Prof. Hebert Monteiro

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Movimento em I dimensão

• Prof. Hebert Monteiro

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Introdução

• Iniciaremos o nosso curso estudando a mecânica
  como ciência que estuda o movimento.
• A mecânica é dividida em duas partes
• Cinemática que é o estudo do movimento sem
  referência às suas causas. Na cinemática
  definimos grandezas utilizadas na mecânica tais
  como velocidade e aceleração.
• Dinâmica é o estudo que engloba as leis do
  movimento, permite-nos prever o movimento de um
  objeto com base em informações sobre o mesmo e
  seu ambiente. Além das grandezas acima citadas a
  dinâmica aborda conceitos como força e massa.

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• Para descrevermos o movimento de um objeto em I
  dimensão, o primeiro passo é fixarmos um sistema
  de coordenadas, ou sistema de referência. Para o
  movimento ao longo de uma reta, isto exige
  primeiro a escolha de uma origem em algum ponto
  da reta e, em seguida, de uma direção positiva.

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• Verifiquem então o movimento realizado pelo
  carro de fórmula 1 do slide anterior.
• Estipulamos como origem o ponto início
  (correspondente à origem do plano cartesiano) e a
  direção positiva como a direita ou leste (direção
  positiva do eixo x do plano cartesiano).
• Na cena em questão analisada o carro realiza um
  movimento que vai de sua posição inicial x1 até a
  sua posição final x2. A sua posição inicial
  corresponde ao seu tempo inicial, assim como a
  sua posição final corresponde ao seu tempo final.
• Determinadas essas grandezas, já podemos
  calcular o deslocamento do carro que é medido em
  metros, através da fórmula
• ?x x2 x1

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• Como nosso objeto se moveu na direção positiva,
  tanto seu deslocamento quanto as outras grandezas
  que serão medidas são positivas.
• Da mesma forma que calculamos o seu deslocamento
  através das suas posições iniciais e finais,
  também podemos calcular o tempo gasto para
  realizar o movimento através da equação que
  representa a variação de tempo do movimento
• ?t t2 t1
• A unidade de tempo utilizada nesse tipo de
  movimento é o segundo, portanto a nossa variação
  de tempo tem como unidade de medida o segundo.

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• Exercício
• 1) Uma pessoa sai de sua casa e caminha em linha
  reta pela calçada no sentido oeste-leste, passa
  então por um ponto de ônibus e caminha 15 m até
  parar. Considerando sua casa como posição inicial
  e sabendo que ela está a 30 m a Oeste do ponto de
  ônibus. Determine o deslocamento total da pessoa
  e o seu sentido.

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Velocidade Vetorial e Velocidade Média

• A velocidade de um objeto nos diz quão
  rapidamente ele caminha e a direção que ele segue
  em determinado instante. A melhor maneira de
  entender o significado do vetor velocidade é
  definir e discutir primeiro a velocidade vetorial
  média e utilizá-la em seguida para definir
  velocidade vetorial.
• A velocidade média de um objeto que se deslocou
  do ponto x1 ao ponto x2 no intervalo de tempo de
  t1 a t2 é dada por
• v x2 x1 ?x
• t2 t1 ?t
• Como a unidade do deslocamento é metros e a do
  tempo é segundos, sendo assim, a unidade de
  medida que representa a média de velocidade do
  objeto no S.I. é m/s.

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• De acordo com a explicação anterior, a
  velocidade média é a média de rapidez que o
  objeto executou o seu deslocamento, durante um
  intervalo de tempo, sendo assim, ela é constante.
  
• Quando pensamos em vetor velocidade ou
  velocidade propriamente dita, estamos falando em
  velocidade instantânea, ou seja, a velocidade em
  um determinado instante e não uma média que se
  encontra dentro de um tempo.
• Para encontramos a velocidade o intervalo de
  tempo necessariamente tenderá a zero, ou seja
• v lim v lim ?x
• ?t 0 ?t

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• Exercício
• 1) Um carro sai de um posto de combustível e
  movimenta-se em uma auto-estrada no sentido
  leste-oeste. Depois de 15 s vê a sua frente uma
  placa de trânsito que está a exatamente 81 m de
  distância. O carro continua o seu movimento e
  para 13 metros após a placa de trânsito
  decorridos 22 segundos após a sua partida.
  Calcule a) O seu deslocamento e a sua velocidade
  média. b) Caso o carro estivesse no sentido
  oeste-leste, como ficariam os resultados da
  pergunta a)?

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Aceleração e aceleração média

• Assim como a velocidade indica uma taxa da
  variação da posição com o tempo, a aceleração
  descreve uma taxa de variação da velocidade com o
  tempo. Como a velocidade, a aceleração também é
  uma grandeza vetorial.
• Imaginem uma partícula em movimento ao longo do
  eixo x. Suponha que em um dato instante t1 a
  partícula esteja no ponto x1 e possua uma
  velocidade instantânea de Vx1. Em outro instante
  chamado de t2 a partícula está no ponto x2 e
  possui velocidade instantânea de Vx2. Definimos
  aceleração média como uma grandeza vetorial que é
  dada pela razão da variação da componente x da
  velocidade e o intervalo de tempo ?t.
• a v2 v1 ?v
• t2 t1 ?t

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• Como a unidade de medida da velocidade é m/s e
  da variação de tempo é dada em segundos, a
  unidade de medida que representa a aceleração ou
  a aceleração média de um objeto é m/s2.
• Podemos agora definir aceleração ou aceleração
  instantânea seguindo o mesmo procedimento adotado
  quando definimos velocidade instantânea.
• Imaginem que um piloto de um carro de corridas
  acaba de entrar na reta final do Grand Prix como
  ilustra a figura a seguir

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• Para definir a aceleração instantânea no ponto
  P1, imaginamos que o ponto P2 da figura se
  aproxima continuamente do ponto P1, de modo que a
  aceleração média seja calculada em intervalos de
  tempos cada vez menores. A aceleração instantânea
  é o limite da aceleração média quando o intervalo
  de tempo tende a zero.
• a lim ?v
• ?t 0 ?t

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Exercícios

• 1) A velocidade de um carro aumenta de 18 para
  23 m/s em um intervalo de tempo de 5,8 s. a)
  Tomando a direção x segundo a direção do
  percurso do carro, determine a aceleração média.
  b) Supondo a direção x oposta a direção do
  percurso, determine a aceleração média.
• 2) Em um teste para um novo modelo de automóveis
  da empresa Motores Incríveis, o velocímetro é
  calibrado para ler em m/s ao invés de Km/h. A
  série de medidas a seguir foi registrada durante
  o teste ao longo de uma estrada retilínea muito
  longa.
• tempo (s) 0 2 4 6 8 10 12 14 16
• velocidade (m/s) 0 0 2 6 10 16 19 22 22
• Calcule e a aceleração média durante cada
  intervalo de 2 s. A aceleração é constante? Ela é
  constante em algum trecho do teste?

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Movimento com Aceleração Constante

• O tipo de movimento acelerado mais simples é o
  movimento retilíneo com aceleração constante.
  Neste caso a velocidade dele varia com a mesma
  taxa durante todo o movimento. É um caso especial
  embora ocorra freqüentemente na Natureza. Por
  exemplo, um corpo em queda livre, que possui
  aceleração constante quando os efeitos da
  resistência do ar são desprezados.
• Quando a aceleração é constante a aceleração
  média para qualquer intervalo de tempo é a mesma
  que a aceleração instantânea. Logo a a. Assim
  é fácil deduzirmos equações para a posição de X e
  a velocidade Vx em função do tempo.

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• Para a aceleração média temos a v2 v1
  t2 t1
• Se chamarmos v2 de Vx, v1 de V0x e t2 de t e
  fizermos o tempo t1 0, teremos que
• a Vx V0x gt Vx V0x a.t
• t - 0
• Da mesma forma, através de múltiplas combinações
  de equações, encontramos outras fórmulas que
  representam o movimento retilíneo com aceleração
  constante em função das outras grandezas como
  posição, velocidade e tempo.

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• Sabendo-se que V x2 x1
• t2 t1
• Se chamarmos x2 de x, x1 de xo, t1 0 s e t2
  t, então teremos
• V x xo
• t
• Sabendo-se que quando a aceleração é constante, a
  velocidade média pode ser dada pela simples média
  aritmética
• V Vo V
• 2
• Para movimento com a aceleração constante, a
  velocidade pode ser encontrada a qualquer
  instante através da equação
• V Vox a.t , então
• V Vo (Vox a.t) gtgt
• 2

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• V Vox ½ a.t
• Se V V, então
• X Xo Vox 1 a.t
• t
  2
• X Xo (Vox ½ a.t) . t
• X Xo Vox.t ½ a.t2

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• Se isolarmos o tempo na primeira equação do
  movimento com aceleração constante, teremos
• t V Vox
• a
• Substituindo essa equação na anterior que
  encontramos, teremos
• X Xo Vox. (V Vox) ½ a . (V Vox)2 gtgt
• a
  a
• Finalmente chegaremos a
• V2 Vox2 2.a.(X-Xo)

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• A utilização de uma ou de outra equação
  dependerá da necessidade apresentada na questão
  que estamos estudando, assim como das grandezas
  apresentadas.

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Exercícios

1. O movimento de um corredor pode ser aproximado
   por uma aceleração constante de módulo 3,4 m/s2
   para os primeiros 40 m a contar da linha de
   partida. Qual a velocidade do corredor após
   percorrer? a) 20 m b) 40 m ?
2. O motorista de um carro que percorre uma estrada
   retilínea a uma velocidade de 18 m/s, vê um sinal
   que indica o limite da velocidade de 25 m/s. O
   sinal está a 85 m adiante, no momento em que o
   motorista começa a acelerar o carro. Determine o
   módulo da aceleração constante que fará com que o
   carro passe no sinal à velocidade limite
   indicada.

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• 3) Um motociclista se dirige para o leste ao
  longo de uma cidade do Estado de São Paulo e
  acelera a moto depois de passar pela placa que
  indica os limites da cidade. Sua aceleração é
  constante e igual a 4 m/s2. No instante t 0 ele
  está a 5,0 m a leste do sinal, movendo-se para
  leste a 15 m/s. a) Determine sua posição e
  velocidade para t 2,0 s. b) Onde está o
  motociclista quando sua velocidade é de 25 m/s?
  
• 4) Ao ser lançado pela catapulta da plataforma de
  um porta aviões, um caça a jato atinge a
  velocidade de decolagem de 270 km/h em uma
  distância aproximada de 90 m. Suponha a
  aceleração constante. a) Calcule a aceleração do
  caça em m/s2. b) Calcule o tempo necessário par
  ao caça atingir essa velocidade de decolagem.
• 5) Um antílope que se move com aceleração
  constante leva 7,0 s para percorrer uma distância
  de 70,0 m entre dois pontos. Ao passar pelo
  segundo ponto, sua velocidade é de 15 m/s. a)
  Qual era a sua velocidade quando passava pelo
  primeiro ponto? b) Qual era a sua aceleração?

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Movimento de Queda Livre

• Todos nós estamos familiarizados com objetos em
  queda, como por exemplo um peso de papel caindo
  de cima da mesa. Quase sempre quando descrevemos
  o movimento de tais objetos, podemos desprezar a
  resistência do ar, pelo seu valor ínfimo. Se a
  resistência do ar é desprezada é válido dizer
  então que a aceleração do objeto é única e
  exclusivamente por causa da gravidade. Neste caso
  o movimento é chamado de queda livre.
• Os objetos em queda livre tem uma aceleração
  constante para baixo. A aceleração é a mesma em
  qualquer ponto da queda, além disso é a mesma
  para qualquer tipo de objeto.
• O Módulo da aceleração devida a gravidade é
  representado pelo símbolo g, que na superfície
  da terra é
• G 9,8 m/s2

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• No estudo da queda livre utilizamos o eixo y ao
  longo da direção do movimento, com o vetor
  unitário j apontando para cima. A aceleração de
  um objeto em queda livre será
• a - g
• Como o movimento de queda livre é um movimento
  com aceleração constante, podemos utilizar as
  fórmulas da aceleração, fazendo a -g e mudando
  a coordenada x para y

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• Quando lançamos um objeto como uma bola de
  beisebol para cima na vertical, com velocidade
  inicial V0, pode-se determinar logo duas
  quantidades
• Tempo médio Tempo (Tm) necessário para que a
  bola atinja altura máxima.
• Altura máxima (Hm) atingida pela bola.

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• Exercícios
• Um vaso de flores cai da janela de um segundo
  andar. Qual a sua velocidade quando tocar o solo
  3,0 metros abaixo? Despreze a resistência do ar.
• Uma moeda de 1 euro é laçada da Torre de Pisa.
  Ela parte do repouso e se move em queda livre.
  Calcular a sua posição e a sua velocidade nos
  instantes 1,0 s, 2,0 s, e 3,0 s.