Quantit

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Quantità di moto

• quantità di moto di una particella di massa m che
  si muove con velocità v

• è un vettore la cui direzione e il cui verso sono
  quelli del vettore velocità

• Se m e costante possiamo riscrivere la seconda
  legge della dinamica mediante la quantità di
  moto

• nel caso in cui non ci sia una forza agente q
  rimane costante

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Leggi della dinamica

• prima legge della dinamica
• in assenza di forze, o in presenza di forze a
  risultante nulla, la quantità di moto di un corpo
  non muta
• seconda legge della dinamica
• in presenza di forze non equilibrate la
  risultante delle forze eguaglia istante per
  istante la derivata della quantità di moto

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Quantità di moto

• l'eguaglianza
• F ma

è valida solo nella meccanica classica F dq/dt
vale sempre , purche q sia definito come
Dove c e la velocita della luce e v la
velocita di m0. m0 e la massa del corpo
misurata a v 0 q tende a m0 V ( e dq/dt a ma)
per vltlt c
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Terza legge della dinamica

• dati due corpi A e B osserviamo che, se A
  esercita una forza su B, anche B esercita una
  forza su A
• il modulo delle due forze risulta uguale
• la direzione è la stessa
• il verso è opposto
• possiamo dire che se A agisce su B, B reagisce su
  A
• dobbiamo allora parlare di mutua interazione tra
  i corpi
• questo lo osserviamo quotidianamente
• quando spingiamo un oggetto tendiamo ad
  allontanarcene
• quando lo tiriamo tendiamo ad avvicinarcene

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Terza legge della dinamica

• terza legge della dinamica
• se un corpo A esercita una forza FA su un corpo
  B, questo a sua volta esercita su A una forza FB
  avente la stessa intensità, la medesima direzione
  e verso opposto
• la somma dei due vettori è nulla
• FA FB 0

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Il moto avviene nello spazio e nel tempo. La
posizione cambia e il tempo passa La
posizione richiede la definizione di un sistema
di riferimento ( X,Y,Z,t) Si misurano U(X,Y,Z)
e t rispetto a (Xo.Yo.Zo) e to La posizione e
definita da tre numeri , da un VETTORE (U) Il
tempo da uno scalare t, un numero solo. Ce
moto quando U cambia di dU (in lunghezza e/o
direzione) nel tempo dt dU/dt ?
0 (in senso vettoriale dU/dt (dX/dt,dY/dt,dZ/dt)

Se si ipotizza che lo stato naturale di un
corpo libero sia la quiete, deve esistere un
sistema di riferimento assoluto che permetta di
dire che un corpo materiale fermo (in quiete)
rispetto ad esso e libero
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Se la risposta e SI Se un corpo e fermo
rispetto al riferimento assoluto su di esso non
agiscono forze Si muove se su di esso agisce
una forza. Ce forza se dU/dt ? 0 V dU/dt
e la velocita . Se F cost V dU/dt
cost U2 U1
V (t2 t1) lo spazio percorso nel tempo ?t e
proporzionale a ?t
Il peso e una forza costante
G.Galilei 1638 discorso e dimostrazioni
matematiche intorno etc In un regolo di
legno, lungo circa 12 braccia, incavatoun
caneletto, tiratolo dritissimo, .., incollatovi
dentro una carta pecora zannata e lustrata al
possibile, ..scendere una palla dì bronzo
durissimo, ben rotondata si lasciava (come
dico) scendere per il detto canale la palla,
notando, nel modo che appresso dirò, il tempo con
esatissima bilancia pesando. per esperienze ben
cento volte replicate sempre s'incontrava gli
spazii passati esser tra di loro come i quadrati
dei tempi, e questo in tutte le inclinazioni
del regolo,
lo spazio percorso nel tempo ?t e proporzionale
a ?t2 !!!!
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Y
Y
R
j
i
mg sin ? i
-mg cos ? j
?
mg
X
?
Scelta assi Y perpendic. al piano e x parallelo
al piano. Per il principio di sovrapposizione e
possibile scomporre le forze agenti come
sovrapposizione di forze lungo X e Lungo Y. Sia
R la forza sviluppata dal piano per sostenere m
lungo Y. Poiche non ce moto lungo Y deve
essere mg cos ? j R 0 Lunica componente
efficace e quella di g lungo x Fx mgsin
? Dunque il moto e un moto uniformemente acc.
Lungo X
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Galilei (1638) conclude che una forza non provoca
velocita ma variazioni di velocita
(accelerazioni) e che una forza costante produce
una accelerazione costante.

F k dV/dt k A se F cost AdV/dt
Ao cost dV Ao dt V Ao tVo dU
Vdt Ao t dt Vo dt U ½ Aot2 Vo t
Uo Se a t 0 V0 e U 0 U(t) ½ Ao t2
Non esiste alcun sistema di riferimento
assoluto ( in prigione!)
Se non esiste un riferimento assoluto, non
esiste una posizione/ orientamento preferenziale
nello spazio, Ogni suo punto o orientazione e
indistinguibile da ogni altro lte inconoscibilegt
lo spazio e isotropo e omogeneo.
Se lo stato naturale di un corpo libero e
quello di possedere una Velocita costante
(anche nulla) cio che e possibile misurare e
solo V V DS/Dt. Una variazione di posizione
divisa per una variazione di Tempo. E possibile
misurare solo variazioni di tempo o
segmenti di spazio l origine del tempo (t0)
come quello delle coordinate (X0) e arbitraria
lte inconoscibilegt
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Si da il nome di galileiano o inerziale ai
sistemi di riferimento nei quali un corpo libero
si muove con velocita costante. Una volta
identificato un sistema galileiano ( O ) ce ne
sono infiniti altri tutti quelli in moto
relativo rettilineo e uniforme rispetto ad O.
Due osservatori studiano il moto dello stesso
punto P da due riferimenti Galileiani ( O e O).
Le origini sono scelte arbitrariamente, essi si
muovono luno rispetto allaltro con velocità W
costante in valore e verso. Sia P libero,
non soggetto a forze. La sua velocità e diversa
in O e O Ma essa e costante in entrambi.
X(t) X(t) OO(t) X(t) Wt
Y Y
Z Z t t N.B. la
trasformazione del tempo e indipendente da
quella di X
V dX/dt dX /dt d(OO)/dt V W cost
In presenza di una forza P accelera a
dV/dt a dV/dt dV/dt dW/dt a dW/dt a
perche W cost
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• Newton (1666) osserva che laccelerazione in
  presenza di una data forza dipende dalla
  quantita di materia M posseduta dal corpo e che
  la variabile importante non e V ma P MV
  quantita di moto
• In assenza di forze la quantita di moto di un
  corpo libero e costante
• (nel senso che non cambia nel tempo) in tutti i
  riferimenti galileiani.

Questa proprieta (lesistenza di una costante
del moto) e la conseguenza di una simmetria
della natura , che si traduce nellarbitrarietà
nella scelta dellorigine del sistema di
riferimento dello spazio e del tempo.
Una conseguenza e che anche lequazione del moto
in presenza di una forza e invariante per
trasformazioni galileiane
dP/dt dP/dt
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Qualunque sia il riferim. scelto, una rotazione
di 60 gradi (o multipla) di un cristallo di
neve e inavvertita, non osservabile.
La descrizione matematica F(phi,r) del
cristallo deve essere invariante per variazioni
di phi di passo 60.
La rotazione di 60 e una operazione di simmetria
che lascia F(phi.r) invariante.

• Ad ogni grandezza fisica conservata e associata
  una simmetria legata
• ad una variabile il cui valore assoluto e
  inconoscibile
• La legge del moto e invariante per cambiamenti
  dellorigine
• di quella variabile

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Assumendo che per le osservazioni astronomiche la
terra possa esser considerata un riferimento
galileiano, e che le tre leggi abbiano valore
universale, Newton conclude che il moto dei
pianeti intorno al sole e dovuto ad una forza
F G MsMp/r2 Se e cosi non ha
alternative la forza che fa cadere la mela m
e F G
MtMm/rt2 con G G !!!!!
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Le leggi di Newton dicono quale e leffetto di
una forza, ma F G MsMp/r2 e
la prima descrizione matematica di una
forza. Lespressione dice molte cose per es. -
L intensita di F dipende dalla massa - Essa
agisce a distanza ( e non per contatto) - Essa e
conservativa ( vedi piu avanti) etc
In particolare la 2 legge F G MtMm/rt2 Mm
A dice che sulla superficie terrestre A
GMt 9,81 m/sec 2 e indipendente da Mm
Ma La massa che compare nella legge di
gravitazione e la stessa che compare nella legge
dinerzia P MV costante ? Il principio di
Azione/Reazione dice che la forza esercitata dal
sole sul pianeta e la stessa esercitata dal
pianeta sul Sole allo stesso istante. Leffetto
gravitazionale si propaga con V infinita La
gravita e intrinseca alla massa? Newton
risponde che cio che dice e che due masse si
attraggono con quella forza la massa non so cosa
sia
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Secondo E.Noether le grandezze fisiche che si
conservano in natura sono legate ad una
invarianza delle equazioni del moto rispetto ad
un cambiamento locale di una variabile cioe
ad una simmetria locale della natura . Questa
invarianza si manifesta nella impossibilita di
conoscere il valore assoluto della variabile
stessa.
Il valore assoluto di posizione, orientamento e
tempo e inconoscibile. E facile dimostrare che
linconoscibilita di posizione assoluta gt
Conservazione della quantita di moto P in un
sistema isolato di orientamento assoluto
gtconservazione momento angolare M in s.i. del
tempo assoluto gt Conservazione dellenergia E in
sist. Isolato.
N.B. 0) PX ? M Et azione L2,m1,t-1
N.B.1) La conservazione di P,M e E e un fatto
sperimentale. La teoria interpreta questa
conservazione come dovuta ad una particolare
simmetria dellospazio/tempo
X X OO X Wt
N.B. 2) Questa e una trasformazione globale .
Il valore di X e cambiato allo stesso istante
della stessa quantita in tutti i punti dello
spazio
E.Noether dice qualcosa di piu profondoparla
di invarianza per Trasformazioni locali ! In una
trasformazione locale OO potrebbe essere
diverso per ogni X e per ogni T. (equivalente a
fare una trasformazione globale usando un
metro con passo non costante)
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Tra il 1887 e il 1901 si scoprono due cose
importanti
1887 Michelson e Morley la velocita della
luce e indipendente dal Sistema di riferimento
V(luce) V (luce) e non V(luce) W
1901 Planck Atomo assorbe ed emette energia in
quantita finite Eh n h ha un valore molto
piccolo h 10-34 J sec
E/n Etpx h azione in unita
naturali h1 E 1/t p1/x
Conseguenze

• Einstein la relativita ristretta e 1916 la
  relativita generale
• (prima verifica Eddington 1919)

1927 Heisenberg il principio di
indeterminazione conseguenza di Planck. La
grandezza che e chiamata azione e
quantizzata. Le sue piu piccole variazioni non
possono essere minori di h.
Non e possibile conoscere con precisione
arbitraria i valori di P e della posizione allo
stesso istante , e di E e t nella stessa
posizione. Il prodotto delle incertezze e
sempre maggiore di h di Planck.
dE dt gt h dPx dX gt h dPy
dYgth dPz dZ gt h Il valore di E
allistante t e inconoscibile. In un intervallo
dt essa non e conoscibile meglio di

dE h/dt
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dA rXr rXr r X dr r r d? K dA/dt r2 d
?/dt r2 ? K (rcost, Kcost) V ? X r
a dV/dt d?/dt X r ? X dr/dt ? cost
a ? X dr/dt ? X V ? X (? X r) Diretta in
verso opposto a r !a! ?2 r V2/r
Da
da ? v/r si ha dA/dt r v K rXv
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2 Keplero dA/dt cost se lorbita e
circ. ? cost 3 Keplero T2/s3 cost
T2/r3 k T periodo s semiasse maggiore
r (orbita circolare) ? 2p/ T a ?2 r 4
p2 r / T2 4 p2/k r2 F ma m/(k r2)
m m terra Azione e reazione Fs M/k r2
m/k r2 Ft M M sole k G/m k
G/M F G Mm/r2
dA/dt cost r X v r X (mV)
rXP Conservazione del momento della QdM
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Conservazione della quantità di moto

• consideriamo due corpi che interagiscono tra loro

se moltiplichiamo ambo i membri per un intervallo
dt
ma sappiamo che

• se prendiamo un intervallo finito si ottiene

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Conservazione della quantità di moto

• raccogliendo da una parte i termini in t1 e
  dall'altra i termini in t2 avremo

che possiamo anche scrivere come
poiché i tempi t1 e t2 sono arbitrari questa
relazione si traduce in un principio del tutto
generale

• Principio di conservazione della quantità di
  moto la quantità di moto di un sistema di due
  particelle soggette solamente alla loro mutua
  interazione rimane costante nel tempo

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Per misurare sono necessarie UNITA DI MISURA
e Sistema di riferimento (xyzt). Per (xyz)
si sceglie una terna ordinata e levogira di
versori, Vale il teorema di Pitagora . Lordine
dei versori (i,j,k) indica il verso positivo
delle rotazioni . Il verso positivo delle
rotazioni (della misura degli angoli) e
levogiro,sinistrorso Antiorario
(medio,indice,pollice) della mano sinistra.
Sperimentalmente Galilei verifica che il valore
assoluto della velocita ( della Quantita di
Moto per Newton) e sempre definito a meno di una
costante e dunque il suo valore assoluto non e
conoscibile. Cio che e misurabile, Conoscibile
in modo assoluto sono le variazioni di QdM. (
e di Momento della QdM e dellenergia ) . I
valori di queste variazioni sono gli stessi in
tutti i sistemi di riferimento in moto relativo
rettilineo e uniforme. Un sistema di riferimento
in cui un corpo libero, non soggetto a forze,
mantiene Costante la propria QdM si chiama
Galileiano o inerziale. Tutti sistemi
galileiani sono equivalenti. In particolare se
un sistema e Galileiano tutti i riferimenti in
moto relativo rettilineo uniforme rispetto ad
esso Sono galileiani. Le variazioni della QdM
sono le stesse in tutti i sistemi Galileiani o
Inerziali.
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La fondamentale legge di inerzia Q
costante E invariante per trasformazioni di
coordinate tra sistemi galileiani Se in O
(X,Y,Z,T) Q cost In
O(X,yz,t) Q cost
se O e O sono Galileiani Linvarianza della
legge e legata alla arbitrarieta nella scelta
dellorigine delle Coordinate. Una trasformazione
galileiana e una operazione di simmetria che
lascia Invarianti le leggi del moto. AD OGNI
COSTANTE DEL MOTO E SEMPRE ASSOCIATA UNA
VARIABILE IL CUI VALORE ASSOLUTO E
INCONOSCIBILE. Il cui cambiamento costituisce una
simmetria del sistema. Oggi si pensa che esista
un legame stretto tra simmetrie, grandezze
conservate, e forze.
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Conservazione della quantità di moto

• il principio di conservazione della quantità di
  moto è uno dei principi fondamentali della Fisica
• la sua validità è generale, sussiste cioè
  qualunque sia il numero di particelle che si
  considerano, purché interagenti esclusivamente
  tra loro, costituenti quindi un sistema isolato
• non si conoscono violazioni a questo principio
• abbiamo dedotto la conservazione della quantità
  di moto dal principio di azione e reazione, ma è
  possibile fare il viceversa
• i due principi sono uno conseguenza dell'altro

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Moto rettilineo

• un punto materiale di massa m si muove lungo
  l'asse z sotto l'azione di una forza diretta
  lungo l'asse z con componente Fz
• per il secondo principio di Newton abbiamo
• e quindi
• il problema consiste nel trovare la funzione z
  z(t) tale che la derivata seconda rispetto al
  tempo ad ogni istante sia pari a Fz/m

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Forza peso

• consideriamo il caso in cui la forza agente sia
  la forza peso mg e che il punto materiale si
  muova lungo l'asse z. Questo non è altro che un
  caso di moto rettilineo uniformemente accelerato,
  già visto in precedenza, la cui soluzione è
• dove v0z z0 sono velocità e posizione all'istante
  t0
• se l'asse z è orientato verso l'alto ovviamente
  l'equazione cambia
• il segno di v0z riflette il verso rispetto l'asse
  z

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lungo z NON si conserva la quantita di moto mg
dPz/dt maz az-g Vz(t) V0z gt Z(t)
V0z t 1/2gt2 Z0 Sia Z0 0 V(t) 0 per t
V0z/g Zmax V0z2/(2g) Per t V0z/g Z0 per t
2 V0z/g
Lungo X si conserva la quantita di moto
Mv0x cost Vx V0x
X(t) Vox t X(V0z/g) V0x
Voz/g X(2V0z/g) 2v0xV0z/g 2V0 cos(?)
V0sin(?)/g V02 sin (2 ?) sin(a) x cos(a)1/2
sin(2a) X max per a 45o
Nella discesa vz(t) gt t discesa v0z/g
Vz finale v0z v x fin v0x Nella
discesa ½ v0z2 g zmax mentre nella salita g z
max ½ v0z2
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Moto su piano orizzontale liscio

• un corpo lanciato su di una superficie
  orizzontale, a parità di velocità iniziale,
  percorre spazi maggiori se la superficie viene
  levigata con maggiore cura
• idealmente, se la superficie è perfettamente
  liscia il corpo, se non incontra altri
  impedimenti, non si ferma
• questa è chiaramente una situazione ideale non
  realizzabile praticamente
• su un piano orizzontale liscio un corpo si muove
  con velocità costante (a0), per il secondo
  principio di Newton

• sul corpo agiscono la forza peso mg e la reazione
  vincolare R (derivante dal principio di azione e
  reazione), perciò
• F mg R 0 se sta fermo

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Moto su piano orizzontale liscio

• quindi avremo
• si ricava
• la reazione che un vincolo privo di attrito può
  sviluppare in un punto è perpendicolare (in quel
  punto) alla superficie che costituisce il vincolo

Un vincolo si dice liscio se e capace solo di
reazioni normali (perpendicolari alla tangente
locale alla superficie vincolare)
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Moto su piano inclinato liscio

• consideriamo un corpo di massa m posto su di un
  piano liscio inclinato rispetto alla orizzontale
  di un angolo ?
• le uniche forze agenti sono
• la forza peso mg
• la reazione vincolare R
• possiamo prendere un sistema di riferimento il
  cui asse x è parallelo al piano inclinato e
  l'asse z ortogonale a esso e diretto verso l'alto

Lungo Z non ce moto Fztot0 Lungo z, Qz
cost Ce moto lungo x Fxtot max dQx/dt
Mg cos b ma cos b sin ( P/2 b)
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Moto su piano inclinato liscio

• in questo sistema di riferimento si osserva che
• il moto avviene lungo l'asse x
• la componente z della accelerazione è nulla
• la componente x della accelerazione è g sin(a)
• la risultante delle forze risulta essere
• un piano inclinato liscio esercita su di un corpo
  che scivola sopra di esso una reazione
  perpendicolare al piano stesso e di intensità
  uguale alla componente perpendicolare della forza
  peso

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Piano inclinato

• supponiamo che all'istante t0 il corpo parta con
  velocità nulla dalla sommità del piano inclinato
• all'istante t avremo
• V(t) g sin(a) t
• S(t) ½ g sin(a) t2
• Si ha V2(t) 2 s(t) g sin(a)
• Quando tocca il suolo sl
• l sin(a) h
• V2(t)2 h g
• La velocita finale e indipendente da l ,
  dipende
• solo da h . Come nel caso del
• Corpo lanciato verso lalto.

• la velocità acquistata da un corpo scendendo
  lungo un piano inclinato liscio è in modulo
  uguale a quella che il corpo acquista cadendo
  lungo la verticale per un dislivello uguale
  all'altezza del piano inclinato
• questo enunciato può essere generalizzato per
  qualunque superficie liscia non piana con la
  quale il corpo mantiene costantemente il contatto

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Forza d'attrito

• forze d'attrito quando un corpo viene a contatto
  con un altro corpo nascono delle forze che si
  oppongono a qualsiasi movimento di scorrimento
  relativo
• una superficie che presenta attrito viene detta
  scabra
• consideriamo il caso di un corpo di massa m in
  quiete sopra un piano scabro e soggetto ad una
  forza F verticale
• R mg f 0

• R è verticale, diretta verso l'alto e ha modulo
  pari alla somma dei moduli di mg e F
• applichiamo una forza T parallela alla superficie
  di appoggio se la forza è abbastanza piccola il
  corpo rimane in quiete
• R mg f T 0
• la reazione R non è più verticale, ma sarà
• Rz N mg f
• Rx Fs T

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Attrito statico

• aumentando l'intensità della forza T il corpo
  rimane in quiete fino a che non raggiunge il
  valore limite Tmax oltre il quale il corpo si
  mette in moto
• la superficie scabra può esercitare una forza
  d'attrito statico di intensità massima Fsmax
  Tmax
• aumentando F aumenta anche Tmax
• F mg Rz determina una pressione sulla
  superficie di appoggio. A paritadi superficie
  Tmax aumenta con Rz
• Fsmax è proporzionale alla componente normale
  della forza risultante (Rz)
• Fsmax ms Rz
• µs è un coefficiente numerico chiamato
  coefficiente di massimo attrito statico

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Attrito statico

• valgono le seguenti leggi empiriche
• la massima forza di attrito statico tra due
  superfici ha un'intensità proporzionale
  all'intensità della forza normale tra le due
  superfici
• il coefficiente ?s di proporzionalità dipende
  dalla natura e dallo stato di levigatezza delle
  superfici
• entro larghi limiti, è indipendente dall'area di
  contatto tra le due superfici

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Attrito statico

• Una cassa viene appoggiata con velocità nulla
  sopra un piano inclinato di ? ?/4 rad rispetto
  all'orizzontale il coefficiente di massimo
  attrito statico tra la cassa e il piano è ?s
  0.4. Si mostri che la cassa scende verso il basso
  scivolando lungo il piano inclinato
• consideriamo un sistema di riferimento con l'asse
  x parallelo al piano inclinato e l'asse y
  perpendicolare ad esso
• sulla cassa agiscono le forze mg e la reazione
  vincolare N
• Lungo y R - mg cos a N 0 dQy/dt
• l'accelerazione lungo l'asse y è nulla
• Lungo X agiscono mg sin a e lattrito il cui
  max e - µ N - µ mg cos a

• la cassa scivola se mg sin? gt Fsmax

mgsina gt µ mg cos a
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Attrito dinamico

• Nel caso del problema precedente, si calcoli il
  modulo della velocità che la cassa raggiunge dopo
  aver percorso un tratto l 0.5 m sopra il piano
  inclinato se il relativo coefficiente di attrito
  dinamico è ?D 0.3
• la forza risultante agente sulla cassa ha
  componente y nulla, mentre la componente x è data
  da
• con

• l'accelerazione risulta essere
• la velocità scalare richiesta è allora

Fx mg sin a Fd
Fd µ mg cos a
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Attrito dinamico

• consideriamo un corpo di massa m su di un piano
  scabro con coefficiente di massimo attrito
  statico relativo ?s
• applichiamo una forza T di modulo maggiore di
  Fsmax, la forza totale risultante è
• F T - Fsmax
• l'accelerazione risultante è
• a T/m - msg
• sperimentalmente si trova che il moto è
  uniformemente accelerato, ma con accelerazione
  maggiore di a

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Attrito dinamico

• la forza agente tra superficie e corpo è
  inferiore a Fsmax, comunque di intensità costante
• se a è il modulo della accelerazione del corpo
  scriviamo
• dove µD lt µS è un coefficiente numerico chiamato
  coefficiente di attrito dinamico

a T/m - µd g
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Attrito dinamico

• la forza di attrito dinamico tra due superfici ha
• la stessa direzione ma verso opposto della
  velocità relativa delle due superfici
• intensità proporzionale all'intensità della forza
  normale tra le due superfici
• il coefficiente ?D di proporzionalità dipende
  dalla natura e dallo stato di levigatezza delle
  superfici, entro larghi limiti, è indipendente
  dall'area di contatto tra le due superfici

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