Value-at-Risk

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Value-at-Risk

• Prof. José Valentim Machado Vicente, D.Sc.
• jvalent_at_terra.com.br

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Conteúdo da Aula

• O que é VaR?
• Modelos Paramétricos
• Método Delta-Normal
• Simulação Histórica

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O que é VaR ?

• Metodologia de avaliação do risco proposta pelo
  Banco J.P. Morgan em 1994.
• Valor monetário das perdas a que uma carteira
  está sujeita, a um determinado nível de confiança
  e dentro de um horizonte de tempo.
• Carteira com VaR de R 1.300.000, em um dia e
  para um nível de confiança de 95, significa que
  há 5 de probabilidade de apurarmos uma perda de
  mais de R 1.300.000 em um dia.
• Ou ainda que com 95 de confiança a perda não
  será superior a R 1.300.000.

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O que é VaR ?

• O VaR está sempre associado a
• uma moeda (valor monetário).
• um intervalo de tempo (quando devemos notar a
  perda).
• uma probabilidade (com que freqüência a perda
  será notada).

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O que é VaR ?

• Formalmente temos,
• Onde
• a é o nível de significância (ou (1 a) é o
  nível de confiança) adotado.
• ? Xt é a variação no valor da carteira de preço
  Xt.
• VaR é o valor em risco para o horizonte de tempo
  t.

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A Distribuição Normal

• A distribuição normal ou Gaussiana é uma das mais
  importantes distribuições de probabilidade.
• Ela serve como uma excelente aproximação para uma
  grande classe de distribuições que têm enorme
  importância prática.
• Notação N(?,?2) significa distribuição normal
  com média ? e variância ?2. Já Z N(0,1)
  significa distribuição normal padrão, isto é, com
  média zero e a variância unitária.

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A Distribuição Normal
? gt ?
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A Distribuição Normal

• A maior parte dos dados se encontram em torno da
  média. A medida que nos afastamos dela, tanto
  para mais como para menos, a probabilidade de
  ocorrência de um resultado diminui de uma forma
  simétrica, isto é, a distribuição é uma curva
  simétrica em relação a ?.
• O espalhamento do gráfico é determinado pelo
  desvio padrão ?.
• A equação da curva é

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A Distribuição Normal

• Propriedade Se X tem distribuição normal N(?,?2)
  então (X ?)/? tem distribuição normal padrão.
• Tabela da distribuição normal padrão.

z? ? PZ ? z?
-3 0,00135
-2 0,02275
-1 0,158655
0 0,5
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A Distribuição Normal

• Exemplo Suponha que a altura H de um brasileiro
  adulto seja distribuída normalmente com média 170
  cm e variância 100 cm2. Calcule a probabilidade
  da altura de um brasileiro sorteado ao acaso ser
  maior que 2,0 m.
• PH gt 200 PH 170 gt 30
• P(H 170)/10 gt 3
• PZ gt 3
  (simetria)
• PZ lt
  3 (tabela) 0,00135.

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Modelos Paramétricos VaR de um Único Ativo

• Hipótese 1 - Retorno Aritmético (S1 S0/S0,
  onde S0 é o preço do ativo hoje e S1 o preço do
  ativo amanhã) distribuído normalmente.
• Para um horizonte de tempo t diferente de um dia,
  temos
• onde ? volatilidade diária do retorno aritmético
  do ativo, X0 posição marcada a mercado da
  carteira, isto é, valor atual investido no ativo,
  e z1-? constante relativa ao número de desvios
  padrões para o nível de confiança desejado.

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Modelos Paramétricos VaR de um Único Ativo

• Exemplo Considere uma carteira formada
  unicamente por ações da Petrobras no dia
  04/11/2004. Suponha que queiramos determinar o
  VaR para o dia 05/11/2004 com nível de confiança
  de 95.
• Posição de 10.000 ações de Petrobras, X0
  94,4910.000 R 944.900.
• Nível de confiança 95 ? z 1,65.
• Volatilidade da Petrobras ? 1,21 (método
  simples com janela de 60 dias, isto é, o desvio
  padrão é estimado tendo por base uma amostra dos
  últimos 60 dias).
• VaR (1 dia) 944.9001,651,21 R 18.852.

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Modelos Paramétricos VaR de um Único Ativo
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Modelos Paramétricos VaR de um Único Ativo

• Hipótese 2 Retorno Geométrico (lnS1/S0)
  distribuído normalmente.
• onde ?g é a volatilidade do retorno geométrico
  de um dia.
• Para os mesmos dados do exemplo anterior temos
  VaR R 16.640.
• Estimando a volatilidade via EWMA com lambda
  0,94 temos

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Modelos Paramétricos VaR de uma Carteira

• Para carteiras formadas por dois ativos temos de
  levar em conta o efeito da correlação
• Onde
• VaRc Value at Risk da carteira
• VaR1 Value at Risk do ativo 1 da carteira
• VaR2 Value at Risk do ativo 2 da carteira
• ?1,2 coeficiente de correlação entre o ativo 1
  e o ativo 2.

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Modelos Paramétricos VaR de uma Carteira

• Exemplo Carteira 10 mil ações Petrobras e 10
  milhões ações de Telemar, o VaR com (1 - ?) 95
  é
• Exercício Verifique que o VaR da carteira é
  menor que a soma dos VaRs das duas ações (efeito
  da diversificação).

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Modelos Paramétricos VaR de uma Carteira

• Uma forma alternativa de calcular o VaR de uma
  carteira formada por dois ativos consiste em,
  primeiramente, calcular a variância da carteira e
  em seguida empregar uma das fórmulas de VaR
  vistas anteriormente.

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O Método Delta-Normal

• No método Delta-Normal, o VaR de um ativo (ou
  carteira) que responde não linearmente em relação
  a um fator de risco é calculado através de uma
  linearização de primeira ordem.
• Exemplos
• A sensibilidade do prêmio de uma opção em relação
  ao ativo objeto é o delta.
• A sensibilidade de um título de renda fixa à
  taxa de juros é a duration.

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O Método Delta-Normal

• O VaR de um posição em opções pode ser aproximado
  pelo VaR de uma posição composta pelo ativo
  objeto em valor igual a ? vezes a posição em
  opções
• onde sigma é a volatilidade do retorno do ativo
  objeto.
• VaR de um título zero-cupon é aproximado por
• onde sigma é a volatilidade do retorno da taxa
  de juros. Se a capitalização é contínua então a
  duration é igual a T.

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O Método Delta-Normal

• Considere uma carteira formada por 100.000 opções
  sobre Petrobras no dia 04/11/2004. Determine o
  VaR para o dia 05/11/2004 com 95 de confiança.
  Suponha válido o modelo de BS. Suponha também
  que o único risco importante é o de variação no
  preço do ativo objeto. Dados da opção Strike
  96, prazo 52 dias, taxa para 52 dias 15.53
  a.a. (contínua), prêmio R 5.75.
• Nesse caso ? 0,5907, logo
• VaR 0,5907?100.000 ? 94,49 ? 1,21 ? 1,65
  111.429

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O Método Delta-Gama-Normal

• O método delta-normal consiste em fazer um
  aproximação de primeira ordem para a influência
  dos fatores de risco no preço do ativo.
• Em algumas situações, essa abordagem apresenta
  uma qualidade ruim. Portanto, é necessário
  utilizar termos de ordem superior. A aproximação
  de segunda ordem é conhecida como
  delta-gama-normal. Para opções temos

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Modelos Não Paramétricos

• Existem mercados em que a suposição de um
  distribuição normal para os retornos dos ativos
  não corresponde a realidade. Exemplos
• Mercado de dólares no Brasil entre os anos de
  1994 e 1998.
• Mercados nos quais existe probabilidade não
  desprezível de ocorrência de retornos longe da
  média.
• Carteiras com ativos não lineares como opções.
• Solução Modelos não paramétricos, que consistem
  basicamente na simulação de uma série de
  cenários. Essa simulação poder ser feita
  historicamente ou então usando o método de Monte
  Carlo.

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Modelos Não Paramétricos

• Nos mercados em que existem maiores ocorrências
  de observações longe da média (distribuições com
  caudas gordas), assumir uma distribuição normal
  irá causar, inevitavelmente, uma distorção no
  cálculo do risco para um valor inferior ao real,
  ou seja, serão atribuídas probabilidades de
  ocorrência menores do que as observadas, ou
  esperadas, para grandes variações. Essa
  deficiência se agrava principalmente nos casos de
  haver uma tendência na distribuição (uma cauda
  mais gorda do que a outra

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Modelos Não Paramétricos

• Em estatística, distribuições com caudas gordas
  são chamadas de leptocúrticas. Uma medida da
  extensão dos dados observados que caem perto do
  centro ou nas caudas de uma distribuição é dada
  pela curtose. A curtose de um conjunto de dados
  x1, ..., xn é definida como
• A função CURT do MS Excel calcula a curtose.

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Modelos Não Paramétricos

• A curtose de uma distribuição normal é zero
  (dizemos que a distribuição é mesocúrtica). Uma
  curtose maior que zero (leptocúrtica) indica uma
  distribuição com grandes picos, caudas grossas e
  poucos dados intermediários. Já uma curtose menor
  que zero (platicúrtica) significa que a
  distribuição possui muitos dados de magnitude
  intermediária e um pico pequeno.

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Modelos Não Paramétricos
27
Modelos Não Paramétricos

• Outro problema bastante sério dos modelos
  paramétricos ocorre quando a carteira a ser
  analisada é uma função não linear de pelo menos
  um dos fatores de risco. Isso acontece com as
  opções dada uma variação no preço do ativo
  objeto podemos apenas aproximar a variação no
  prêmio por uma função linear.

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Simulação Histórica

• Passo 1 Definir um período de tempo e estudar as
  variações de preços ocorrida nesse período.
• Passo 2 Empregar estas variações para reavaliar
  a carteira em cada um dos cenários históricos.
• Passo 3 Esse conjunto de dados determina a
  distribuição da carteira segundo a série de
  cenários simulados
• Passo 4 Determinar o quantil dos dados simulados
  correspondente ao nível de confiança adotado.

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Simulação Histórica

• Exemplo Considere uma carteira formada
  unicamente por ações da Petrobras no dia
  04/11/2004. Suponha que queiramos determinar o
  VaR para o dia 05/11/2004 com um nível de
  confiança de 95. A posição em Petrobras é de
  10.000 ações. Fechamento de Petrobras em
  04/11/2004 igual R 94.49, logo o valor da
  carteira é R 944.900,00.

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Simulação Histórica
Data Retorno P/G Data P/G
04-Nov-2004 0.52 4,925.54 13-Oct-2004 -36,946.43
03-Nov-2004 0.13 1,207.80 19-Oct-2004 -21,767.75
01-Nov-2004 0.62 5,873.98 28-Jun-2004 -17,292.29
29-Oct-2004 0.16 1,521.58 05-Aug-2004 -16,229.20
28-Oct-2004 -0.90 -8,544.31 07-Jul-2004 -16,082.87
27-Oct-2004 0.27 2,519.73 22-Jul-2004 -13,613.49
26-Oct-2004 -1.11 -10,465.66 25-Jun-2004 -13,394.20

14-Jun-2004 1.05 9,918.84 23-Jun-2004 38,580.25
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Simulação Histórica

• O VaR com 95 de confiança é o 5 Percentil da
  última coluna da tabela anterior. Para calcular o
  percentil de uma série de dados você pode usar a
  função PERCENTIL do MS Excel.
• O percentil pode ser calculado de várias
  maneiras. Por exemplo, se os dados são 1, 2, 3 e
  4, então o Excel considera que esses são os
  percentis 0, 33.33, 66.67 e 100
  respectivamente. Valores intermediários são
  obtidos por interpolação.
• Então o VaR é R 13.737.

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Simulação Histórica

• Exercício Considere uma carteira formada por
  ações da Petrobras e da Vale no dia 04/11/2004.
  Determine o VaR para o dia 05/11/2004 com um
  nível de confiança de 95. A posição em Vale é de
  15.000 ações e em Petrobras é de 10.000 ações.

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Simulação Histórica

• VaR 31.628

Data P/G Petr P/G Vale P/G carteira
4-nov-04 4,925.54 1,352.31 6,277.86
3-nov-04 1,207.80 7,585.10 8,792.89
1-nov-04 5,873.98 303.52 6,177.50
29-out-04 1,521.58 4,272.30 5,793.88
28-out-04 -8,544.31 -24,540.69 -33,084.99
¼ ¼ ¼ ¼
14-jun-04 9,918.84 -24,730.54 -14,811.70
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Simulação Histórica

• Considere uma carteira formada por 100.000 opções
  sobre Petrobras no dia 04/11/2004. Determine o
  VaR para o dia 05/11/2004 com 95 de confiança.
  Para calcular o preço simulado use o modelo de
  BS. Suponha que o único risco importante é o de
  variação no preço do ativo objeto. Dados da
  opção Strike 96, prazo 52 dias, taxa para 52
  dias (e 51 dias) 15.53 a.a. (contínua), prêmio
  R 5.75.
• VaR R 250.027 (solução).
• Para incluir o risco de volatilidade, é
  necessário simular a volatilidade para o prazo de
  51 dias e moneyness da opção. Isso deve ser feito
  a partir das superfícies de volatilidade.

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Simulação Histórica
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Simulação Histórica

• Calcule o VaR de uma carteira no dia 04/11/04
  para o dia 05/11/04 de uma carteira formada por
  uma LTN vencendo em 50 dias. Use nível de
  confiança de 95. Preço atual da LTN R
  968,7514 (taxa contínua 16,00 a.a.).
• Nesse exercício, o mais natural é usar a
  decomposição em vértice adjacentes da LTN. No
  entanto, para simplificar simulamos apenas a taxa
  de 49 dias, obtida por interpolação.
• VaR R 0,15 (solução).

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Simulação Histórica
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Simulação Histórica

• Simulação histórica consiste em construir uma
  base de movimentos diários de todos os fatores de
  risco de mercado.
• Vantagem da SH
• Reflete a distribuição multivariada histórica dos
  fatores de risco.
• Desvantagem da SH
• Não incorpora atualizações da volatilidade (tipo
  EWMA e GARCH). Isto é, não incorpora volatilidade
  estocástica.

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Simulação Histórica

• Solução 1 Amostrar mais freqüentemente das
  observações mais recentes.
• Boudoukh, Richardson, e Whitelaw (1998) propõem
  uma versão dessa abordagem no qual o peso da
  observação n1 dias atrás é igual a lambda vezes
  o peso da observação n dias atrás. Para
  determinar o particular percentil é necessário
  ordenar as observações dos últimos N dias e,
  começando da menor, acumular os pesos até chegar
  no percentil.

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Simulação Histórica

• Solução 2 Ajustar as observações pela
  volatilidade GARCH/EWMA estimada diariamente
  (Hull e White, 1998).
• Seja ht a variação percentual histórica na data
  t.
• Seja ?t a volatilidade GARCH/EWMA no dia t e ?N a
  volatilidade GARCH/EWMA no dia N (hoje). Então
  devemos ht por ht onde

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Simulação Histórica

• Exercício Aplique os dois métodos anteriores
  para a carteira no dia 04/11/04 formada por
  10.000 ações de Petrobras.

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Leitura

• Jorion, (2007) Value-at-Risk
• Capítulos 5, 7 e 10.
• Hull, J. Options, Futures and Other Derivatives,
  2006.
• Capítulo 16.
• Boudoukh, J., M. Richardson, and R. Whitelaw,
  "The Best of Both Worlds," RISK, May 1998, pp.
  64-67.
• Hull, J. C, and A. White, "Incorporating
  Volatility Updating into the Historical
  Simulation Method for Value at Risk," Journal of
  Risk, 1, no. 1 (1998), 5-19.