antal /
  frekvens.

13
Kontingenstabeller

• Kontingstabellen består af r rækker og c
  kolonner.
• Første kategoriske variabel (Helbred) har c
  kategorier.
• Anden kategoriske variabel (Jobtype) har r
  kategorier.

Celle (3,4)

• Oij er antallet af observationer (personer), hvor
  Helbred er tilhører ite Helbreds-kategori og
  Jobtype jte Jobtype.

14
Kontingenstabel

• Ri er rækketotalen, dvs. totale antal
  observationer af Jobtype i.
• P( i ) P( Jobtype i ) Sandsynlighed for at
  en tilfældig valgt person har Jobtype i
• P( i ) Ri / n antal med Jobtype i / total
  antal personer.

15
Kontingenstabel

• Cj er kolonnetotalen, dvs. totale antal
  observationer af Helbred j.
• P( j ) P( Helbred j ) Sandsynlighed for at
  en tilfældig valgt person har Helbredj
• P( j ) Cj / n antal med Helbred j / total
  antal personer.

16
Test for uafhængighed

• X2 teststørrelsen er
• dvs. en sum over alle rækker og søjler.
• X2 følger approksimativt en ?2-fordeling med
  (r-1)(c-1) frihedsgrader.
• Eij er det forventede antal observationer i celle
  (i,j) under antagelse af, at H0 er sand
  (uafhængighed).
• Hvis P( i n j ) er sandsynligheden for at en
  tilfældig valgt person er i celle (i,j), da er
  Eij n P( i n j ).

17
Kontingenstabel Uafhængighed

• Lad P( i n j ) P( Jobtype i og Helbred j )
• Under H0 (uafhængighed) gælder (pr definition)
• P( i n j ) P( i )P( j )
• Forventede frekvens er (som ved multinomial)
• Eij n P( i n j )
• Fra før har vi P( i ) Ri / n og P( j ) Cj /
  n .
• Dvs. Eij n (Ri / n )( Cj / n ) RiCj / n.

18
Kontingenstabel Eksempel

• To kategoriske variabel
• Industry Service eller Nonservice
• Result Profit eller Loss

• SPSS Analyze ? Descriptive Statistics ?
  Crosstabs
• Forventede frekvenser og række procenter
  tilvælges under Cells.

19
Kontingenstabel Eksempel

• H0 Industry og Result er uafhængige
• H1 Der er en sammenhæng ml Industry og Result.
• For 22 tabeller anvendes en kontinuitets
  korrektion (såkaldt Yates korrektion) af
  teststørrelsen X2

• c2 kolonner og r2 rækker (c-1)(r-1)1
  frihedsgrader.
• Yates korrigeret X2 26,92.
• Kritisk værdi ?20.05(1) 3,84
• Da 29,92 gt 3,84 forkaster vi H0 dvs. vi
  accepterer hypotesen om, at Industry og Result er
  afhængige.

20
Kontingenstabel Eksempel

• I SPSS vælges Chi-square i Statistics menuen
  i Crosstabs.

• Resultat i SPSS. Bemærk Continuity Correction

21
Chi-i-anden Test af Andele

• Hidtil Vi har spurgt n personer og analyseret
  sammenhængen mellem to kategoriske variable, fx
  helbred og jobtype.
• Nu Er andelen af forskellige af bestemte
  kategorier ens for en række forskellige
  populationer?
• Eksempler
• Er andelen der stemmer hhv, til venstre, i
  midten, til højre den samme for 18-25 årige,
  26-35 årige, 36-65 årige og over 65 år?
• Er andelen af personer med grøn tandbørste den
  samme blandt hjemløse og ikke-hjemløse?

22
Chi-i-anden Test af Andele

• Fremgangsmåde Vi bestemmer hvor mange tilfældigt
  udvalgte vi vil spørge i hver population (fx i
  hver aldersgruppe).
• Dvs. vi fastlægger kolonne-totalerne.
• Meget nyttig, hvis en af populationerne naturligt
  er meget mindre end de andre, fx hjemløse.

23
Chi-i-anden Test af Andele

• Selvom vi kolonne totalerne er fastlagte ændrer
  ikke ved udregning af teststørrelsen eller antal
  frihedsgrader!!
• Vi har stadig
• Hvor Eij er udregnet som før og X2 følger en ?2
  fordeling med (r-1)(c-1) frihedsgrader.
• Dvs. Eij RiCj / n.

24
Test af andele Eksempel

• Er andelen af skades-anmeldelser den samme i tre
  aldersgrupper? 100 tilfældige kunder udvalgt i
  hver aldersgruppe.

• Forventede frekvenser Eij RiCj / n.
• Antal frihedsgrader (c-1)(r-1) (3-1)(2-1) 2
• Kritisk værdi ?20,05(2) 5,99.
• Teststørrelse X2

25
Uduelige piger eller?

• Vi har spurgt 1000 kvinde og 1000 mandlige
  kandidater om de har gennemførte deres studie på
  normeret tid.
• Resultat Mænd 72,5 Kvinder 57,5

• Forskellen er statistisk signifikant!

26
Stratificeret Analyse

• Vi har også spurgte om hvilket fakultet folk har
  studeret ved (INS eller Samf).
• Vi udfører nu analyses separat for hvert
  fakultet
• (Vi siger vi stratificerer efter fakultet)

27
Simpsons Paradoks

• Internt på de to fakulteter er der ingen forskel
  mellem mænds og kvinders gennem-førsels procent!
• Bemærk Kvinder vil hellere læse et studie, der
  er svært at gennemføre på tid.
• Mænd er lige modsat

28
Flyskræk!

• Passer overskriften?
• Politiken 6/12-07
• Er du tryg ved at flyve?
• Ja 86 i 2005 og 83 i 2007
• Vi antager de har spurgt 1000 tilfældige personer
  begge år.
• Dvs. 860 svarede ja i 2005 og 830 i 2007.
• H0 hypotese Andelen af utrygge er den samme de
  to år!

29
Flyskræk!
Observerede frekvenser Oij Observerede frekvenser Oij Observerede frekvenser Oij Observerede frekvenser Oij
Tryg? 2005 2007 Total
Ja 830 860 1690
Nej 170 140 310
Total 1000 1000 2000

• Da det er en 22 tabel bruger vi Yates
  korrektionen
• Kritisk værdi
• ?20,05(1) 3,84
• Teststørrelse
• X2

Forventede frekvenser Eij Forventede frekvenser Eij Forventede frekvenser Eij Forventede frekvenser Eij
Tryg? 2005 2007 Total
Ja 845 845 1690
Nej 155 155 310
Total 1000 1000 2000