Prof. Hebert Monteiro

1
Prof. Hebert Monteiro
Energia Potencial e Conservação da Energia
2
Introdução

• Imagine que você precisa realizar o trabalho de
  erguer uma pedra pesada acima de sua cabeça.
  Parece razoável pensar que elevando essa pedra ao
  ar você está armazenando energia no sistema,
  energia que será mais tarde convertida em energia
  cinética quando a pedra cair.
• Esse exemplo aponta para a idéia que deve existir
  uma energia associada a posição dos corpos em um
  sistema.
• Esse tipo de energia fornece o potencial ou a
  possibilidade de realização de um trabalho sobre
  a pedra, que só será realizado quando a pedra for
  libertada.
• Por esse motivo a energia associada com a posição
  do objeto no sistema é chamada de ENERGIA
  POTENCIAL.
• A discussão sobre o assunto sugere que exista uma
  energia associada ao peso do objeto e com sua
  altura acima do solo. Chamamos essa energia de
  ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL.

3
Definindo equações

• Considere um corpo de massa m que se move ao
  longo do eixo Y. As forças que atuam sobre ele
  são seu peso (ou força gravitacional) e
  possivelmente outras forças como a resistência do
  ar por exemplo que chamaremos de Foutra.

4

• Como podemos ver na figura anterior, o corpo
  realiza uma queda de uma altura Y1 acima da
  origem até uma altura menor Y2 (mais próxima do
  solo). O peso e o deslocamento possuem o mesmo
  sentido, ou seja, o trabalho que nesse caso é
  chamado de Wgrav realizado sobre o corpo é
  positivo de modo que
• Wgrav F.d (m . g) . d ?
• Wgrav (m . g) . (y1 y2) ?
• Wgrav mgy1 mgy2

5

• A equação anterior nos mostra que o Wgrav varia
  de acordo com a posição do objeto na queda. Essa
  grandeza, ou seja, o produto entre o peso (m.g) e
  a altura y, denomina-se energia potencial
  gravitacional.
• Ugrav m.g.y
• Ugrav1 m.g.y1 Ugrav2
  m.g.y2
• Seu valor inicial Seu valor
  final
• Se
• Wgrav Ugrav,1 Ugrav,2 ? - (Ugrav,2 Ugrav,1)
  - ?Ugrav
• Wgrav - ?Ugrav

6
Conservação da Energia Mecânica (somente forças
gravitacionais)

• Imaginem um objeto movendo-se na vertical de cima
  para baixo ou de baixo para cima. A unica força
  atuante sobre ele é a da gravidade. Sendo assim o
  objeto possui velocidade v1 quando está na
  posição y1 e velocidade v2 quando encontra-se na
  posição y2.
• O teorema do trabalho-energia visto até então diz
  o seguinte
• Wtot ?K k2 k1
• Como a gravidade é a única força que atua sobre o
  corpo, de acordo com a equação anterior
• Wtot Wgrav - ?Ugrav
• ?K - ?Ugrav

7

• Que pode ser escrito como
• K1 Ugrav,1 K2 Ugrav,2
• (Se somente a gravidade realiza trabalho)
• Se chamarmos a soma da energia cinética (k) com a
  potencial (U) de E (energia total do sistema),
  temos que
• E1 k1 Ugrav,1 e E2 k2
  Ugrav, 2
• E1 E2
• (a energia total do sistema é a mesma em qualquer
  posição)
• E K Ugrav
• O que define e lei da conservação da energia
  mecânica, que diz
• A energia total de um sistema é constante, ou
  seja, a mesma, em qualquer parte do movimento,
  variando apenas suas componentes Cinética e
  Potencial.

8
Exercícios

• 01) Você arremessa uma bola de beisebol de 0,145
  kg verticalmente de baixo para cima,
  fornecendo-lhe uma velocidade incial de módulo
  igual a 20,0 m/s. Usando a conservação da
  energia, calcule a altura máxima que ela atinge,
  supondo que a resistência do ar seja desprezível.

9

• 2) Certo dia uma escaladora de montanhas de 75 kg
  sobe do nível de 1500 m de um rochedo vertical
  até o topo a 2400 m. No dis seguinte, ela desce
  do topo até a base do rochedo, que está a uma
  elevação de 1350m. Qual é a variação da energia
  potencial gravitacional dela a) no primeiro dia
  b) no segundo dia?

10
Quando outras forças, além da gravidade, realizam
trabalho

• Se outras forças além do peso atuam sobre o
  corpo, então Foutra não é igual a zero, como
  vimos nos exemplos anteriores. Nesse caso o
  trabalho exercido pela força da gravidade
  continua o mesmo, más o trabalho total (Wtot) é
  dado agora pela soma de Wgrav com o trabalho
  realizado pela Foutra.
• Wtot Wgrav Woutra
• Wgrav Woutra K2 K1
• Ugrav,1 Ugrav,2 Woutra K2 K1
• K1 Ugrav,1 Woutra K2 Ugrav,2

11
Energia Potencial gravitacional para movimentos
ao longo de uma trajetória curva.

• Quando a trajetória é curva, também atuam sobre o
  corpo a força gravitacional p m.g e
  possivelmente também outras forças que possuem
  uma resultante chamada Foutra.
• Sendo assim, concluimos que podemos utilizar as
  mesmas expressões para energia potencial
  gravitacional tanto para uma trajetória retilínea
  quanto para uma trajetória curva, ou seja, o
  trabalho realizado pela força gravitacional
  depende somente da diferença de altura entre os
  dois pontos da trajetória.

12
Exercício

• 1) Seu primo Tobias pratica Skate deslocando-se
  para baixo de uma rampa circular em um
  playground. Se considerarmos Tobias e seu skate
  como uma partícula, seu centro se move ao longo
  de um quarto de círculo de raio R 3,00 m. A
  massa total de Tobias e seu skate é igual a 25,0
  kg. Ele parte do repouso e não existe nenhum
  atrito. a) Calcule sua velocidade na parte
  inferior da rampa.

13
Resolução
14
Um círculo vertical com atrito.

• 2) Imaginemos o exercício anterior, porem,
  considerando a existência de uma força de atrito
  f que realiza trabalho. Nesse caso, o trabalho
  não gravitacional realizado sobre Tobias entre os
  pontos 1 e 2, Woutra, é diferente de zero.
  Considere a velocidade de Tobias na base da rampa
  sendo 6 m/s. Encontre o trabalho realizado pela
  força de atrito.

15
Um plano inclinado com atrito

• 3) Uma caixa de 12 kg está em repouso sobre o
  solo. Desejamos levá-la até um caminhão fazendo-a
  deslizar 2,5 m sobre uma rampa inclinada 30º. Um
  trabalhador, ignorando o atrito, calculou que ele
  poderia fazer a caixa chegar ao topo da rampa
  lançando-a com uma velocidade inicial de 5,0 m/s
  na base da rampa. Porém, o atrito não é
  desprezível a caixa desliza 1,6 m subindo a
  rampa, pára e desliza retornando para baixo. a)
  Supondo que a força de atrito seja constante,
  calcule o seu módulo. b) Qual a velocidade da
  caixa quando ela atinge a base da rampa?

16
Resolução